常微分方程精彩试题及问题详解

1、实用文档第十二章 常微分方程(A)一、是非题1任意微分方程都有通解。 ( X )2微分方程的通解中包含了它所有的解。 ( X )3函数 y 3sinx 4 cos x是微分方程 y y 0的解。 ( O )4函数 y x2 ex是微分方程 y 2y y 0的解。 ( X )5 微分方程 xy ln x 0 的通解是 y 1 ln x 2 C ( C 为任意常数 ) 2( O )6 y sin y 是一阶线性微分方程。 ( X )7 y x3y3 xy 不是一阶线性微分方程。 ( O )8 y 2y 5y 0的特征方程为 r 2 2r 5 0 。( O )9 dy 1 x y2 xy 2是可分离

2、变量的微分方程。 ( O ) dx二、填空题1在横线上填上方程的名称 y 3 ln xdx xdy 0 是可分离变量微分方程。 xy2 x dx y x2y dy 0是可分离变量微分方程。 x y ln 是齐次方程。dx x xy y x2 sin x 是一阶线性微分方程。 y y 2y 0 是二阶常系数齐次线性微分方程。2 y sin xy x cosx 的通解中应含 3 个独立常数。3 y e 2x 的通解是 1e 2x C1x C2 。414 y sin2x cos x的通解是 sin2x cosx C1x C2。45 xy 2x2y 2 x3 y x4 1是 3 阶微分方程。6微分方程

3、 y y y 6 0 是 2 阶微分方程。实用文档127 y 1 所满足的微分方程是 y y2 0。x8 y 2y 的通解为 y Cx 2。x9 dx dy 0 的通解为 x2 y2 C 。 yx10 dy 2y x 1 2 ，其对应的齐次方程的通解为 y C x 1 2。 dx x 1x211方程 xy 1 x2 y 0的通解为 y Cxe2 。123 阶微分方程 y x3的通解为 y 1 x6 C1x C2x C3 。120三、选择题1微分方程 xyy x y 3 y4y 0的阶数是 ( D ) 。A3B4C5D 22 微分方程 y x2y x5 1 的通解中应含的独立常数的个数为 ( A

4、 )A3B5C4D 23下列函数中，哪个是微分方程 dy 2xdx 0的解 ( B ) 。A y 2x B y x2 C y 2x D y x24微分方程 y 3y3 的一个特解是 ( B ) 。3 3 2 3 A y x3 1 B y x 2 3 C y x C 2 D y C 1 x 35 函数 y cosx 是下列哪个微分方程的解 ( C ) 。A y y 0 B y 2y 0 C yn y 0 D y y cosx6 y C1ex C2e x是方程 y y 0的( A ) ，其中 C1， C2为任意常数A通解 B 特解 C 是方程所有的解 D 上述都不对7 y y满足 y |x 0 2

5、 的特解是 ( B ) 。xA y ex 1 B y 2ex C y 2 e2 D y 3 ex8微分方程 y y sin x 的一个特解具有形式 ( C ) 。y a cosxA y*asin x实用文档C y* x asin x bcosx9下列微分方程中， ( A )A y 2y 0BC 5y 4x 0DD y* acosx bsin x 是二阶常系数齐次线性微分方程。 y xy 3y2 0y 2y 1 010微分方程 y y 0满足初始条件 y 0 1的特解为 ( A )Aex B ex 1 C ex 1 D 2 ex11在下列函数中，能够是微分方程 y y 0 的解的函数是 ( C

6、)A y 1 B y x C y sinx D y ex12过点 1,3 且切线斜率为 2x的曲线方程 y y x 应满足的关系是 ( C ) 。Ay 2x B y 2x C y 2x ，y 1 3 D y 2x ，y 1 313下列微分方程中，可分离变量的是 ( B ) 。A dy y e dx xB dy k x a b y ( k, a, b是常数) dxC dy sin y x dx2xD y xy y e14方程 y 2y 0 的通解是 ( C ) 。A y sin x B 2x 2x x y 4 e C y C e D y e15微分方程 dx dyyx0 满足 y|x 3 4 的

