圆锥曲线定点定直线问题

1、文档定点定直线问题一、基础知识：1、处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）2）利用条件找到 k 与过定点的曲线 F x,y0 的联系，得到有关 k与 x, y的等式3）所谓定点，是指存在一个特殊的点x0, y0 ，使得无论 k 的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于 k 与 x, y的等式进行变形，直至易于找到x0, y0 。常见的变形方向如下： 若等式的形式为整式， 则考虑将含 k 的项归在一组， 变形为“ k”的形式，从而 x0, y0只需要先让括号的部分为零即可 若等式为含 k 的分式， x0, y0 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的 取值无关；

2、 或者考虑让分子分母消去 k 的式子变成常数 （这两方面本质上可以通过分离常数 进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证” 。（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条，从而观察这一类曲件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线） 线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线l : y kx k 1，就应该能够意识到 y k x 1 1 ，进而直线

3、绕定点1, 1 旋转2 x 例 1：椭圆 C : 2 a2、典型例题：2 1 a b 0 的离心率为 1 ，其左焦点到点 P 2,1 的距离为 10 b221）求椭圆 C 的标准方程2）若直线 l:y kx m与椭圆 C相交于 A, B两点（ A,B不是左右顶点） ，且以 AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：（1） e c 1 a:b: c 2: 3 :1，设左焦点 F1 c,0a 2 1文档PF110 ，解得 c2,b 3椭圆方程为x22 y2 1 32）由（ 1）可知椭圆右顶点 D 2,0设Ax1,y1 ,B x2,y2 ，Q以 AB为直径的圆过

4、2,0DAuuurDB 即 DAuuurDBuuur uuur DA DB 0uuurQ DAx1uuur2, y1 ,DBx22,y2uuurDAuuurDBx1 2 x2y1 y2 x1x2x1x24 y1y2 0联立直线与椭圆方程：y3x2kx m4y24k2x 8mkx 4x1x2128mk4k24 m2 3y1y24k23,x1x24k 2 3kx2k2x1x2mk x1x28mk4k 2 3mk4k 2 33m24k 2 312k2，代入到2uuur uuur 4 m 3DA DB 24k2 32 8m2 k4k 2 33m2 12k24k24m212 16mk 16k 2 123

5、m212k204k237m216mk4k2 07m2km 2k0m2k或m72km2k 时，7l : y kx2k7kx272l 恒过 ,07m2k 时， l: y kx2kkx2l 恒过2,0 ，但当当2,0符题意，故舍去为椭圆右顶点，不文档l 恒过 2 ,072 x 例 2：已知椭圆 C : 2 a22 y b21ab 0 经过点3, 23，且椭圆的离心率为1）求椭圆的方程2）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,C 和 B, D ，设线段AC,BD 的中点分别为 P,Q ，求证：直线 PQ恒过一个定点c1解：（1）ea: b:c 2: 3:1a22 x22 y22 12

6、2代入 3, 3可得：32312 1 c 14c2 3c224c24 3c222a2,b 3x椭圆方程为y1432）由（ 1）可得：F 1,0当直线 AC 斜率不存在时， AC : x 1,BD : y 0所以可得： P 1,0 ,Q 0,0 PQ 为 x 轴1当 AC斜率存在时，设 AC: y k x 1 ,k 0，则 BD: y x 1k设 A x1,y1 ,C x2,y2 ，联立方程可得：223x2 4 y2 124k2 3 x2 8k2x 4k 2 12 0x1x28k24k 2 3y1 y2 k x1 1k x2 1k x1 x2 2k6k24k2 3P x1 x2 , y1 y2P

