圆锥曲线的综合问题突破策略

1、圆锥曲线综合问题之重点突破类型 1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程，往往是利用点差法或者韦达定理 产生弦 AB 的中点坐标 M ， 结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然后解决 相关问题。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三角形(即 |DA|=|DB| )、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等 .22【题 1】 椭圆 C： x2 y2 1(a b 0)的两个焦点为 F1、 F2，点 P在椭圆

2、 C 上，且 PF1 F1F2， a2 b2PF13，PF214x1x218k 2 9k24 9k 212分1分9分(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若直线 l过圆 x2 y2 4x 2y 0的圆心 M ，交椭圆 C于 A、 B两点，且 A、 B 关于点 M 对称， 求直线 l 的方程 .题 1】 解：(1) 2a PF1 PF2 6 a 32 2 2又 F1F2 2 PF2 2 PF1 2 20F1F22 5 2c c 5 3 分故 b2 a2 c2 4 4 分22椭圆 C的方程为 x y 1 5 分9422(2) 圆的方程可化为： (x 2)2 (y 1)2 5，故圆心 M ( 2,1)

3、所求直线方程为 y k(x 2) 1联立椭圆方程，消去 y ，得(4 9k 2)x2 (36k 2 18k)x 36k 2 36k 27 0 A、B关于 M 对称8k l : 8x 9y 25 0 14分9点评 点关于点对称的问题，实质是“中点弦”问题，还可以用“点差法”，请同学们尝试体会，并且比较两种解法的特点 .2x2【题 2】知椭圆y2 1的左焦点为 F，O 为坐标原点 .设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A 、B2两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 .2【题 2】解：设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0), 代入 x y

4、2 1,22 2 2 2整理得 (1 2k2 )x2 4k2x 2k2 2 0. 直线 AB 过椭圆的左焦点 F ， 方程有两个不等实根 .记 A(x1, y1),B(x2,y2), AB 中点 N (x0 , y0 ),则 x1 x24k22k 2 11 AB的垂直平分线 NG 的方程为 y y0(x x0).k令 y 0, 得 xG x0 ky02k 2 k 2 k2 1 12 2 2 22k 2 1 2k 2 1 2k2 1 2 4k2 2点 G 横坐标的取值范围为 ( 1,0).2点评 注意 AB 中点 M 以及两直线的垂直关系求出“线段 AB 的垂直平分线”x2 y2 【题 3】设

5、F1、 F2分别是椭圆+ = 1的左、右焦点 .54(1)若 P是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2 的最大值和最小值；(2)是否存在过点 A (5，0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，使得 |F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的 方程；若不存在，请说明理由 .【题 3】解：( 1)易知 a5,b 2,c 1, F1 ( 1,0), F2(1,0)，设 P(x，y)，则 PF1 PF2 ( 1 x, y) (1 x, y) x2 y2 1= x2 4 4 x2 1 1 x2 3 55x 5, 5 ，当x 0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时， PF1 PF2 有最小值 3；当

6、 x 5 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， PF1 PF2 有最大值 4点评 本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想，注意定义域 x 5, 5（2）假设存在满足条件的直线l ，易知点 A （5，0）在椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k ， 直线 l 的方程为 y k（x 5）22xy得 (5k2 4)x2 50k2x 125k2 20 01由方程组 5 4 ，y k(x 5)依题意 20(16 80k2 ) 0，得5 k 555设交点 C（x1,y1）、D(x2,y2)，CD 的中点为 R(x0, y0)，则 x1x250k225k

7、2 4,x0x1 x2225k225k 2 4又 |F2C|=|F2D|F2R l k kF2R1 20k 2=20k 2 4，而 20k2=20k 2 4 不成立， 综上所述，不存在直线 l，使得 |F2C|=|F2D|点评要注意从判别式得到 k 的范围，对于条件 “ |2FC|=|F2D| ”不要轻易将点 F2和 C、D 的坐标用两点间距离公 式表示，否则陷入计算繁杂的圈套 .类型 2：关于定点和定值问题策略【题 4】已知点 P与点 F（ 2， 0）的距离比它到直线 x40 的距离小 2，若记点 P的轨迹为曲线 C. 直线 L 与曲线 C相交于 A、B 两点，且 OAOB.（ 1）求曲线

