圆锥曲线存在性问题

1、圆锥曲线中的存在性问题、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1 ）点：坐标 x0,y0（2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在

2、于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程（组），运用方程思想求解。、典型例题:0的离心率为过右焦点F的直线I与C相交于A,B两点，当I的斜率为1时，坐标原点 0到I的距离为（1 ）求a,b的值uuu uuu uuu（2） C上是否存在点P，使得当I绕F旋转到某一位置时，有 OP OA 0B成立？若存 在，求出所有的 P的坐标和I的方程，若不存在，说明理由解：（1） e C 2例1 :

3、已知椭圆C :笃每 1 a a b a : b : c 32 :1a 3则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时do解得:、3,b椭圆方程为:X22y2(2)设 P xo,yo ,Xi,yi ,BX2,y2当l斜率存在时，设uuu uur uuu Q OP OA OBXo X1X2联立直线与椭圆方程:3k22 x2 6k2xX16k2X2 3k226k23k2 26k23k224272 k 48ky。y1y2 22x 3y3k2y1Y2 ky2X1消去X2y 可得：2x2 3k22k6k33k22k216，整理可得:4k3k224k3k2224k26 3k2因为P

4、在椭圆上26 3k 2.2 时，I当斜率不存在时，可知2 224 k 3k3k2.23 V22，2M,B32,0不在椭圆上1,3综上所述：l : y 2 x 1，P3,丄或 |：y 辽 x 1，P?72 2 2 222例2：过椭圆：笃占 1 aa2 b2b 0的右焦点F2的直线交椭圆于 代B两点，Fi为其左焦点，已知VAFiB的周长为8,椭圆的离心率为-2(1)求椭圆 的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P,Q，且OPOQ ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1 ）由VARB的周长可得:4a 8b2c21椭圆(2)假设满足条件的圆为，依题

5、意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若直线PQ斜率存在，设PQ:kxQ PQ与圆相切d。2 k2OP OQuur UULTOP OQ即 x1x2yy 0联立方程:y kx m x2 4y241 4k2x2 8kmx4m2XiX28km4m2 44k2 1yk2x1x2km 为 x2为X2yiy2k21 为 x2km x1X2m24k21km8km 22 m 4k212 25m 4k 44k212 25m 4k 40对任意的将m2 r2 k21代入可得：5r2 4 k2 10存在符合条件的圆，其方程为: 当PQ斜率不存在时，可知切线m,k均成立5r2 k214 k2 1024r52 2x yP

6、Q为x若 PQ：X 2 J，则 P 土，乙5 ,Q 三5,空155555uuu uuur2 -OP OQ 0 PQ:x.5符合题意52若PQ: x15，同理可得也符合条件5综上所述，圆的方程为：224x y 5例3：2 2已知椭圆22a2 b21 a b 0经过点0八3，离心率为1，左，右焦点分别为2F1c,0 和 F2 c,0（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为 A，过点M 4,0作斜率为k k 0的直线I，交椭圆C于B,D两点（B在M , D之间），N为BD中点，并设直线 ON的斜率为k1 证明：k k1为定值 是否存在实数k，使得F1N AD ?如果存在，求直线I的方程；

7、如果不存在，请说明 理由c 1L解：（1）依题意可知：e可得：a:b:c 2- . 3:1a 22X椭圆方程为：24c22y3 c21,代入o,可得：c 12X椭圆方程为：-4(2 证明：设Xi，%,D *2,32 ，线段 BD 的中点 N Xo，y设直线I的方程为:X 4，联立方程:y3x24y212化为:3 4k32k2x 64k212 00解得:k2Xi32 k23,*1*24k264 k24k2123XoX1X2216k24k23yoXo12k4k23kiyoXo4kk|k假设存在实数k，使得Fi NF1N4kAD，则kAD1yoXo*212k3 4k216k23 4k2k x24*2

8、4k4k2即 4k2x24k1 4k2k x2*216k2 4k2 1*28k2*22 8k2因为D在椭圆上，所以X22,2，矛盾所以不存在符合条件的直线2 2例4 :设F为椭圆E :7 1 a ba b的右焦点，点3P 1, 在椭圆E上，直线2lo: 3x 4y 100与以原点为圆心，以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆E的方程(2)过点F的直线I与椭圆相交于 代B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另点Q ,问是否存在直线I，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出 I的方程;若不存在，说明理由解：(1)Q I。与圆相切do I3将P 1,代入椭圆方程2x22 y_ b

9、21可得：b .32x椭圆方程为：-4(2)由椭圆方程可得:1,0设直线I :y k x 1，则PQ: y联立直线I与椭圆方程:y3x2x 14y2消去y可得：4k2312x2 8k2x 4k212 08k2 $4 4k23 4k212144k2144AB.1k2x1x212 k214k2 3同理:联立直线PQ与椭圆方程:3x24y232消去y可得:124k2 3 x28k2 12k x 4k2 12k 3 08k212k$4 4k2212k3 4k3144 - k k24PQ4k31 k2144 1 k k24k23因为四边形PABQ的对角线互相平分四边形PABQ为平行四边形ABPQ12 k

