平面向量四心问题全

1、平面向量四心问题 （ 全 ）作者： 日期：. 下面就平面近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考 察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如 向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：重心问题 外心 内心C 重心D 垂心解析：如图 1，以 AB， AC为邻边构造平行四边形 ABCD， E 为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为 ，所以，上式可化为， E 在直线 AP上，因为 AE为的中线， 所以选 C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性质等相关知识巧妙结合垂心问题三角形“垂

2、心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上例 2 P 是 ABC所在平面上一点，若，则 P 是ABC的().A外心B 内心C重D 垂心解析:由则，所以 P为的垂心 . 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关知识 . 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合 .三、 内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点， 所以“内心”就在内角平分线线上例 3 已知 P 是ABC所在平面内的一动点，且点 P 满足则动点P一定过 ABC的A、重心向量 的单位向量设垂心C、外解

3、析：如图分别为则原式可化为方向上的单位向量，由菱形的基本性质知 AP平分，那么在中， AP平分，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先 是什么？想想一个非零向 量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、 向量的基本定理、菱形的基本性质、 角平分线的性质等， 若十分熟悉， 又能迅速地将它们迁 移到一起，这道题就迎刃而解了 .四、 外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线 线上.例 4 已知 O是 ABC内的一点，若，则 O是 ABC的.A重心B. 垂心 C. 外心 D.内心解析： ，由向量模的

4、定义知 到 的三顶点距离相等 . 故 是 的外心 ，选 C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面 向量向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法， 易于数形结合， 而 且向量问题在进行数形结合时具有新形式、 新特点， 因此可称为高中数学的一个交汇点。 三 角形的“四心” (外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：

5、AB ACABACABACABAC 设0, ，则向量 设0, ，则向量) 必平分 BAC的邻补角() 必平分 BAC，该向量必通过ABC的内心 ;设 0, ，则向量 （AB ACAB cosB） 必垂直于边 BC，该向量必通过 AC cosCABC的垂心 ABC中 AB AC 一定过 BC 的中点，通过 ABC的重心点 O是 ABC的外心22OA OB2OC点 O是 ABC的重心OA OB OC 0点 O是 ABC的垂心OA OB OB OC OC OA点 O是 ABC的内心a OA b OB c OC 0 ( 其中 a、b、c 为 ABC三边)ABC的外心 O、重心 G、垂心 H共线，即 O

6、G OH设 O为 ABC所在平面内任意一点，G为 ABC的重心，I 为 ABC的内心，则有 OG (OA OB OC)3aOA bOB cOC OIabcXA+XB+XC并且重心 G( XA+X3B+XCYA+YB+YCA B C )aXA+ bXB+ cXC 内心 I (aXA+a b+Xb+B+c cXCayA+ by B+ cy Ca+b+c例 1：（2003 年全国高考题） O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三点，动AB AC点 P 满足 OP OA （） ，0, ，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC的（ ）ABACA）外心C）重心B）内心D）垂心事实上如图设AE AB

7、, AFAB ACACAC 都是单位向量易知四边形 AETF是菱形故选答案 B例 2 ：（ 2005 年北京市东城区高三模拟题）O为 ABC 所在平面内一点，如果OA OB OB OC OC OA ，则 O 必为 ABC的（ ）（ A）外心（ B）内心（C）重心（D）垂心事 实 上 OA OB OB OC （OA OC） OB 0 CA OB 0 OB CA 故选答案 D6例 3 ：已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足OA2BCOB2CAOC 2 AB2，A）外心（ B）内心C）重心则点 O 是三角形 ABC 的（D）垂心事实上由条件可推出 OA OB OB OC OC OA故选

8、答案 D例 4：设 O 是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P 满足 OP OA (AB ACAB cosB）， 0, ，则动点 P 的轨迹一定通 AC cosC过 ABC的（ ）（A）外心B）内心C）重心（ D）垂心事实上 （ABACAB cosBAC cosC) BC ( BC BC)故选答案 D件 O 1P O2 P 3O0 P，例 5 、 已 知 向 量 OP1,OP2,OP3 满 足 条|OP1| |OP2| |OP3| 1，求证： P1P2P3是正三角形分析 对于本题中的条件 |OP1 | |OP2 | |OP3 | 1，容易想到，点O是P1P2P3的 外心，而