8、C的方程。（2）求证：直线 L 过定点，并求出该定点的坐标 .【题 4】（ 1）解法 1：点 P与点 F（ 2， 0）的距离比它到直线 x40 的距离小 2，所以点 P与点 F（2，0） 的距离与它到直线 x20 的距离相等 .由抛物线定义得：点 P在以 F为焦点直线 x 20为准线的抛物线上， 抛物线方程为 y2 8x.解法 2：设动点 P（x, y） ，则 （x 2）2 y2 |x 4| 222 22当 x 4时， （x2）2y2（ x 6）2 ，化简得：y28（x 2） ，显然 x2 ，而 x4，此时曲线不存在22 22当 x 4时，(x 2)2y2(x 2)2 ，化简得：y28x.点评

9、解法 1 巧妙地利用圆锥曲线的定义判断曲线轨迹，解法2直接利用题目的条件建立等量关系，体现了“分类讨论”的思想方法2)设直线 L： y=kx+b 与抛物线交于点 (x1,y1)、(x2,y2) ， 若直线的斜率存在设为 k则y=2kx b,ky2 8y 8b 0, k 0y2 8x 64 32kb 0所以y1y2 8b,又k2y12 y28x18x222 得x1x2 y16y42b2k28k由OA OB,得 y1 y21，即1， b8k ，x1 x2b直线为 y k(x 8)，所以 L过定点 (8,0)若直线 L 的斜率不存在，则直线 OA(或 OB)的斜率为 1 y2 x 得x 8,直线L过

10、定点 (8、0)综上所述，直线恒过定点 (8,0) .y 8x点评 直线过定点问题，要将直线方程求出来利用直线方程的点斜式或者直线系方程判断是否经过定点22 y x 2 题 5】已知 F1、 F2分别为椭圆 C1: 2 2 1(a b 0)的上、下焦点 ,其中 F1也是抛物线 C2 :x2 4y ab的焦点 ,点 M是 C1与C2在第二象限的交点 ,且 |MF1| 5 .131)求椭圆C1 的方程 .2)已知点222一点 Q ,满足 :P(1,3)和圆 O:x2 y2 b2,过点 P的动直线 l 与圆 O相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB上取 AP PB, AQ QB ,( 0 且 1

11、).求证: 点 Q总在某定直线上 .题 5 】又 |MF1 | 5 ,则 y0 1 5 , 由解得 x02 6 , y0 21 3 0 3 0 3 0 34分椭圆 C1的两个焦点 F1(0,1) , F2(0, 1),点M 椭圆上 ,由椭圆定义得2a |MF1|MF2 |(2360)2(231)2(2360)2(321)24 6分222 2 2 yx a 2,又 c 1, b2 a2 c2 3, 椭圆 C1 的方程为1.1 438分2方法二 ：由 C2:x2 4y知 F1 (0,1) ,设 M(x0,y0)(x0 0) ,2因 M 在抛物线 C2上,故 x04y0又 |MF1 | 5 ,则 y

12、0 1 5 ,33由解得 x02 6 , y0 20 3 0 34分(32)2 (236)24而点 M 椭圆上 ,故有 a32b321即 9a4238b2 1 ,3b又 c 1,则 b a 1 由可解得 a2 4,b2 3,椭圆 C1的方程为22 y2 x2 1.438分2)设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,Q(x,y),由 AP PB可得:(1x1,3y1)(x21,y23) ,即x1x2110分y1y2 3(1 )由 AQ QB可得 :(x x1,y y1)x1 x2 (1 )x(x2 x, y2 y) ,即 y11 y22 (1 )y故得: x122x22 (1 2)xy122y

13、22 3y(1 2) 1 2分两式相加得 (x12 y12)2(x22 y22) (1 2 )(x 3 y ) 1 4分又点 A,B 在圆 x y 3 上，且1,所以 x1 y1 3, x2y2 3即 x 3y 3, 点 Q总在定直线 x 3y 3 点评 关键是向量 AP PB, AQQB 的条件“坐标化”，要证点 Q 总在某定直线上，则点 Q 的坐标Q（x,y） 满足一个固定的二元一次方程6】已知椭圆 C 以过点 A （1，32)，两个焦点为（ 1，0）（ 1，0）。1）求椭圆 C 的方程；2）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的

