平面向量数量积运算专题附答案

1、平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1（1）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，/ BAD = 120点E, F分别在边BC, DC上，BC = 3BE , DC =入DF若Ae Af = 1,贝U入的值为.已知圆O的半径为1 ,PA,PB为该圆的两条切线，A, B为切点，那么PA PB的最小值为（）A. 4+ . 2C. 4 + 2 2B. 3+ ,2D. 3+ 2 2变式训练1 （2015湖北）已知向量OA丄AB, |OA|= 3，则OA OB =题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 （1）（2015重庆）若非零向量a, b满足|a|=警|b|,且（a b）丄（

2、3a+ 2b），则a与b的夹角为（）A.冗B.23 n CGn（2）若平面向量a与平面向量b的夹角等于3, |a|= 2, |b|= 3，则2a b与a+ 2b的夹角的余弦值等于（）1 111A.26 B. - 26 C元 D.-巨变式训练2 （2014课标全国I ）已知A, B, C为圆0上的三点，若AO = *AB+ Ac）,则AB与AC的夹角为.题型三利用数量积求向量的模例3（1）已知平面向量 a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a与b的夹角为120，则|2a + b|等于（）B.4D.6A.2C.2 .5 已知直角梯形 ABCD中，AD / BC,Z ADC = 90, AD =

3、 2, BC = 1, P是腰DC上的动点,则|PA+ 3PB|的最小值为 .、 1变式训练3 （2015浙江）已知e1 ,e2是平面单位向量，且e1 e2 = 若平面向量b满足b e1 = b e2=1，则 |b|=精选高考题型精练1.（2015山东）已知菱形 ABCD 的边长为a,/ ABC = 60 则BD CD等于（）3B. 4aC.3a24D.|a22.（2014 浙江）记 maxx,y =y, x y,min x, y=设a, b为平面向量，则（x, xy,A. min| a+ b|, |a b| min| a|, |b|C. max| a+ b|2, |a b|2 |a|2 +

4、|b|23.（2015湖南）已知点A, B, C在圆x2+ y2= 1上运动，且AB丄BC若点P的坐标为（2,0）,则|PA+ PB + PC|的最大值为（）A.6B.7C.8D.94.如图，在等腰直角 ABO中，OA = OB= 1, C为AB上靠近点A的四等分点，过 C作AB的垂线I, P为垂线上任一点，设OA= a, OB= b, OP = p，贝y p (b a)等于(ifB.23A. 23c.-2B.(Dq7,25在平面上，ABAB2, |OB1= |0B2|= 1,AP = AB1+ AB2.若|OP| = 60 则 | 1,使得向量x = AB+ tAC, y= tAB + AC

5、,令k=x y,求k的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1（1）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，/ BAD = 120点E, F分别在边BC, DC上，BC = 3BE , DC =入DF若AE AF = 1,贝U入的值为已知圆O的半径为1 ,PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，那么PA PB的最小值为（）B. - 3+ .2A. - 4+ ,2C. -4 + 2 ,2答案(1)2(2)DD. - 3+ 2 .2解析如图,AE AFt t t tt 1 t t 1 t111=(AB + BE) (AD + DF) = (AB +；BC) (AD +

6、：DC) = AB AD +：AB DC + ；BC AD + 3入入33入BC DC111442102=2x 2X cos 120 卞2x 2+1x2X 2+M2x 2xcos 120 一2+亍4-眉孑厂2又 AE AF = 1,入=2.(2)方法一设 |PA|=|PB|= x, / APB = 0,则tan2 = x，2 01 tan 2 x2 i从而 COS 0=A= -2T20 x2 + 11 + tan22PA PB = |PA| |PB|cos 0x2 1 = x4 -2x2 + 1 = x2 + 1/+ 1 2 3 x2+ 1 + 2 x=x2 + 1 +2x23 2 2 3,当