10、24k1k2144 : k k24k23解得：k -4存在直线l : 3x4y0时,四边形PABQ的对角线互相平分2x例5：椭圆C：飞a2 y_ b20的左右焦点分别为 Fi,F2 ,右顶点为A, P为椭圆Ciujir uujr上任意一点，且pf1 pf2的最大值的取值范围是c2,3c2，其中 c. a2 b2(1)求椭圆C1的离心率e的取值范围(2)设双曲线C2以椭圆G的焦点为顶点，顶点为焦点,B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数0，使得 BAF1BF1A恒成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1 ）设 P x, y , F|c,0 , F2 c

11、,0unrujurPF1c x, y,PF2c x, yunruur222cPF1r l2PF2 x y22b2由x2七1可得：2yb2-7X2代入可得：abauur uuur_2PF1 PF2 x2 y22 cb12 x b c2cx b caauur uuur2Q x a, aPF1 PF2b2maxc2b2 3c2c2 a2 c2 3c2222c a224c a1、21(2)当 e 一时，可得：a 2c,b ,3c2 2x y双曲线方程为 二 2 1， A 2c,0 ,Fjc,0 ，设 B Xo, yo , x 0, y 0c 3c当 AB x 轴时，x02c, y0 3ctan BF1

12、A3c3cBRA -因为BAF1-BAF12 BF1A所以2，下面证明2对任意B点均使得 BAF1BF1A成立考虑 tan BAF1kABy。X。2c,tanBRAkBF1yx ctan 2 BF| A2ta n BF1A1 ta n2 BF1Ayxc2yX0c2 y xc22xc y1，可得:2c2c2y0 3x0 3c2 2x0c yx c $ 3x0 3c22x0 2cx0 4c22 x0 c 2c x0tan2 BF1A2y0 x cY0tan BAF1BAF12 BF1A结论得证2时,BAF1BF1A恒成立例6：如图，2 椭圆E : % a2每1 a bb2由双曲线方程与差c 3c0

13、的离心率是巨，过点P0,1的动直线I与椭22 x0 c 2c x02c x圆相交于 代B两点，当直线l平行于x轴时，直线I被椭圆E截得的线段长为 2(1)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系 xOy中，是否存在与点 P不同的定点Q，使得对于任意直线I ,PAPB恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由a : b :c ,2:1:1椭圆方程为2b2b2由直线I被椭圆E截得的线段长为2 一边及椭圆的对称性可得: 点2,1在椭圆上b2 222b22 2x y椭圆方程为142(2)当I与x轴平行时，由对称性可得:QAQB|PA|PB1 即 QA QBQ在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q

14、 0,y。当I与x轴垂直时，则 A 0/2 , B 0,. 2PA.2 1,PB.2 1QAyo2, QBy- 2QAI PAQBPBQ P,Q不重合Q 0,2F面判断Q 0,2-2工1可解得Y0221yoy0 2能否对任意直线均成立若直线I的斜率存在，设I : y kxy。 1 或 y。2A X1,% ,B X2,y2联立方程可得:X2 2y24y kx 11 2k2 x2 4kx 2 0QAQBPA 可想到角平分线公式，即只需证明PBQP平分 BQA只需证明kQA kQB心人kQB0A X% ,B X2，y2Xiy2 2X2X2 yi2 Xi y22X2yi2 X1 x2i代入可得:i因为

15、A Xi, yi ,B X2,y2在直线y kx 1上,%x2x2 kx1x1 kx? 12 XiX22kXjX2Xj x2QBX1X2X1X2联立方程可得:2 X2y2 412k2 x24kx2 0ykx 1XX24k21 2k22k1人221 2k224kKqakQB1 2k21 2k2021 2k2kQAkQB0成立QP平分BQA由角平分线公式可得：QA11PA11QBPByi y22 2例 7 :椭圆 C : 2y1 aa b4 bb 0的上顶点为A，P詰是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆 C的右焦点F（1）求椭圆C的方程（2） 动直线|与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否

16、存在两个定点，它们到直线I的距离之积等于1?若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知： A 0,b , F c,016丄b2b2b24c32cx椭圆方程为一2(2 )假设存在x轴上两定点M11,0 ,M22 ,0 ，设直线y kx mdM1所以依题意:.k2 1dM1 lM2 lk2 1 2 km 1k21因为直线l与椭圆相切,联立方程:y kx m x2 2y222k21 x2 4kmx 2m22 0由直线I与椭圆相切可知2 2 24km 4 2k2 1 2m2 20化简可得：m2 2k21，代入可得:k2 1 2 km 12 2k21k2 1 2 km 12 2k