14、斜率为定值，并求出这个定值 .6】解：（ 1）由题意， c 1,可设椭圆方程为2x1 b224yb22 12）因为 A 在椭圆上，所以椭圆方程为设直线方程：得设（ xE ，yE ），所以191 b2 4b22 y2 1 3y k(x 1) 32 ，代入解得b2 3，b2 3（舍去）42x2 y 1 得433（ xF ， yF ）因为点（ 1， ）在椭圆上，所以2324( k)2 122xE2 ，E 3 4k2yE kxE 3 kE E 28分又直线 AF 的斜率与 AE的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k ，可得4分4(3 k)2 122，xF2 ，F 3 4k23yFkxF k 。F F

15、 2所以直线 EF 的斜率 kEFyF yEk(xF xE ) 2k 1xF xExF xE2xF xE即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1212 分消去参点评 圆锥曲线中有关定值的问题，关键要利用相关参数将式子的表达式求出，再利用“整体”的思想，数得到定值 .【题 7】已知抛物线 C: y2 2px（p 0）上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5. 设直线 y kx b与抛物线 C 交于两点 A（x1,y1），B（x2,y2），且 |y1 y2 | a（a 0，且 a为常数） .过弦 AB的中点 M 作平行于 x轴 的直线交抛物线于点 D，连结 AD、BD 得到 ABD .求证： a2k2

16、 16（1 kb）； ABD 的面积为定值.p2题 7】依题意得： 4 5，解得 p 2 . 所以抛物线方程为 y2 4x2y kx b, 2由方程组 2 消去 x 得： ky2 4y 4b 0. ()y2 4x,依题意可知： k 0.4 4b由已知得 y1 y2， y1y2.kk22由 y1 y2 a ，得 (y1 y2) 4y1y2 a ，16 16b 2 2 2即 2a2 ，整理得 16 16kb a2k2 .k2 k22所以 a2k 2 16(1 kb) .2 bk 21 2可以求出 AB中点 M( 2 , )， 所以点 D( 2 , ) k2 kk2 k依题意知 S ABD 1 DM

17、 y1 y2 1 1 2bk a. 又因为方程（）中判别式 16 16kb 0，得 1 kb 0.所以 S ABD1 1 2bk a ，由（）可知2k21 bka2k2161 a2a3所以 S ABD 12 1a6 a 3a2.又 a为常数，故 S ABD 的面积为定值类型 3：关于不等式证明、求参数的取值范围问题题 8】 已知点 P到（0，3），（ 0， 3 ）的距离之和为 4，设 P的轨迹是 C，并交直线 y kx 1 于A、B 两点 .1）求 C 的方程 ;2）若以 AB 为直径的圆过3）若 A 在第一象限，证明：O 点,求此时 k 的值 ;k0题 8】（ 1）得 P的轨迹是椭圆，c 3

18、，a 2，故 b2 1,故方程为：2）依题意设A（x1,y1），B（x2, y2 ） ，以 AB为直径的圆过O点，则 OA OB OA OB 0 x1x2 y1y2 04分y kx 1联立：y2消元得 (4+k2)x2 2kx 3 0x21402kx1 x22 7 分1 2 4 k23x1x2 4 k229分8分 y1y2 (kx1 1)(kx2 1) k x1x2 k(x1 x2 ) 122 2 23k2 2k2 4 k 24k 2 4224 k24 k 2 x1x2 y1 y2224k 2 4 3 1 4k 2 20 4 k24 k210 分 k1211 分点评 将“AB 为直径的圆过点O

