常见递推数列通项的九种求解方法

1、百度文库常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。 要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式， 为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。解决方法类型一：ani an f(n)( f n可以求和)累加法例1、在数列 an中，已知a1 =1，当n 2时，有an an 1 2n 1 n 2，求数列的通项公式。解析：:a* an i 2n 1(n2)a2q1a3a23a4a3*5上述n 1个等式相加可得ananp12n 122ana1n1ann评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型

2、一专项练习题】仁已知 a11， an a. 1 n ( n 2)，求 a.。2、已知数列 an ， a1 =2， an1=an+3n+2,求 an。8、已知数列an满足an 1an 2n已知an中，a 3, an 1 an1已知a1訂1可已知数列 an满足a1若数列的递推公式为 a13, an(n1，a11，求数列an的通项公式。2n，求 an。3n 1an),求数列a n通项公式.ann 1 /3 (n,求通项公式an ？N )，则求这个数列的通项公式已知数列an满足anan3n1,求数列an的通项公式。已知数列an满足a112 , an 1an求an。10、数列 an 中，42, an 1

3、 ancn(c是常数,，n 1,2,3，|),且a1, a?,氏成公比不为1的等比数列.4(I )求c的值;(II )求an的通项公式.11、设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n)表示这n条直线交点的个数，则f (4) ;当n 4时，f(n) (用n表示).11.(1)5 (2)n2n 22类型二：am f(n) an ( f(n)可以求积)解决方法累积法例1、在数列 an中，已知a! 1,有nan !n 1 an, (n 2)求数列an的通项公式。答案:1.ann(n21)2.n (3 nan21)3. ann21 4.an2n1 5

4、.an32n 1123n1n 1n3126.an7.an12 38.an3 n 19. an10.(1)2 (2)ann n 222n解析：an 亘也咅更並耳an 1 an 2 an 3 a2 a1丄口口 3 2 1 二n 1 n n 14 3 n 12 *又 a1也满足上式；an(n N )n 1评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】1、已知a11,n an1an 1( n 2)，求 an。n12、已知数列 an满足a12,an 13nn十an，求 an。13、已知an中，an 1an，且 a12，求数列an的通项公式n 23n 14、 已知 a1 3 , an

5、1an (n 1)，求 an。3n 25、 已知a1 1, ann(an 1 an) (n N ),求数列an通项公式/6、已知数列an满足a11,an12nan，求通项公式an?7、 已知数列an满足an 1 2(n 1)5n a.,印 3，求数列a.的通项公式。(n 1)an 1 ( n2)，则an的通项8、已知数列an，满足 a1=1, an a1 2a2 3a3百度文库369、设的是首项为1的正项数列，且(n+ 1)an 1 - na?+an+1 an = 0 (n = 1,2, 3,)，求它的通项公式.10、数列an的前n项和为Sn，且aiSn = n 2an(nN*)，求数列an的

6、通项公式.答案:1. ann2. an23n3.an4.an63n 1n2 n5. an n 6. an2 27. an3 n!2n类型三可。解析:an1an 1可将其转化为an在数列设an8.an9.anAan10. an22n n解决方法an中,a1an2 3n 1 13 an3 an【类型三专项练习题】1、在数列an中,2、若数列的递推公式为3、已知数列an中,B(其中A,B为常数AA(an t)，其中 t -BA1，当n 2时，有an，则ana11,an 1a11,an 10,1，则数列3an 12 ,3an 1 2tan1是以a12an2ana1=1, an= 2an24、在数列an

7、(不是常数数列)中,an 15、在数列an中,a1人求an .人an 16、已知数列 an满足a1 1,an 1 2an待定常数法an t为公比等于A的等比数列，然后求an即求数列 an的通项公式。12为首项，以3为公比的等比数列。3，求数列an的通项公式。2(n N )，则求这个数列的通项公式1 (n 2)求通项an .12an2且a11,求数列an的通项公式31(n N ).求数列 an的通项公式.7、设二次方程 anx2- an+1.x+1=0(n N)有两根a和 B，且满足 6 a -2 a3 +6 3 =3.(1)试用an表示a(2)求证：数列22是等比数列;百度文库12(3)当a1

