八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1方法:ab2c2，即 2R找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）a2b2c2，求出 R例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B . 20 C . 24体积为16，则这个球的表面积是（.32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是解:16, a2 22 , 4R a2 h24 4 16 24，S24 ，选 C；(2)4R23 34 R29(3)在正三棱锥SABC 中,M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN ,若侧棱SA2、3则(3)

2、题-1C(3)题-2正三棱锥S ABC外接球的表面积是。 36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（3） -1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH 平面ABC , SH AB ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,AB SC,同理：BC SA, AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2 , AM MN , SB/MN ,AM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,

3、故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(2.3)2(2、3)2(2、3)236，即 4R236 ,正三棱锥S ABC外接球的表面积是 36(4)在四面体S ABC中，SA 平面ABC ,BAC 120 ,SAAC 2,AB 1,则该四面体的外接(5)(6)解析:BC球的表面积为（D ） A.11B.7如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为(4)在 ABC 中，BC2 AC2AB2 2AB、7， ABC的外接球直径为2rBC sinBAC(2R)2 (2r)2 SA2（5）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为

4、ab12bcabc24， a 3， bac(6) (2R)b2c23，R23，410C.-36、4、40D.33，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几BC cos1203，选Da,b,c( a,b,c，则c 2，(2R)2b2类型二、垂面模型1.题设：如图5, PA平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心0 ;（一条直线垂直于一个平面）第二步：0,为径0,Dasin A29，S 4 R229 ，ABC的外心，所以00, 平面ABC，算出小圆0,的半r （三角形的外接圆直径算法

5、：利用正弦定理，得 c 2r), 001 IpA ； sin B sin C2163第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ；R2r2 OO12R r2 OOi22.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点三棱锥P ABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶点图8-3解题步骤:第一步：确定球心 O的位置，取ABC的外心Oi，则PQO三点共线;第二步:先算出小圆 Oi的半径AOi第三步:方法二:r，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2

6、(h R)2 r2，解出 R小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为C.里 D .以上都不对3()CA.B.解:选 C, ( .3R)2R2, 3 2、3R R2 1 R2, 4 2 3R 0,23S 4R2图9-14.图9-2图9-3图9-4类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为1 题设：如图9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ；第二步：

7、在 PAC中，可根据正弦定理ab2R，求出Rsin Asin Bsin C2.如图9-2，平面 PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）OC h r,故球心在正方形的中心 SAC的外接圆，此处特殊，o1c2 o1o2R2 r20102AC2 一 R2 O1O23.如图9-3，平面 PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且 P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 O的位置，取 ABC的外心O1，则PQOj三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r，再算出棱

8、锥的高 PO1 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2，解出R4.如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且 PA AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）2 2R .PA2 （2r）2 ； R2 r2 OO12Rr2 OO12例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2 3，则该球的表面积为 补充:VaBCDabclabc614 abc3第三步：根据墙角模型,2RR2lx2y2 z2、R8 ，求出R，例如,正四面体的外接球半径可用此法。(1)题图1

9、2第三步：解 OEH1，算出OH1，在Rt OCH1中,例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是v31的球面上，其中底面的三个顶点313A.圧4PO2解：（1）截面为 PCO1，面积是 2 ；（2）高h R 1，底面外接圆的半径为 R 1，直径为2R 2 ,（1）题解答图设底面边长为a，则2R -2 , a 3 , S a23 3 ,sin60441 .3三棱锥的体积为V - Sh34(3)在三棱锥ABCD 中，AB CD 2, AD

10、 BC 3, ACBD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为292设长宽高分别为a,b,c，则a2 b29，a,b,c，解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,b22 c4 ,2 c a2 162( a2 b2 c2) 9 4 1629 ,2(a2 b2 c2) 9 4 1629 ,2.22292 29o 29abc4R2，22(4)如图所示三棱锥A BCD ,其中ABCD5, ACBD6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2 22 222 22(a2b2c2)25 36 49110，a2

11、b2c255，4R255，S【55;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为.2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R . 3，薦433 扁R ，V2 382类型七、两直角三角形拼接在一起题设： APB ACB 90 ,C求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O ,连接1OP AB,2半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定OP,OC，贝y OA OB OCO为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, 则四面体AB

12、CD的外接球的体积为(125125A.-12BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D , )12561253(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型解：(1) 2R AC 5 , R434125125R3 38（2）在矩形ABCD中，AB 2 , BC 3,沿BD将矩形，选C6ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥 A BCD解析：（2） BD的中点是球心O , 2R BD 13 ,S 4 R213的外接球的表面积为8 -3类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形

13、的外心;第二步:求 DH 1BD3，PO PH r， PD是侧面ABP的高;第三步:由 POE相似于PDH，建立等式：竺DHPO，解出rPDB图14-H2.题设：如图15，四棱锥ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;第二步:1求 FH BC , PO2PHPF是侧面PCD的高;第三步:OG由 POG相似于 PFH，建立等式：OGHFPO，解出PFD图153.题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r

14、，建立等式:VP ABCVO ABCVOPABPACVo PBCVp ABC1SS ABC3SpaB r Spac33r Spbc3r 3(SabcS PABSpaCS pbc ) r第三步:解出3Vp ABC习题：1. 若三棱锥A. 3解：【A】（2R）2,4 16 16ABC的三条侧棱两两垂直，B. 6C. 366 , R 3且 SA 2 , SB SCD.94,则该三棱锥的外接球半径为（【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2. 三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为 3的正三角形,323棱锥的外接球体积等于V3224解析：2r2 , （2R）4 1216, R 4 , R 2，外接球体积sin 603【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】SA 2 3，则该三323.正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为.3的正三角形，侧棱长为于 2，则该三棱锥的外接球体积等解析： ABC外接圆的半径为，三棱锥S ABC的直径为2R2sin 602或R2 (R .,3)21 , R _，外接球体积V4 .三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC ,P ABC外接球的半径为.R342产，外接球半径R -=,3. 332 327，PAC边长为2的正三角形，ABBC ,则三棱锥2 解析： PAC的外接圆是大