19、”巧妙地转化为 OA OB 0 ，体现 “以数论形 ”的思想 .2 12 y12 ,(3) OA = x1 OA - OB = x12 y12 -(OB2= x22 y2222x22 y22 )= (x1 x2)(x1 x2) (y1 y2 )( y1 y2)12 分(x1 x2)(x1 x2 ) k(x1 x2) 2 k(x1 x2)(x1 x2 )(1 k2 )(x1 x2) 2k(x1 x2) 6k 24k13分 A点在第一象限， x1 x2 0 又 k 0 OA - OB = (OA OB )( OA OB ) 0 OA OB 0 OA OB 14 分点评 圆锥曲线与不等式证明的综合，

20、注意作差比较法证明不等式的思路和步骤，利用曲线上点的坐标的范围讨论 .22xy题 9】椭圆 C: 2 2 =1（a b 0）的离心率为a2 b26 , 短轴一个端点到右焦点的距离为33设直线 l 与椭圆 C交于 A、 B两点，坐标原点 O到直线 l 的距离为 ，求 AOB 面积的最大值 .2题 9】设椭圆的半焦距为 c ，依题意 ac 6 2， x 23 b 1 ， 椭圆方程为y2 13a3，设 A（ x1，y1） ， B（x2，y2）（ 1）当 ABx轴时，设直线 AB 的方程为 y kx m 由已知1 k 2AB3 （ 2）当 AB 与x轴不垂直时，3 ，得 m2 3(k2 1) 24把

21、y kx m 代入椭圆方程，整理得 （3k2 1）x2 6kmx 3m2 3 0 ，6km x1 x2 3k62km123(m2 1) x1x221 2 3k 2 1 AB2 (1 k2)(x2 x1)2 (1 k2) 362k2m22 12(m22 1)2 1(3k2 1)23k2 112(k2 1)(3k 2 1 m2)3(k 2 1)(9k 2 1)22(3k2 1)222(3k2 1)29k4126kk22 1 39k 4 6k 2 1124 23612(k 0) 3219k22 6k2当且仅当 9k 2 12 ，即 k 3 时等号成立 k2 3当 k 0 时， AB3 ，综上所述 A

22、Bmax 2 1 当 AB 最大时， AOB 面积取最大值 S2点评关于 AOB 面积的最值问题，先用“弦长公式”地利用基本不等式求出最值题 10 】已知一条曲线在正数 m，对于过点 Mm 的取值范围；若不存在，AB求出C在 y轴右边， C 上没一点到点m， 0）且与曲线 C 有两个交点请说明理由3 max 2AB 的长，根据面积的表达式的形式和特点，巧妙F（ 1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.是否存FA FB 0 ？若存在，求出A,B 的任一直线，都有题 10】设 P（x,y） 是曲线上任意一点，那么，满足（x 1） y x 1化简可得到 y2 4x（x 0）点评 本题对于过点

23、 M（m，0）直线方程的设为 x=ty+m 是简化计算的一个技巧，对不等式恒成立问题一般利 用最值的方法处理 .类型 4：关于直线与圆锥曲线的综合问题中涉及线段分比的策略这类问题主要是研究过一个定点 P 作直线与曲线产生两个交点 AB，进而研究 P 分两个交点 AB所成的比 例关系 . 往往是两种形式出现，一种是以比例：| AP | ，一种是向量： APPB ，有时候是求直线|BP|方程，有时候是求分比 的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比 与坐标 x1、x2（y1、y2 ）的关 系，判断在联立方程时应该消去x或y ，以减少运算量，然后把问题转化到韦达定理的应用上.【题 11】如图所示，

24、已知圆 C:（x 1）2 y2 8,定点A（1,0）, M 为圆上一动点，点 P在AM上，点 N在 CM 上，且满足 AM 2AP, NP AM 0,点N 的轨迹为曲线 E.（1）求曲线 E 的方程；（2）若过定点 F（0，2）的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H（点 G在点 F、H之间），且满足 FG FH ， 求 的取值范围 .【题 11】（1） AM 2AP, NP AM 0.NP为 AM 的垂直平分线， |NA|=|NM|又 |CN | | NM | 2 2, |CN | | AN | 2 2 2.动点 N 的轨迹是以点 C（1，0）， A （ 1 ， 0）为焦点的椭圆 .且椭圆长轴长为 2a 2 2,焦距 2c=2. a 2,c 1,b 2 1.2曲线 E 的方程为