平行四边形的专题应用

1、专题平行四边形中的简单证明、平行四边形的性质CD相交于点0,1.在平行四边形 ABCD中，将 ABC沿AC对折，使点B落在B处，AB和求证：OD=OB。F是AC上两点，且AE=CF求证： EBFFDE3.如图，在.：ABCD勺纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点(1) 求证：AE=AF(2) 求证：ABE AGF二、平行四边形的判定BE、DF、AF 与4 .如图，在口 ABCD中, E, F分别为AD, BC上两点，且 BF=DE连AF、CEBE相交于M点，DF与CE相交于N点，求证：四边形 FMEN为平行四边形。5.如图，AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，求证：四边形 ABCD

2、为平行四边形。BD于 F,6.如图所示，已知E为门ABCD中 DC边延长线上一点，且CE=DC连AE分别交BCG,连AC交BD于0点，连OF。（1）求证：AF=EF（ 2）DE=4OF专题 平行四边形中的面积问题【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题、方程的思想二 ABCD1.如图，在 ABCD 中，AE BC 于 E, AF CD 于 F,已知 AE=4，AF=6，的面积。2.如图，E是 ABCD内任一点，若S： ABCD 6，则S ABE S CDE 、分类讨论的思想3 在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线 BC于点E,作AF垂

3、直于CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为()A 1111 32B. 11C. 1111 .32三、数形结合的思想4.基本图形：如图，在 ABCD中，AC , BD交于点0 ,过点0任作直线分别交 AD , BC 于 E, F。基本结论：(1 )图中的全等三角形有： (2) 图中相等的线段有：(3) 与四边形ABEF周长相等的四边形是(4 )过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，ABFE应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，A ( 5,0), C (1,4),过点P (0, -2)的直线分别交于 OA , BC于M、N，且将.OABC

4、的面积分成 相等的两部分，求点 M、N的坐标。专题构造三角形中位线【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一一、连接两点构造三角形中位线1如图，E、F、G、H分别为四边形 ABCD四边的中点，试判断四边形 EFGH的形状并予 以证明。2.如图，在 ABC中， B 2 A , CD AB于D , E、F分别为AB、BC的中点。求证：DE=DF。3.如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC ,CBD 45 , ADB 105，探究EF与PF之间的数量关系，并证明。4.如图，点B为AC上一点，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边

5、 ABD和等边 BCE , 点P、M、N分别为AC、AD、CE的中点。(1)求证：PM=PN ; (2)求 MPN的度数二、利用角平行线+垂直构造中位线5.如图，在 ABC中，点M为BC的中点，AD为ABC的外角平分线，且 AD BD ,若 AB=12，AC=18，求 MD 的长。6.如图，在 ABC中，AB=BC， ABC 90，F为BC上一点，M为AF的中点，BE 平分 ABC，且 EF BE，求证：CF=2MEC三、倍长构造三角形中位线7.如图，在 ABC中， ABC 90 , BA=BC , BEF为等腰直角三角形，BEF 90 ,1M为AF的中点，求证：ME= CF。2四、取中点构造

6、三角形中位线&如图，四边形 ABCD中，M、N分别为 AD、BC的中点，连 BD，若AB=10 , CD=8 ,求MN的取值范围。9.如图，在 ABC 中， C 90 , CA=CB , E、F 分别为 CA、CB 上一点，CE=CF , M、AE= 2 MN。N分别为AF、BE的中点，求证:10.如图，点P为 ABC的边BC的中点，分别以AB、AC为斜边作Rt ABD和Rt ACE ,且 BAD CAE，求证：PD=PE。专题矩形中的折叠与勾股定理1如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=12 , BC=5，点E在AB上，将 DAE沿DE折叠,使点A落在BD上的A处，求AE的长。2 将一张矩形