7、 2 , 224k 2 , 3k4k2 3, 4k2 3同理，联立y3x2x1k ，可得：4 y2 12文档24 1 2k231 k 243k23k4 3k23k4k2 34k24k2 33k4 3k2423k2 47kk 2 1PQ 的方程为：3k y43k27k4 k 2 142 ，整理可得：3k24yk27x 4 k 4y4k 2 47x4047 时，直线方程对0R均成立直线PQ 恒过定点 4,07而 AC 斜率不存在时，直线4PQ 也过 ,07直线 PQ 过定点 4,07例 3：如图，已知椭圆C:2x2a2y2 1 a bb20 的左右焦点为 F1, F2，其上顶点为 A，已知VF1A

8、F2是边长为 2 的正三角形1）求椭圆 C 的方程 uuuur uuur2）过点Q 4,0 任作一动直线 l交椭圆 C于M,N两点，记MQQN ，若在线段 MNuuuruuur上取一点 R 使得 MRRN是否在某一定直线上运动？若在，说明理由解：（ 1）由椭圆方程可得 F1Q VF1AF2为边长是 2 的三角形文档F1F22 2cc1OAb2x22)设 MN : y设Mx1, y1 ,Nx2, y2uuuurMQx1,y1uuur,QN x24, y2uuuur 由 MQuuurQN 可得：x1x24 x1x2 4设 R x0,y0uuur，则 MRx0x1, y0 y1uuur,RNx2x0

9、, y2y0uuur 由 MRuuurRN 可得：x0x1x2x0x0x1x2联立方程组3x2x1x1x2x22 x1x2 4x1x1x1 x2x28x23 4k 2x1 x24y2kx124消去 y 整理可得：32k2x64k212 0232k234k2, x1x2264k2 124k2代入到可得：x064k22 634k 4k232k22 83 4k 212 432k23 4k 2243 4k 2243 4k 2R在定直线1上例 4 ：已知椭圆C的中心在坐标原点，左，右焦点分别为F1,F2， P为椭圆 C上的动点，VPF1F2 的面积最大值 为 3 ， 以原点 为中心，椭圆 短半轴长为半

10、径的圆 与直 线3x 4 y 5 0 相切1)求椭圆的方程文档2）若直线 l 过定点 1,0 且与椭圆 C 交于 A, B两点，点 M 是椭圆 C 的右顶点，直线AM ,BM 分别与 y 轴交于 P,Q 两点，试问以线段 PQ为直径的圆是否过 x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：（ 1） SVPF1F2max112 F1F2 b bc因为圆与直线相切532 42b1a2 b2椭圆方程为：y2 12）当直线 l 的斜率存在时，设x1，由椭圆方程可得点 M 2,0设 A x1,y1 ,B x2,y2 ，联立方程可得：x24 y2 4k x 12 2 2 21 4k2 x2 8k2

11、x 4k 240x1x28k21 4k2 , x1x24k 2 41 4k 2由M2,0 ， A x1, y1 ,Bx2, y2可得：AM :y1y x1 1 2x 2 , BM : yy22，分别令 x 0 ，可得：x2 2P 0,x12y12 ,Q 0,2 y2 ，2设 x 轴上的定点为x2N x0 ,0若 PQ 为直径的圆是否过 Nuuur uuur x0 ,0 ，则 PN QNuuur 2y uuur Q uPuNurx0,x12y12 ,uQuNurx , 2y200 x2 2问题转化为 x02x1 24y1y2x20 恒成立2文档即 x024y1y2 x1x2 2 x1 x204由

12、 x1x28k214k2, x1x24k214k42及kx可得：y1y2k 2 x1x2 1k2x1x2x1x23k24k2 1代入到可得：2x03k24k 2 1 4k 2 4 2 8k 2 1 4k 2 2104k2 42x012k2 24k 2x0 30 解得： x0圆过定点 3,0当直线斜率不存在时，直线方程为 x1，可得PQ 为直径的圆y2 3 过点3,0所以以线段 PQ为直径的圆过 x 轴上定点3,0例 5：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为 2 的椭圆 C : 22by2 1 a b 0 的左顶点为 A ，过原点 O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆于 P,Q 两点，直线