7、特解是 ( A ) 。Ax2 y2 25 B3x 4y C C x2 y2 C D x2y2 716微分方程 dy 1dx xy 0 的通解是 y ( B ) 。A C B Cx xC 1 C D x C x17微分方程 y y0的解为 ( B ) 。A ex B e xx x x C e e D e18下列函数中，为微分方程 xdx ydy 0 的通解是 ( B )实用文档Cx2 y 0A x y C B x2 y2 C C Cx y 0 D19微分方程 2ydy dx 0 的通解为 ( A )A2y2 x C By x C C y x C D y x C20微分方程 cos ydysin

8、xdx 的通解是 ( D ) 。Asin x cosy CB cosy sin x CCcosx sin y CD cosx sin y C21y e x 的通解为y(C )。Ae x B e xC e x C1x C2 D e x C1x C222按照微分方程通解定义，ysin x的通解是 ( A ) 。Asin x C1x C2B sinx C1 C2Csin x C1x C2D sin x C1 C2四、解答题1验证函数 y C e 3x e 2x(C为任意常数)是方程 dy e 2x 3y的通解， dx并求出满足初始条件 y|x 0 0的特解。2求微分方程 x y2 1dx y1 x2

9、 dy 0的通解和特解。 y|x 0 1解： 1 y2 C ， 2x2 y2 1 1x3求微分方程 dy y tan y 的通解。dx x x解： sinCx 。xy x yy4求微分方程 y x 的特解。y|x 1 2解： y2 2x2 ln x 2 。5求微分方程 y y cosx e sinx 的通解实用文档解： y e sin x x C6求微分方程 dy y sin x 的通解。dx x1 解： y sin x x cos x Cx77求微分方程 x 1 y 2y x 1 2 0的特解。y | x 0 1解： y 2 x 1 2 1 x 1 2338求微分方程 y22yx 满足初始条

10、件 x 0，y 1， y 3的特解。x1解： y x 3 3x 19求微分方程 y 2yy 满足初始条件 x 0，y 1， y 2的特解。解： arctan y x 或 y tan x4410 验 证 二 元 方 程 x 2 xy y2 C 所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程x 2y y 2x y 的解。11求微分方程 ex y ex dx ex y ey dy 0 的通解。解： e x 1 ey 1 C12求 dy y tan x secx ， y |x 0 0 的特解。dx x 0 解： y xcosx13验证 y1 cos x ，y2 sin x都是 y 2 y 0的解，并写出该

11、方程的通解。142求微分方程 y 2y x 的通解解： y Cx2 x 2 ln x实用文档1x15求微分方程 y 1 y ex 0 满足初始条件 y 1 0 的特解。xx解： y e exx16求微分方程 dy2 y x 1 3的通解。dx x 1解： y x 1 2 x 1 C217求微分方程 x dx y dy 0 满足条件 y 0 1的特解。1 y 1 x解： 2 y3 x3 3 y2 x2 518求微分方程 y y 2y 0 的通解。解： y C1ex C2e 2x19求微分方程 y 2y 5y 0的通解。解： y e x C1 cos2x C2 sin2x20求微分方程 y 4y

12、4y 0 的通解。解： y C1 C2x e 2x21试求 y x的经过点 M 0,1 且在此点与直线 y x 1相切的积分曲线。211解： y 1x3 1x 162(B)一、是非题1可分离变量微分方程不都是全微分方程。 ( X )2若 y1 x ， y2 x 都是 y P x y Q x 的特解，且 y1 x 与 y2 x 线性无关， 则通解可表为 y x y1 x C y1 x y2 x 。 ( O )3函数 y e 1x e 2x 是微分方程 y 1 2 y 1 2 y 0 的解。 ( O )4曲线在点 x,y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微 分方程是 y x2 C(