9、另一个条件 OP1 OP2 OP3 0表明，点 O是P1P2P3的重心故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一 定是正三角形在 1951 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外 接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的显然，本题中的条件 |OP1| |OP2| |OP3| 1可改为| OP1 | |OP2| |OP3|高考原题例 6、O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满A B ACOP OA ( ABAC) 0, 则). P的轨迹一定通过 ABC 的( )|AB| | AC|A外心B内心C重心D垂心分析 已知

10、等式即AP ( AC ) ，设 AE|AB| |AC| |AB|AC|，显然AE, AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形， 则结果为菱形， 故 AP 为ABC 的平分线，选 B 例 7、 ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 为 O ， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ， OH m(OA OB OC ) ，则实数 m =分析 ：本题除了利用特殊三角形求解外， 纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式 AH BC 0 ， 将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有 (OH OA) (OC OB) 0 ，将已知 代 入 ， 有 m(

11、OA OB OC) OA (OC OB) 0 ， 即22m(OC OB ) (m 1)OA BC 0 ，由O是外心，得 (m 1)OA BC 0 ，由于 ABC 是任意三角形，则 OA BC 不恒为，故只有 m 1恒成立或者，过点 O作 OM BC 与 M ，则 M 是 BC 的中点，有 OM 1(OB OC) ；H 是 垂 心 ， 则 AH BC ， 故 AH 与 OM 共 线 ， 设 AH kOM ， 则 kOH OA AH(m 1O)AOA (OB OC) ， 又 OH m(OA OB OC) ， 故 可 得 kkm ( OB ) m (根据已知式子 OH m(OA OB OC) 中的

12、OA OB OC部分，很容易想到三kOC )，有 m01 m k2 0，得 m 1角形的重心坐标公式， 设三角形的重心为 G ，O是平面内OA OB OC任一点，均有 OG OA OB OC ，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，由图上观察，很容易猜想到 HG 2GO ，至少有两个产生猜想的诱因，其一是， BF,OT 均与三角形的边 AC 垂直，是，则 BF /OT ；其二，点 G 是三角形的中线 BT 的三等分图点此时，会先猜想 BHG TOG，但现在缺少一个关键的条件，即 BH 2 OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得 相似当然，在

13、考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O、G、H分别是 ABC的外心、重心和垂心，则 O、G、H三点共线，且 OGGH12，利用向量表示就是 OH 3OG 例8、点O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA，则点 O 是 ABC的( )A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点分析移项后不难得出222AP2 BP2 CP2222 2 2 2 1 2(x a)2 (x b)2 x 3x (a b)2 a b (a b)2 31此时，即 OP (OA OB OC) ，31当x

14、(a b)时， AP2 BP2 CP 2最小， 则点 P 为ABC的重心例 10 已 知 O 为 ABC 所在平面内点，满足2 2 2 2 2 2|OA|2 |BC|2 |OB|2 |CA|2 |OC |2 |AB|2，则 O 为 ABC的心分析 将|BC|2 (OC OB)2 OCOC2 OB2 2OC OB ， | CA |2,| AB |2也类似展OB CA OC AB OA CB 0，点 O 是 ABC 的垂心， 选D3 推广应用题例 9 在ABC内求一点 P ，使 AP2 BP2 CP2最小分析 如图，构造向量解决取 CA a,CB b 为基向量，设 CP x ，有AP x a, B

15、P x b 开代入，已知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，O为垂心例 11已 知 O 为 ABC 的OAsin BOC OBsin AOC OC sin AOB 0外心，分析 构造坐标系证明如图，以 A 为坐标原 点 ， B 在 x 轴 的 正 半 轴 ， C1 x2y0 ， 直 线 BC2 2 0S AOBy3x(2x)3xy 2 x 3，0y由于点 A与点 O必在直x0BC侧 ， 且 x2 y3 0 ， 因 此 有在 x 轴 的 上的方程是y3x3y0x2 y0 0x，2 得y1S BOC 2(x3y0 x2y3 x0 y3 x2 y0)直线 AC 的方程是 y3x x3y

16、0，由于点 （1,0）与点O必在直线 AC的同侧，1y3 1 x3 0 0，因此有 x0y3 x3y0 0，得 SAOC 2(x0y3 x3y0)于 是 ， 容 易 验 证 ， OA SBOC OB SAOC OC SAOB 0 ，1O C | O B| | O C| s i，nB O CO C 2 12 |OB | OA | sin AOB ，SAOC 则所证成立SBS BOA1 | OA|OC | sin AOC ，又| OA | OB |OC |，总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍1、重心三角形的三条中线的交点；2、垂心三角形的三条垂线的交点；3、内心三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4、外心三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心） 根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成2： 1；垂线与对应边的向量积为 0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外