13、 PA, QA分别与 y轴交于 M,N 两点，C交当直线2 aPQ 的斜率为2 时， PQ 2 31）求椭圆 C 的标准方程2）试问以 MN为直径的圆是否过定点（与 PQ 的斜率无关）？请证明你的结论解：（ 1）由 kPQ22 可得： PQ:y 22xP x0, 22 x02由对称性可知： OP 1 PQ 3文档x0222 x0x0 2P 2,1 由 e2可得a:b:2c 2 :1:12x椭圆方程为 22b22 y b21 代入 P 2,12，可得： b22, a2 42xC:42 y2 1 22）设 Px0, y0由对称性可知 Q x0,y0 ，由（ 1）可知 A 2,0设 AP: y k

14、x 2 ，联立直线与椭圆方程：y k x 222x 2 y4x2 2k2 x 2 2 4 ，整理可得：2 2 2 22k2 1 x2 8k2x 8k 2 4 0xAx028k 4 解得：2 4k 2y02k 2 122 4k 22k2x02k2，代入 yk x 2 可得：4k22k 2 122 4k2 , 4k222k 2 1 2k2 1从而 Q22 4k2 ,4k222k 2 1 2k 2 14k 2k2 1 2 4k2 2k 2 14k2k 2 18k22k 2 112kAQ:y 1 x 2 ，因为 M ,N 是直线 PA,QA与 y轴的交点 2kM 0,2 k , N 0, 1k以 MN

15、 为直径的圆的圆心为22k 2 1 0,2k，半径 r2k22k 1圆方程为：x22k22k 2 122 xy2k 2 1k2k2k整理可得：所以令 y 0 ，解得 x2k 2 12k2k2 12kx22k2k 1y 2文档以 MN 为直径的圆恒过 2,02 x 例 6：已知椭圆 C : 2 a2y2 1 a b 0 的离心率为 1 ，以原点为圆心， b22为半径的圆与直线 xy6 0 相切，过点 P4,0 且不垂直 x 轴的直线椭圆的短半轴长l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点1）求椭圆 C 的方程2）若B 点关于x 轴的对称点是 E ，求证：直线AE与 x 轴相交于定点解：（1）已知圆方

16、程为：22 xyb2因为与直线相切d622b22c椭圆C 的方程为：x22）设直线 l : yA x1, y1 ,B x2, y2E x2 , y2联立方程可得：2y3k，消去 y 可得：43x2 4k2 x124k23 x2232k2x264k2 12 0x1 x2232k22 , x1x2 4k 2 3 1 264k24k2123考虑直线y2AE: kAE y1x1 x2y1 y2x1 x2直线 AE 的方程为： y y1y1 y2 x x1x1 x2令 y 0 可得： y1 x1 x2y1 y2 x x1文档x1 y2 x2y1 x y1 y2x x1y2 x2y1 ，而 y1 k x1

17、 y1 y24 , y2 k x2 4 ，代入可得：x1k x2 4 x2 k x1 4 x2x1 x2 4 x1 x2k x1k x2 4x1 x2 8代入 x1x232k24k2 3 ,x1x2264k 2 124k 2 32可得： x264k 2 124k 2 3 4322k2 84k2 332k24k 2 3244k 2 3 124 14k 2 3AE 与 x 轴交于定点 1,0例 7 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已知椭圆2C : ax22a2by2 1 a b 0 与 直 线l : x m m R ，四个点 3, 1 ,2 2,0 , 3,1 ,中有三个点在椭圆 C

18、 上，剩余一个点在直线 l 上使得 PM PN ，再过 P（1）求椭圆 C 的方程（2）若动点 P 在直线 l 上，过 P作直线交椭圆 C 于 M ,N 两点， 作直线 l MN ，求证：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标3, 1 , 3,1 必在椭圆上解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：若 2 2,0 在椭圆上，则为椭圆的左顶点。但 3 2 2 ，所以与 3,1 在椭圆上矛盾3, 3 在椭圆上92a32ab2b2124b2文档22xy 椭圆方程为 112 42）依题意可得 m 2 2 ， l 方程为： x 2 2Q PM PN 且P,M,N 共线P为 MN 中点P在