13、 C是任意常数 )。( X )实用文档1 5微分方程 y e2x y ，满足初始条件 y|x 0 0 的特解为 ey 1e2x 12( X )二、填空题1 y1 cosx 与 y2 sin x 是方程 y y 0 的两个解，则该方程的通解为y C1 cosx C2 sinx 。2微分方程 y 2y 3y 0的通解为 y C1e x C2e3x 。3微分方程 y 2y y 0的通解为 y C1 C2x ex。4微分方程 y e2x的通解是 y 1e2x C1x2 C2x C3 。 85微分方程 y y 的通解是 y C1ex C2 。6微分方程 dy 2xy 的通解是 y C ex2 。dx三、

14、选择题1微分方程 y 4y 4y 0 的两个线性无关解是 ( C ) 。2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xAe 与 2 e B e 与 x e C e 与 x e D e 与 4 e2 下列方程中，不是全微分方程的为 ( C ) 。A 3x2 6xy2 dx 6x2y 4y2 dy 0 B eydx x ey 2ydy 0C y x 2y dx x2dy 0 D2x2 y dx xdy 03下列函数中，哪个函数是微分方程 s tg 的解( C ) 。21 2 1 2A s gt B s gt 2 C s gt 2 D s gt 2224下列函数中，是微分方程 y 7y 12y 0的

15、解 ( C ) 。A y x3 B y x2 C y e3x D y e2x5方程 1 x2 y xy 0 的通解是 ( D )Ay C 1 x2yC1 x2C y1 x3 Cx D212x y Cxe 26微分方程 y lnxdx x ln ydy满足 y|x 1 1的特解是( A )实用文档Aln2x ln2 y B ln2 x ln2y 1C ln 2 x ln 2 y 0 D ln 2 x ln 2 y 1 7微分方程 1 x2 dy 1 y2 dx 0的通解是 ( A )A arctan x arctan y C B tanx tan y CC ln x ln y C Dcot x

16、cot y C8微分方程 y sin x 的通解是 ()。A y sin xy sin xC ysin x C1 x C2Dy sin x C1x C29方程 xy y 3的通解是 ( A )C3A y C 3 B y 3 C C xx四、解答题1求微分方程 y 9y 24x 6 cos3x 2 sin 3x的通解。解： y C1 x cos3x C2 2x2 x sin x3x2求微分方程 y 7y 6y sin x 的通解。解： y C1e6x C2ex 1 7cosx 5sin x743求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0 的通解。C解： y 2 xy x2 C

17、x(C)、是非题1只要给出 n 阶线性微分方程的 n 个特解，就能写出其通解。 X2已知二阶线性齐次方程 y P x y Q x y 0的一个非零解 y ，即可 求出它的通解。 ( O )二、填空题1微分方程 y 4y 5y 0的通解是 y e2x C1cosx C2 sinx 。实用文档2已知 y 1，y x，y x 2 7 某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方 程的通解为 y e2x C1cosx C2sin x 。3微分方程 y 2y 2y ex的通解为 y ex C1 cos x C2 sinx 1 。三、选择题1微分方程 y xy x x21 1 的通解为( )arctan x

18、Cx11Aarctanx C B arctan x C C arctan x C D x2微分方程 y y 1的通解是 ( )A y C ex B y C ex 1 C y C ex 1Dy C 1 ex3xy y 3xy y 3 的解是()y|x 1 0A y 3 1 1 B y 31 x C x1 y1xDy1x4微分方程 ddxy xy tan yx的通解为 ( )A sin y Cx B sin y 1 C xx Cxsin x CxyDxsinyCx5已知微分方程 y p x y2x 1 2的一个特解为 y* 23 x 1 2 ，则此微分方程的通解是 ( )A x 12 3C2C 2 x 12x 1 2 1122x 12 2 x 1 2实用文档解：代入 y ex 到方程 xy p x y x中，得 p x xe x x原方程为 xy xe x x y xy ex 1 C ee x ， y ex 1 y 11 x ln 2 ， y 0 C e 2 。22已知 y1 xex e 2x ，xx y 2 xe ex 2x y 3 xe ee x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。解： y1 y3 e x ， y3