7、ABCD纸片按如图方式折叠，使点 A与点E重合，点C与点F重合（E、F均在BD上），折叠分别为 BH、DG。(1)求证： BHE DGF(2)若 AB=6，BC=8，求FG的长。nHr-3.如图，在矩形 ABCD中,AB=3 , BC=4，沿EF折叠，折痕为EF,使点C落在A点处,点D落在点G处。（2）求AE的长;(3)求EF的长。操作发现:4. ( 1)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE ,且点G在矩形ABCD内部,小明将BG延长交DC于边F,认为GF=DF，你同意吗？请说明理由。(2)问题解决:保持（1）中的条件不变，若 DC=2DF(3)保持（1）中的

8、条件不变，若 DC=nDFAD砧洁，求 的值；ABAD，直接写出 的值:AB类比探究:n专题构造斜边上的中线1.如图，BCD和BCE中,，O为BC的中点,BDCBEC 90BD，CE交于DE=OEA, BAC 120，求证:2.如图，在 ABC中，BD点，（1）求证：MN DEAC 于 D,CE AB 于E,点M、N分别是连 ME, MD，若 A 60，求BC, DE的中MNDE的值。3.如图，在 ABC 中，AB=BC , ABC90，点E、F分别在 AB , AC上，且 AE=EF ,(1) OM= - CE； (2) OB= 一 2 OM2点O, M分别为AF , CE的中点，求证:13

9、5 , CBDE 于 B, EA CD 于 A ,求证：CE= 2AB。【方法归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形：已知 ABD 和 ABC 都是 Rt , ADBACB 90基本结论：图 1 中，若 OA=OB，贝U OA=OB=OD，若 OA=OD，贝U OB=OD，若 OB=OD , 贝U OA=OD。图 2 中，若 OA=OB，则 OA=OD=OC=OB，图 3 中，若 OA=OB，则 OA=OD=OC=OB。专题灵活运用菱形的性质1如图，菱形 ABCD中，点E为AC上一点，且 DE BE(1) 求证：ADE ABE(2) 若 DAB 60，AD= 2 3，求

10、DE 的长。2.如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的一点，折痕的一段 G点在边BC 上，另一端 F 在 AD 上，AB=8 , BG=10.(1) 求证：四边形BGEF为菱形;(2) 求FG的长。3.如图，四边形 ABCD与四边形AECF都是菱形，点EF在BD上，已知 BAD 120 ,ABEAF 30，求一一的值。AE4.如图，菱上形 ABCD的边长为2,且 ABC 120，点E是BC的中点，点P为BD 上一点，且 PCE的周长最小、(1) 求 ADE的度数；(2) 在BD画出点P的位置，并写出作法;(3)求 PCE周长的最小值。5.如图，在 Rt ABC 中， ACB 9

11、0 , AC=4 , BC=3 , D 为 AB 上一点，以 CD、CB 为边作菱形CDEB，求AD的长。1如图，在-:ABCD中,专题灵活运用菱形的判定E 为 BC 上一点，连 AE、BD，且 AE=ABEADABCD是菱形(1)求证： ABE2.如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，AE/BC，DE/AB，DE与AC交于点0,连CE.(1)求证：AD=EC ；(2)若 BAC 90，求证：四边形 ADCE是菱形。AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点,BE交AC于F(1) 求证：AFD CFE(2) 若AB/CD，试证明四边形 ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定 E

12、点的位置，使 EFDBCD，并说明理由。4.如图，点E为AB上一点，以AE、BE为边在AB同侧作等边 AED和等边 BEC ,点P、Q、M、N分别是 AB、BC、CD、DA的中点。(1) 判断四边形PNMQ的形状，并证明；(2) NPQ的度数为 (直接写出结果)中AD边上的中点,(1)求证：EB=EC ;BD , CE相交于点F。专题正方形中的简单证明【方法归纳】：运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明。1.如图，正方形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O, M、N分别在OA、OB上，且OM=ON。(1 )求证： BM=CN : CN BM(2)若M

