平行四边形的判定典型例题及练习

1、平行四边形、知识点复习1、平行四边形的判定平行四边形的判定方法两组对边分别平行的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。对角线相互平分的四边形是平行四边形。2、平行线等分线段和三角形中位线定理1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2）平行线等分线段定理的推论经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。3）三角形的中位线 : 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（ 4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3、三角形的重心（1）

2、重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。、典型例题讲解模块 1：平行四边形的判定题型 1：平行四边形的判定例题 1：如图所示，在平行四边形 ABCD中， AE,CF 分别是 DAB， BCD 的平分线， 求证：四边形 AFCE 是平行四边形。例题 2：如图，在等边三角形 ABC中， D 是 BC的中点，以 AD为边向左侧作等边三角形ADE。1）求 CAE 的度数。CDEF 是平行四边形。2）取 AB的中点 F ，连接 CF 、EF 。试证明四边形例题 3：如图，在平行四边形 AB

3、CD中， BD 为对角线，E, F 是 BD 上的点， 且 BE DF .求证：四边形 AECF 是平行四边形。变式练习：1.如图，在 ABC中，中线 BD ， CE相交于点 O, F、G分别是 OB 、 OC的中点，连接EF,FG,GD,DE ，求证：四边形 DEFG 是平行四边形。2.如图，已知 AB/DE， AB DE，AF DC ，求证：四边形 BCEF是平行四边形。3.如图，四边形 ABCD中， AD / BC ，作 AE/DC交BC于E。 ABE的周长是 25cm， 四边形 ABCD 的周长是 37cm ，那么 AD cm。题型 2：添加条件证明平行四边形例题 4：如图，在四边形

4、ABCD中， DACACB ，要使四边形 ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件不能是（ ）A、 AD BC B 、 OA OC C 、 AB CD D 、 ABC BCD 180 例题 5： A 、 B 、 C 、 D在同一平面内，从 AB/CD ； AB CD ； BC / AD ； BC AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有种。变式练习1.（ 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD是平行四边形（A、 OA OC,OB DOC、 AD / BC,AD BCB 、 BADBCD , AB / CDD 、 AB CD,A

5、O CO2. 已知在四边形 ABCD中， AB / CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A、 AD BC B、 AC BD C 、 AC D 、 AB3.如图所示，平行四边形 ABCD中， E、 F 是对角线 BD上两点，连接 AE, AF ,CE, CF , 添加条件，可以判定四边形 AECF 是平行四边形。（填一个符合要求的条件即可）4. 四边形 ABCD 中， AD / BC ，要使四边形 ABCD 成为平行四边形还需满足的条件是 （横线上只需填一个你认为合适的条件即可）题型 3：平行四边形的判定与性质的综合应用例题 6：已知：如图，平行四边形 ABC

6、D的两条对角线相交于点 O， E是 BO的中点，过 点 B 作 AC 的平行线，交 CE 的延长线于点 F ，连接 BF 。1）求证： FB CO ；2） 求证：四边形 AOBF 是平行四边形。例题 7：如图所示， O为等边 ABC内任意一点， OD / BC ， OE / AC ， OF / AB ，并 且D、E、 F分别在 AB 、 BC 、 AC上，求证： OD OE OF BC例 题 8: 如图所示 ， BD 是 ABC 的 角平分 线，点 E , F 分别在 边 BC , AB 上 ，且 DE / AB,EF / AC .（1）求证： BE AF ；（2）若 ABC 60 ,BD 6

7、, 求四边形 ADEF 的面积。变式练习1. 如图， P是等边三角形 ABC外一点，且PD / AB , PE / BC ，PF / AC ，若 ABC的 周长是 36，则 PD PF PE = 。2.如图，在平行四边形 ABCD中， AC交BD于点O, AE BD，CF BD ，垂足分别 为 E, F ，求证：四边形 AECF 为平行四边形。3. 如图所示，在平行四边形 ABCD中， C 60 , M,N分别是 AD,BC 的中点， BC 2CD .（1）求证四边形 MNCD 是平行四边形；（ 2）求证 BD 3MN .题型 4：平行四边形中的动点问题例题 18：如图，在四边形 ABCD中，