7、且仅当x2+ 1 = 2,即x2= 2 1时取等号，故Pa PB的最小值为2 2 3.方法二 设/ APB = 0, 0 0 n,则 |PA|= |PB|=10tan 2PA PB = |PA|PB|cos2C0S2 20 飞(1 - 2sin2，)sin2220 201 si n22 1 2s in22sin2令 x= sin202 2- 3,xv当且仅当故PAPB的最小值为2 2-3.方法三以0为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2+ y2= 1,设 A（X1, y1）, B（X1, y1）, P（xo,O）,y1)= x?- 2x1xo+ x2- y?.则 PA PB

8、=(X1 - xo, y1)(x1 xo,由 OA _LPA? OA FA =(X1, y1)(x1 xo, y1)= 0? x# X1X0+ y1= 0,又 X2 + yr= 1,所以 X1X0= 1.从而 PA PB= x2 2x1xo+ x0 y2=x2- 2 + x2-(1 - x1)=2x1+ X0 -3 2 2 - 3.故PA PB的最小值为2 2- 3.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择注意两向量a，b的数量积a b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“ ”.向量的数量积运算需要注意的问

9、题：ab= 0时得不到a = 0或b = 0,根据平面向量数量积的性质有 |a|2= a2,但 |a b| = 0,即 3|a|26 |a| |b| cos 0 2|b|能共线时两向量的夹角为钝角 变式训练2 （2014课标全国I ）已知A, B, C为圆O上的三点，若AO =AC）,则AB与= 0, AC的夹角为. 答案 90 解析/ Ao= 1(AB+AC),|b|2警|b|2 cos 0- 2|b|2= 0. 2n-COS 0=专.又 T 0-则|PA+ 3PB|的最小值为 .答案(1)A(2)5解析 因为平面向量a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a与b的夹角为120,所以 |2

10、a+ b|= : 2a 2+ b2+ 2X |2a|x |b|cos 120 方法一以D为原点，分别以 DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC = a, DP = x. D(0,0), A(2,0), C(0, a), B(1, a) , P(0 , x),PA= (2 , x) , PB= (1, a-x), PA+ 3PB = (5,3a 4x),|PA+ 3PB|解析 因为心|=隅=1且e1 e2 = 2.所以e1与e2的夹角为60 又因为b e = b e2=1，所以be1 b e2= 0,即 b (e1 e2) = 0，所以 b丄(e1 e2).所以 b

11、与 e1 的夹角为 30 所以 b e1 = |b| |e1|cos= 25 + (3a 4X)2 25, |PA+ 3PB|的最小值为5.方法二设DP = xDC(0x - - 1 -PB= PC+ CB = (1 x)DC + ?DA , PA+ 3PB = |DA + (3 4x)DC,DC2= 25+ (3 4x) 2DC 2 25,|PA+ 3PB|2= 25DA2 + 2X 22X (3 4x)DA DC + (3 4x)2 |PA+ 3pB|的最小值为5.点评 把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量 a = (x, y)，求向量a的模只需利用公式

12、|a|= x2 + y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究, 求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是 会把向量a的模进行如下转化：|a|= a21变式训练3 (2015浙江)已知e1 ,2是平面单位向量，且e1 e2 = q若平面向量b满足b e1 = b e2=1，则 |b|=.答案2330 = 1.所以|b|=2、33 .3高考题型精练1. （2015山东）已知菱形 ABCD 的边长为a,/ ABC = 60 则BD CD等于（）A.-2a23b 4aC.|aD.|aBD2= BC2+ CD2 2BC CD os 120 = a2 + a2 2

13、a ax 岁=3a2,BD = _,3a. BD CD = |BD |CD |cos 30 = 3a2 x 宁二 |a2x, x y,y, x y,2. （2014 浙江）记 maxx,y =minx,y=设 a,b为平面向量，则（） y, xy,x, xy,A. min| a+ b|, |a b| min| a|, |b|C. max| a+ b|2, |a b|2 w |a|2 + |b|2D. max| a+ b|2, |a bf |a|2 + |b|2答案 D答案 D解析 如图所示，由题意，得 BC = a, CD = a, / BCD = 120.解析 由于|a + b, a b|与