8、7时，求数列 an的通项公式68在数列an中，Sn为其前n项和，若a12，并且Sn 13Si2Sn 110(n2)，试判断an 1 (n N )是不是等比数列?答案：1. an 32 2.an2 2n 13.an2 21 n 4.an5.an1 3n126. an2n 1 7.(1)an 1an类型四：AanBanCan10;其中A,B,C为常数,且ABC可将其转化为A an 1ananan 1(*)的形式，列出方程组Bc ,解出还原到(* )式，则数列an是以a?a1为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可A以求出an。例1在数列an 中,aia24，且an 1 3an 2an 1

9、n 2求数列an的通项公式。解析：令an 1an(anan i),( n 2)得方程组解得1, 2;an 1anan则数列an 1 an是以a2a1为首项，以2为公比的等比数列an 1 an2 2n2na3a?a4a322223ana12d 22n 2anan 12* 1评注：在 Aan 1 Ban Can 1A+B+C=0，则一定可以构造an2n n N0;其中A,B,C为常数，且ABC 0中，若an 1 an为等比数列。例 2 已知 a1 2、a2 3, an 1 6an 1 an (n 2),求 an13,26an 13ana23a, 2n19 2n 1;两边同除以2n 1 得，a13

10、an1n92n2 24an39人335令-nbn,bn1bn令bn 1tbnt，得 bn 1bnt224222599_93,9t, tbn 1bn241010210解析：令an iananan i n 2，整理得an 1故bn9是以b10虫为首项,2 10 10I为公比的等比数列。bntn设数列 bn an 1 2an (n 1,2,），求证：数列 bn是等比数列;设数列Cn閉（n），求证：数列 Cn是等差数列;刚 an 913 n 1心9 n1n 1，得an2n-32 10 102105【类型四专项练习题】1、已知数列 an中,a11, a22 , an 22an 1an，求 an。1010

11、21010335522、已知a1 = 1 ,a2=,an2 =an1-an,求数列an的通项公式an .3333、 已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn1 4a. 2（n 12川）,印1 ,4、数列an :3an 25an 12an0(n1,nN),a1 a,a2 b，求数列an的通项公式。答案：1. an1 3n 11 12.an33?n3.(3) an2n 13(n 1) 2n 2; s(3n 1) 2n 2433求数列 an的通项公式及前n项和。an2n 1 3(n 1) 2n 2; sn (3n 1) 2n 2n 14. an 3b 2a 3(a b)-3类型五：an 1 pan

12、 f(n) ( p 0且 p 1)般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1设在数列an中，a11，an-an 12n1 n2求数列an的通项公式。/2解析：设bnanAnbanAn B1an 1An1 B2A220A 4展开后比较得ABB 610221这时bnbn1 n2且bnan4n 62bn是以3为首项，以1-为公比的等比数列2, r1 1n 1n 1111bn3 -即3 -an 4n 6，an3 -4n 6222例2在数列an中,印2，an2an 12“ 1n 2求数列 an的通项公式。解析：| *an2an 12“ 11n2nn 1an2an 12n1，,两边同除以2

13、n 得 anan72an是以耳=1为首项，2为公差的等差数列2口2口2n21 n12 2n 1即 an 2n2n12n例3 在数列an中，印5，ann2an 121 n2,nN 求数列an的通项公式。解析：在an2an 12n 1 中,先取掉2n，得an 2an 11令an2 an 1，得1，即 an 1 2(an 1 1)；然后再加上 2n得 an 12 an i 1 2n ；an 12 an 1 12n两边同除以2n，得 冲 芒 J 1; 呻 是以 也2为首项，1为公差的等差数列。2【丨2丨| 12n22 n 1 n 1,2评注:若f (n)中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，