8、AD BC，且 ADBC，BC=6cm，点 P、Q分别从 A、C 两点的位置同时出发， 点P以1cm/s的速度由点 A向点 D运动，点Q以2cm/s 的速度由点 C出发 向点 B 运动试探究：几秒后四边形 ABQP是平行四边形例题 19：如图，在四边形 ABCD中， AD/BC, AD 6，BC 16， E是BC的中点。 点P以每秒 1个单位长度的速度从点 A出发，沿 AD向点D运动；点 Q同时以每秒 3个单 位长度的速度从点 C 出发，沿 CB向点 B运动。点 P 停止运动时，点 Q也随之停止运动。 当运动时间 t 为多少秒时，以 P,QE,D 为顶点的四边形是平行四边形。变式练习1.如图：

9、在四边形 ABCD中， ADBC，且 ADBC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别从 A、C同时出发， P以1cm/s的速度由 A向D运动，Q以2cm/s 的速度由 C向B运动， 秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形2. 如图，在四边形 ABCD中， AD/ BC， B 90 , AB 8cm，AD 24cm， BC 26cm，点 P 从点 A出发，以1cm/S的速度向点 D 运动；点 Q从点 C 同时出发，以 3cm/ s的速度向点 B 运动。规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也 随之停止运动，从运动开始，使 PQ / CD 和PQ CD ,分别需经过多少时间为什么模块 2：三角

10、形的中位线题型 1: 直接利用三角形的中位线性质例题 1：如图，在 ABC中， AB 5, BC 6, AC 7,点D, E, F 分别是 ABC三边的中点，则 DEF 的周长为（ ） 例题 2：如图， ABC 周长为 1，连接 ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三 角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第 2018 个三角形的周长为（ ）A、9B 、 10 C、11D、 122016 2017 2018 2019A、 22016B、 22017C、 22018D、 22019变式练习1. 已知三角形的 3 条中位线分别为 3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是 （ ）A、

11、3cmB 、 26cm C 、 24cm D 、 65cm2. 如图所示， EF 是 ABC的中位线， BD平分 ABC, 交EF 于 D,若DE 2，则EB 。题型 2：利用三角形的中位线解决图形的面积问题例题 3：如图， DE是 ABC的中位线， F是DE的中点， CF 的延长线交 AB于点 G,若CEF 的面积为 12cm2 ，则 S DGF 的值为（）2 2 2 2A、 4cm2B 、 6cm2C 、8cm2D 、 9cm2例题 4：如图， ABC的面积是 12，点 D、 E、F 、G分别是 BC、 AD、BE、CE的中点，则 AFG 的面积是（ ）A、25、35、30D、 42A、

12、4.5B 、5 C、 5.5D、6变式练习1. 如图，在ABC中，AB AC ，M,N 分别是AB,AC 的中点， D,E 为 BC 上的点，连接 DN , EM。若 AB13cm ，BC10cm ，DE5cm，则图中阴影部分面积为 （ ）2 cm 。第2题2. 如图，在 ABC中，第1题BAC 90 , AB 4,AC 6,点D,E 分别是 BC, AD的中点，AF / BC 交 CE 的延长线于 F ，则四边形 AFBD 的面积为题型 3：与三角形中位线有关的动点问题例题 4 ：如图，四边形 ABCD中， A 90 , AB 8, AD 6,点M,N 分别为线段BC, AB上的动点（含端点

13、，但点 M 不与点 B重合），点 E,F 分别为 DM,MN 的中点， 则 EF 长度的最大值为（A、 8B、 6 C、 4D、 5变式练习1. 如图，已知四边形 ABCD中， R, P分别是 BC ，CD边上的点， E,F 分别是 AP,RP的中点，当点 P在CD上从 C向 D移动而点 R不动时，下列结论成立的是（ ）A、EFP的周长不变B 、线段 EF 的长与点 P的位置无关C、点 P到EF 的距离不变DAPR的大小不变2. 如图，已知四边形 ABCD中， C 90 ,点P是CD边上的动点，连接 AP，E,F 分 别是 AB, AP的中点，当点 P 在 CD 上从点 D 向点 C移动过程中