13、、N分别在OA、OB的延长线上，则(1)中的两个结论仍成立吗？请说明理(2)求证：DAF DCF(3) 求证：AF BE(4) 过 F 作 FG/BE 交 BC 于 G,求证：FG=FC。3.如图，已知正方形 ABCD，点P在对角线BD上，PEPA 交 BC 于 E, PF BC ,垂足为F点。（1）求证:PEC BAP（2）求证:EF=FC;2 CF；4.正方形 ABCD和正方形 AEFG有公共顶点A，将正方形 AEFG绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角 DAG ，其中0180，连 DF、BF，如图。(1)若 0，贝y DF=BF，请加以证明;(2)试画出一个图形（即反例），说明（1）中命题的

14、逆命题是假命题;(3)对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接 写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。专题中点四边形【方法归纳】：中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点。、1如图，求证：四边形 EFGH为平行四边形。2.3.4.(1)(2)(1)(2)(1)(2)如图1,若四边形 ABCD是矩形，求证：四边形 EFGH是菱形。如图2,若AC=BD，则四边形EFGH的形状是11如图1,若四边形如图2, 若 ACABCD是菱形，求证：四边形 EFGH是矩形。BD，则四边形EFGH的形

15、状是若四边形如图1,ABCD是正方形，则四边形 EFGH的形状是如图2,若AC=BD , AC BD，求证：四边形 EFGH是正方形。5.如图，四边形ABCD 中,AB=CD , E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，求证：四边形EFGH是菱形。6.如图，CA=CB , CD=CE , ACB DCE 90 , M、N、G、H 分别为 AE、AB、BD、DE的中点，求证：四边形 MNGH为正方形。专题运用正方形的性质求点的坐标E、F，贝U BCECDF【方法归纳】：利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标。基本图形：已知正方形 ABCD，过B、D两点分别向过点 C的直线作

16、垂线，垂足分别为、利用垂直且相等构造全等求坐标1如图，A (-1,0), B (0,3),以AB为边作正方形 ABCD，求C, D的坐标。2如图，边长为 2的正方形OABC的OA边与y轴的夹角为30，求B, C的坐标。3.(0,4),延长EA至D，使AD=AE，四边形ADCB为正方形,、利用面积法求点的坐标4.如图，A （-3,4）,四边形OABC为正方形,AB交y轴于D。（2）求点D的坐标。专题正方形中的动态问题【方法归纳】：抓住图形之间的联系，辅助线及解题思路的类似性来解题。1如图1在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，过点F作GH AF， 交直线AB于G,交直线CD于H。（

17、1）求证：BG=CH-BE ；（2） 如图2,若F是AE延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG、BE、CH之间的数量关系。2.问题：如图1，点E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上， EAF 45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系。【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90至 ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论。【类比引申】如图 2，四边形 ABCD中， BAD 90 , AB=AD , B D 180 ,点E、F分别在边BC、CD上，则当 EAF与 BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD。【探究应用】如图3，在某公园的同一平面上，四条道路围成四边形ABC

18、D，已知AB=AD=80 米， B 60 , ADC 120 , BAD 150，道路 BC、CD上分别有景点E、F，且AE AD , DF=40 （、3-1 ）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长。Dli专题正方形中的2问题(一)基本图形【方法归纳】处理问题的关键是急用条件构造等腰直角三角形ABC 90，贝y BA+BC= 2 BD (补短法或基本图形：基本结论：图1中，若DA=DC， ADC作垂线可证)图 2 中，若 DA=DC , ADCABC 90，贝U CB-AB= 2 BD (截长法或作垂线可证)1.如图，在正方形 ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，ED=EF ,求证：(1) DF=、2AE ; (2) BF= . 2 EF; (3) CB+CF= 2 CE。2.如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，E为正方形外一点，且 AE BE(1)求 OEB 的度数；(2)求证：EA+EB=、2OE。3.如图，若上题中的 E点在正方形内部，其它条件不变,(1)求 OEB的度数;(2)试探究EA、EB、OE之间的数量关系。4.如图，若点 E为正方形A