19、椭圆部2 2,23 32设 P 2 2, y0 ，因为 x 2 2 与椭圆交于 2 2, 3 3Q P为 MN 中点且 l MN 于 Pl为 MN的中垂线设 M x1,y1 ,N x2, y22x12y1211121242222212x1x2y1y220x2y214124x1x2x1x23y1y2 y1y2 0Q P为 MN 中点x1 x24 2, y1 y2 2y0当 y0 0 时ky1 y2x1 x22 2kMNx1 x23 y1 y23 y0Q l MNl: y y03y022223y02242x3l 恒过42432,0当 y0 0 时，直线 MN : x22文档 4 2l为 x轴，过,

20、03无论 P位于哪个位置，直线 l恒过 4 2 ,032例8：已知圆 C1: x 1 y2 8，点C2 1,0 ，点Q在圆C1上运动， QC2的垂直平分线 交 QC1 于点 P（1）求动点 P的轨迹 W 的方程1（2）过 S 0, 且斜率为 k的动直线 l 交曲线 W于 A,B两点，在 y轴上是否存在定点 D， 3使得以 AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 D 的坐标；若不存在，说明理由解：（ 1）由图像可得： PC1 PC2 PC1 PQ C1Q 2 2P点的轨迹为以 C1,C2 为焦点的椭圆a2,c1 b2 a22 c1x222 y1（2）设直线1l: y kx ， A3x1, y1

21、,Bx2,y2，与椭圆方程联立可得y1 kx3消去 y 可得： x22kx122 ，整理后可得：x22y2232k21 x24 16kx 039x1x24k162, x1x23 2k 2 1 1 292k21设D0,b ，因为以 AB 为直径的圆过D点DADBuuur uuurDA DB 0uuur Q DAx1, y1 buuur,DBx2, y2 buuurDAuuurDB x1x2y1b y2 b x1x2 y1y2 b y1 y22b2 0 文档y1 y2 k x1x223322k 2 1y1 y2kx1kx2k2x1x2 1 k x13x218k 2 19 2k 2 1代入到可得：

22、b 22b3 2k 2 1218k 2 19 2k2 1169 2k 222 2b 6k 2 5 b223 2k 2 16k2b2 1 3b22b 53 2k 2 1所以只需： 6k 2 b23b2 2b 5 0226k 2 b2 13b102 b 1 6k 2b6k23b0 可得 b所以存在定点0, 1例 9 ：已知椭圆 C1 :221和圆 C2: x2y2 1 ，A,B, F 分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点1）点 P 是曲线 C 2上位于第二象限的一点，若 VAPF 的面积为1 2 ，求证： AP OP242）点 M , N 分别是椭圆C1和圆 C2 上位于且直线 BN 的斜率是直线B

23、M 斜率的 2 倍，求证：直线过定点解：（ 1）由椭圆可得 A2,0 , B 0, 1 , F 1,0y 轴右侧的动点，MN 恒设 P x0,y0 ，由 P 在第二象限可得：x0 0, y0 0QVAPF 的面积为 1 224文档SV APF12 AF y022AFuuurAP122 , 22,22 , 22,22）设直线BMBM:ykxy0uuur,OP的斜率为x2kx4k21 2k22 ，代入圆方程可得：22 , 22,21 BN : y1 2k2 x2x0uuur uuurAP OPAPOP则直线 BN 的斜率为 2k2kx4kx代入直线方程可得：联立 BN 与圆方程：x2y2 12kx 11 4k 2 x2 4kx4kxN1 4k2代入直线方程可得：4k , 2k2 12 , 22k2 2k 2 1,NkMN2k 2 1 4k22k2 1 4k2 4k21 2k 211 4