14、，下列结论成立的是 （）A、线段 EF 的长先减小后增大B 、线段 EF 的长不变C、线段 EF 的长逐渐增大、线段 EF 的长逐渐减小题型 4：三角形中位线性质的综合应用例题 5：如图，在 ABC中，点 D是边BC的中点，点 E在 ABC内， AE平分 BAC， CE AE，点 F 在边 AB上， EF /BC.（1）求证：四边形 BDEF 是平行四边形；（2）线段 BF 、 AB、 AC 的数量之间具有怎样的关系证明你所得到的结论。变式练习1.如图所示， 已知 AO是 ABC中 BAC的平分线， BD AO的延长线于点 D,E是 BC1 的中点。求证： DE （AB AC） .2课后作业、

15、选择题。1. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是(A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D. 对角线相互平分的四边形是平行四边形2. 能判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是A、 AB/ CD,AD BCA B, CC、 AB/ CD, C A、 AB AD,CBCD3. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是(第3题第5题4.如图， ABC中， D、E分别是 BC、AC 的中点，BF平分 ABC ，交D

16、E于点 F，BC 6 ，则 DF 的长是(A、 3B 、 2 C 、 5 D 、 425. 如图， M 是 ABC 的边 BC的中点， AN 平分 BAC,BNAN 于点 N , 且 AB 10, BC 15,MN3,则 AC 的长是（6.A、 12B、 14 C、 16D 、 18如图，在 ABC中 D ，E分别是 AB,AC 的中点，点F,G在BC上，且BC 4BF4CG, EF与 DG相交于点 O，若DFE 40 ，DGE 80 ，那 么DOE 的度数是（、120、140、160A、100第7题第8题5， DC 7， AB 13，点 P 从7. 如图，在四边形 ABCD中， AB/CD

17、, AD BC点 A出发以 3 个单位 /s 的速度沿 AD DC 向终点 C 运动，同时点 Q从点 B出发，以 1个单位 /s 的速度沿 BA向终点 A运动。当四边形 PQBC 为平行四边形时，运动时间为A、 4sB、 3s2s D、1s8. 如图，平行四边形 ABCD中， AB 6cm， AD 10cm，点P在AD边上以每秒 1cm 的速度从点 A向点 D运动，点 Q在 BC边上，以每秒 4cm的速度从点 C出发，在 CB间往返运动，两个点同时出发，当点 P到达点 D 时停止（同时点 Q也停止），在运动以后，以P, D,Q, B四点组成平行四边形的次数有A、1 次B、2 次C 、3 次D

18、、4 次、填空题。B 50 ，先将 ADE 沿 DE 折叠，点 A 落在三角形所在平面内的点为A1，则 BDA1 的度数为9.如图，在 ABC中， D,E 分别是边 AB, AC的中点，10.如图，用 9个全等的等边三角形， 按图拼成一个几何图案， 从该图案中可以找出 平 行四边形。11. 如图，已知 BC为等腰三角形纸片 ABC的底边， AD BC, BAC 90 , 将 此三角形纸片沿 AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四 边形，则能拼出平行四边形 个。12. 已知直角坐标系内有四个点O(0,0), A(3,0), B(1,1),C(x,1)，若以O,A,B,C,为顶点的四边形是平行四边形，则 x =13. 如图，在等边三角形 ABCD中， BC 6cm，射线 AG / BC ，点E从点 A出发 沿射线 AG以1cm/ s的速度运动，点 F从点 B出发沿射线 BC以2cm/ s的速度运 动。如果点 E,F 同时出发，设运动时间为 t(s)，当t=s时，以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形。三、解答题14.如图，四边形 ABCD中， A ABC 90 ，AD 1, BC 3，E是边CD的中点， 连接 BE并延长，与 AD的延长线相交于点 F .求证：四边形 BDFC 是平行四边形。15.如图，在平行四边形 ABCD中