常微分方程习题答案

1、常微分方程第 4 章习题答案去找 去找 dy 1 cot 2 u31 cos 2 usin3u du31t2t2t221 t 22 dt3C由此得微分方程的通解为dx4 x t则 x 3 x 3t3 4 dy31 t 22t ， y1 t 2x3) x3 (ddxy)积分得， y 413(21t2 2ln t 21t2) c2 4ln t 1解：令 ddyx xt解得 x 4t1t3dy dy dx4t24(1 2t3 )dt dx dt1 t3 (1 t3 )216t2 (1 2t3)(1 t3 )316 (1 2t63 )3 (1 t3 )3dt3u t3 16 1 2u du3 (1 u

2、) 3du16 (1 u3)332 du3 (1 u 232 1 C(1 u)2 3 1 u 2去找 8 32 13 2 3 (1 t 3)2 3 1 t34t1 t 3由此得微分方程的通解为83 2 32 1 3 C。(1 t3)23 1 t 3习题 4 21得用 P判别式求下列方程的奇解：2) y xddyx (ddxy)2 解：方程的 P判别式为2y xp p ,x 2p 0消去 p，得 y x42 经验证可知 yx42 是方程的解。222 x x x x 令F(x,y,p) y xp p2则有Fy(x, 4, 2) 1，Fpp(x, 4 , 2) 2x2 x和 Fp (x, ) 0p4

3、 2因此，由定理 4.2 可知， y 1 x 是方程的奇解。42) y 2xdy (dy)2 dx dx 解：方程的 P判别式为2y 2xp p ， x p 0消去 P，得y x2 ，而 y x2 不是方程的解，故 yx2 不是方程的奇解。3)(y 1)2(dy)2 4 ydx q 解：方程的 P判别式为 (y 1)2p2 94 ，2(y 1)2 p 0 消去 P，得 y 0，显然 y 0 是方程的解，去找 令F(x,y,p) (y 1)2 p2 94y则有94Fy ( x,0,0)9Fpp( x,0,0) 2和 Fp ( x,0,0) 0 因此，由定理 4.2 知， y 0 是方程的奇解。2

4、举例说明，在定理 4.2 的条件 Fy (x, x(x),x(x) 0Fpp(x,x(x), x(x) 0中的两个不等式是缺一不可的，解：考虑方程方程( 1)的 P判别式为22p2 y 2 02 p 0消去 P，得 y x(x ) 0令 F (x, y, p) p2 y 2Fpp(x, y,p) 2因此虽然有，于是有 Fp (x, y, p) 2yFp (x,y,p) 2pFpp(x, y, p) 2 0和 Fp (x,0,0)但是 Fy (x,0,0) 0又 y 0 虽然是方程的解，且容易求出方程( 1)的通解为y xe x因此容易验证 y 0 却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2 中的

5、条件Fy (x( x), x(x) 0是不可缺少的。又考虑方程 sin( y方程( 2)的 P判别式为 sin( yp) yycos( yp) 0消去 P，得 y 0。令F(x,y,p) sin( yp) y于是有 Fy (x, y, p) pcos(yp) 1， 2Fp(x,y,p) ycos(yp)Fpp (x, y, p) y2 sin(yp)因此，虽然有Fy ( x,0,0)1 0和Fp ( x,0,0) 0但 Fpp(x,0,0) 0 ，而经检验知 y 0是方程(2)的解，但不是奇解。 因此由此例可看出定理 4.2 中的条件 Fpp (x, x( x), x( x) 0是 不可缺少的

6、。3研究下面的例子， 说明定理 4.2 的条件 Fp (x, x(x), x(x) 0是不可缺少的去找 1 3y 2x y 3(y)解：方程的 P判别式为1 3 2 y 2x p p 1 p 03消去 P，得y 2x 22y 2x 32 虽然是解，但不32检验知 y 2x 2 不是解，故不是奇解，而 3是奇解。令 F(x,y,p) y 2x p3p 2Fy ( x, y, p) 1，Fp(x,y,p)1 p2Fpp( x, y, p) 2p， 所以虽有Fy ( x,2 x 2,2) 1 03 2Fpp ( x,2 x 3,2) 4 032但是 Fp (x,2x ,2) 3 03因此此例说明定理

7、 4.2 的条件 Fp (x,x(x),x(x) p习题 4 3 1试求克莱罗方程的通解及其包络 解：克莱罗方程 y xp f (p)(p其中 f (p) 0。对方程( 1)求导值 (x f (p) dp 0dx由 dp 0 即 p c时代入( 1)得( 1)dxy cx f(c)(2)0 是不可缺少的。ddyx)(1)的通解它的 C判别式为y cx f(c)x f (c) 0由此得: x f (c) (c)， y cf (c) f(c) (c)去找 令V ( x, y, c) cx f (c) y 故Vx( (c), (c),c) cvy( (c), (c), c) 1所以 (Vx,Vy)

8、(0,0) 又( (c), (c) ( f (c), cf (c) (0,0) (由于 f (c) 0)因此 满足定理 4.5 相应的非蜕化性条件。 故 是积分曲线族 (2)的一支包络。 课外补充1求下列给定曲线族的包络。1)(x c) 2 (y c)2 4 解：由相应的 C判别式22V(x, y,c) (x c) (y c) 4 0Vc(x, y,c) 2(x c) 2( y c) 0消去 C得 C判别曲线( x y) 2 8它的两支曲线的参数表示式为1 ： x2 c ， y 2 c2 ： x2 c ， y 2 c对 1 ，我们有 ( (c), (c) (1,1) (0,0)Vx ( (c)

9、, ( c),c) 2( 2 c c) 2 2Vy ( (c), (c),c) 2( 2 c c) 2 2(Vx( (c), (c),c)v,Vy ( (c), (c), c) (0,0)因此 1满足定理 4.5 的相应的非蜕化条件，同理可证，2 也满足定理 4.5 的相应的非蜕化条件，故 1， 2 是曲线族的两支包络线。2 ( x c) 2 y 2 4c 解：由相应的 C判别式22V (x, y,c) (x c) y 4c 0去找 Vc ( x, y, c) 2(x c) 4 0消去 C得 C判别曲线y 2 4(x 1) 它的两支曲线的参数表示式为1:x 2 c ， y 2 c 12 :x

10、2 c ， y 2 c 11对 1 ，我们有 ( (c), (c) (1, ) (0,0)c1(Vx( (c), (c),c)v,Vy( (c), (c), c) ( 4,4 c 1) (0.0)因此 1满足定理 4.5 的相应的非蜕化条件，同理可证，2 也满足定理 4.5 的相应的非蜕化条件，故 1， 2 是曲线族的两支包络线。3. 证：就克莱罗方程来说， P判别曲线和方程通解的 C判别曲线同样是方程 通解的包络，从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为dyy xp f (p) (p , f(p) 0) (1)dx(1)的通解为y cx f (c)(2)( 2)的包络由y cx f(c) x