14、|a|, |b|的大小关系与夹角大小有关，故A , B错.当a, b夹角为锐角时，|a+ b|a b|,此时,|a + b|2|a|2+ |b|2;当 a, b 夹角为钝角时，|a + b|a|2+ |b|2； 当 a丄 b 时，|a + b|2= |a bp = |a|2+ |b|2，故选 D.3. （2015湖南）已知点A, B, C在圆x2+ y2= 1上运动，且AB丄BC若点P的坐标为（2,0）,则|PA+ PB + PC|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9答案B解析/ A, B, C 在圆 x2+ y2= 1 上，且 AB丄 BC, AC 为圆直径，故 RA+ PC = 2PO

15、= ( 4,0)，设 B(x, y)，贝U x2 + y2= 1 且 x 1,1, PB = (x2, y), PA+ PB+ PC = (x 6, y).故|PA+ PB+ PC|=，:一 12x+ 37, x = 1 时有最大值 49= 7, 故选B.4. 如图，在等腰直角 ABO中，OA = OB= 1, C为AB上靠近点A的四等分点，过 C作AB的垂线l, P为垂线上任一点，设 OA= a, OB= b, OP = p，贝U p （b a）等于（）a1B.1D.|A. 2C. - 2答案 A解析 以OA, OB所在直线分别作为 x轴，y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系，3 1则 A(

16、1,0), B(0,1), C(4 -),13直线I的方程为y -= x -,4 41即 x y -= 0.5 11设 P(x，x 2)，则 p = (x, x 2),而 b a = ( 1,1),所以 p(b a) = x+ (x= .5B.(2，25在平面上，ABAB2, |0B1|= |0B2|= 1, AP = AB1+ AB2.若|0P|3 1 3 21 3 2AB = AD 4AB.因为 AP BP= 2，所以(AD + 4AB) (AD *AB) = 2，即 AD2 ?AD AB AB2=2.又因为 Ad2= 25, AB2= 64,所以 AB AD = 22.9. 设非零向量

17、a, b的夹角为 0,记f(a, b) = acos 0 bsin 0若ei, e2均为单位向量，且ei e23=，则向量f(ei, e2)与f(e2, ei)的夹角为 .答案n2解析亠 一V3 f 伯 一一一e1 e2V3由 e1 e2=，可得 cos e1, e2=门，2|e1|e2|2故en5 n訂，e2= ；, e2, e1= n e2, e1=；.66nn V31f(ei, e2)= eicos e2Sin =ei ;e2,6 622f(,5 n5 n 1V3e1)= e2cos 6 ( e1)sin 石=?e1 2.f(e1,並 11 並 込e2) f(e2, e1) = ( ?

18、& 2。2)勺& ? e2)= ? e1 e2 = 0,所以 f(e1, e2) _Lf(e2, e1).n故向量f(ei, e2)与f(e2, ei)的夹角为g10. 如图，在厶 ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB = 1, AC = 3, AB, AC = 60 则 |OA|=答案今3 解析 因为AB, Ac = 60 所以 Ab Ac = |AB| |AC|cos 60 =ix 3x2=3 又AO=2(Ab+ AC), 所以AO2= 4(Ab+Ac)2= 1(ab2 + 2Ab ac+ Ac2),即 ao2=*1 + 3 + 9)=乎，所以 亟匸弓3八亠口311. 已知向量 a =

19、 (sin x, 4), b= (cos x, 1).(1)当 a/ b 时，求 cos2x sin 2x 的值；设函数f(x) = 2(a+ b) b,已知在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,若a = . 3,、6nnb = 2, sin B=，求 f(x) + 4cos(2A+ g)(x 0 ,-)的取值范围.3解(1)因为 a / b,所以 3cos x+ sin x= 0.4所以 tan x=-4故 cos2x sin 2x=cos x 2sin xcos xsi n2x + cos2x1 2ta n x 81 + tan2x 5(2)f(x)= 2(a + b) b=2(s in