14、再构造或待定。1,求数列an的通项公式。已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4, a15 2n 4中取掉5 2n待定令an 1t3ant ,则an 13an .an 123an25 2n ,整理得：令J2bn ,则bn 13bn52n22令bn 1t32bnt ,bn 13b -2 n 2即bn153bn5；数列bn 5解析:2是以在 an 1 3an2t 2t 4,t 2 ； an 1 2 3 an 2 ,再加上 5 2n得,3 一 21375652naa* 1232* 1an 22 2n3 一_213一 2bia15;13为首项,23为公比的等比数列。2n 1;整理得 an 13

15、3n 1 5 2n 2类型5专项练习题：4 11 2*1、 设数列 an的前n项和Sn -an -2n 1 n 1,n N ，求数列 an的通项公式。3332、 已知数列 an中，a1寸，点n,2an 1 a.在直线y x上，其中n 1,2,3 | .(1) 令bn an 1 an 1,求证：数列 bn是等比数列；(2) 求数列an的通项；n 13、 已知 a1 2， an 1、4an 2 ，求 an。4、 设数列 an : a1 4, an 3an 1 2n 1,(n 2)，求 an.5、 已知数列an满足a1 2,an 1 2an (2n 1)，求通项an36、 在数列an中，a1， 2a

16、n an 1 6n 3，求通项公式an。25 117、 已知数列 an 中，a1, a* 1 a* ( )n 1，求 a*。6 328、已知数列an,a1=1,nN,an1 = 2an+ 3求通项公式an.9、已知数列an满足an13an23n1,a13，求数列an的通项公式。百度文库221410、若数列的递推公式为 a1 1,an 1 3an 2 3n 1(n N)，则求这个数列的通项公式_n 111、已知数列 an满足印1,a. 1 3a. 2 ,求an.12、已知数列an满足an 1 2an 3 2n，a1 2，求数列an的通项公式。13、已知数列an满足an 1 2an 3 5n，a1

17、 6，求数列an的通项公式。14、n 1已知 a11，an a. 12 ，求 a.。15、已知an中，a1 1，an 2a. 1 2n( n ? 2)，求 a.16、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 14a. 2(n 1,2,设数列bnan 12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列;in)，设数列Cnan2n 佃)，求证：数列 Cn是等差数列;求数列an的通项公式及前n项和。答案：1.an4nn2 2.(2)3an 班 n2 3.an4n 2n 4.an4 3n5. an5 2n2n1 6. an92 7. an8. an3n2n9. an(2n1)10.an3n(72n)1

18、1.an3“ 12*112.(3n 1)2* 113.an5n 2n14.an15.a12n1116. an2n3(n1) 2n；Sn(3n 1)2n类型六:anC anpan d解决方法倒数法例1 已知a12an 1，求an。1 ；解析：两边取倒数得:an 12 an1设anbn,则 bn12bn1令bn 1 t (bn t)；展开后得,bn 12bn2百度文库18bn 2是以b1 2 - 2-为首项,4ai1丄为公比的等比数列。2n 171171bn271；即-27142an421，得an评注：去倒数后，一般需构造新的等差(比)数列。 【类型六专项练习题】：1、若数列的递推公式为ai3,1 2(nan 1an)，则求这个数列的通项公式。2、已知数列 an满足a11,n 2时，an 1 an 2a“咼，求通项公式a“。3、已知数列 an满足:anan 1,aan 111，求数列 an的通项公式。4、设数列an满足a12, ananan3,求 an.5、已知数列 an满足a1=1,an，求an3an 66、在数列an中，a12, an 13a，求数列an的通项公式.an 37、若数列 an中，a1=1, a答案:1.an6n2. an1 an12n6. an7.2n 1类型七:2an_ n N，求通项a213 an3n 24.an5. an12n 1已知数列an前n项和Sn41