17、21 k21QAP为直径的圆经过 FFA FPLUM UUUULMI Q FAUUU c,b ,FP43bc，3FAFP 04b202 4b20cccc3333代入椭圆方程可得:k2 1k 1 21km1 20，依题意可得：无论k, m为何值，等式均成立1 2112012111 2所以存在两定点:M11,0,M2 1,0例&已知椭圆C1 :x24y21的左右焦点分别为 F1,F2，点P是G上任意一点，0是坐uuuuuruuur标原点，OQPF1PF2，设点Q的轨迹为C2(1)求点Q的轨迹C2的方程uuu uuur uuuu uuur(2)若点T满足：OT MN 2OM ON，其中M,N是C2上

18、的点，且直线OM ,ON的使得TA TB为定值？若存在，求出定点A,B的坐1斜率之积等于，是否存在两定点,4标；若不存在，请说明理由(1)设点Q的坐标为x,y ,点P的坐标为则 X： 4yf 1由椭圆方程可得:FiimrQOQuuuPFiujurPF2uuur且PF1Xo,uuuryo , PF2T Xo, yo2xo, 2yo2xo2yoXoyoX2代入到y22 2Xo 4yo 1 可得:y2 1（2）设点 T x, y ， M x1, N x2, y2uuurQOTuuuu MNuuuu2OMuuurONx,yX1X2,y1y22 X1,y1X2,y24x 2x2 x1 y 2y2 y1y

19、2 1设直线OM ,ON的斜率分别为koM，koN ,由已知可得：koMkONx2x为X24%y2考虑x2 4y22X2Xi2y2yi2X14y：2X24y；4%x2 16y)y2Q M ,N是C2上的点2X12X24y：4y；X2 4y244 420X2即T的轨迹方程为-202 y5由定义可知,T到椭圆x2201焦点的距离和为定值A, B为椭圆的焦点.15,0 , B 一 15,0所以存在定点A,B2X例9 :椭圆E : 2a2 y_ b2b 0的焦点到直线x3yL 100的距离为，离心率为5乙5，抛物线G - y52 2px p0的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线I过G的焦点与E交于

20、A,B，与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程(2)是否存在常数，使得1ABCD为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1 )设E,G的公共焦点为F c,0dF2.5b2a2c212E:X-5y2 8x(2)设直线I : yk x 2 , A Xi,yi ,B ER ,C X3,y3 ,D 初4与椭圆联立方程:y k x 22 2x 5y 55k21 x220k2x 20k25020k2xi X22,X21 5k20k251 5k2AB J1 k2 J x12X24x!x?2 5 k2 11 5k2直线与抛物线联立方程:2 2 2k x 4k28 x 4k 08xX3X44k

21、2 8Q CD是焦点弦CDX3x4 48 k2 11AB5k2CD 2 5 k2 1_kL8 k2 14 20k28 5 k2 1205 k2& 5 k2 1若AB为常数，则20CD16.55例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中,2X椭圆C :二ab2的离心率为/63直线l与x轴交于点E ,与椭圆C交于A,B两点，当直线右焦点时，弦AB的长为3(1)求椭圆C的方程(2)是否存在点E，使得丄EA21EB2请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理l垂直于x轴且点E为椭圆C的为定值？若存在,解：(1)依题意可得:c 46 e3当I与x轴垂直且E为右焦点时， AB为通径AB2b22a 3

22、a 、6,b,2（2）思路：本题若直接用用字母表示 代E,B坐标并表示 EA,EB，则所求式子较为复杂,不易于计算定值与 E的坐标。因为E要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得丄丄为定值。EA2 EB2解：（2）假设存在点E,设EXo,O若直线AB与x轴重合，则Av6,o ,b .6,0EA若直线X0EBX。1 _ 1xo.62EB1Xo62x0；12-2AB与x轴垂直，则代B关于x轴对称x,y ,B x。，y，其中 y 0，代入椭圆方程可得:2 :EAEB2x：EAEB2-XO362X。2xp2Xo12-6626X。2X。2X。2X。26

23、 ，可解得:若存在点设 AB:x1EA2EBE,则E.3,0。若E、3,0，设ASi,B X2,y2my 3，与椭圆C联立方程可得：xmy6，消去y可得:323y2定点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由my3y26m23 y2yiEA2y12 y11 y12，同理:EBm21 y|EA代入yiEBy2EAEB所以EAEB若 E ,3,012d2m 1 y11m21 y；2y2-m 12y2yiy22m22%y21 y1 y22、一 3m可得:32、,3mm2 33m2321壬m 312m26 m22 2m 329 m 123218m1822上9 m 12为定值，定值为2，同理可得综上所

24、述：存在点 EEB为定值3,0，使得止为定值EBy22、, 3m2 , y1 y2m 3三、历年好题精选1、已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆2E :笃a2 y b20 过点 P -、3,，21离心率为一，过直线2（1）求椭圆E的方程l : x 4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A,B2 x（2）若在椭圆一-2 yb21 ab0上的任一点 N Xo,yo处的切线方程是aXoX2yy 1，求证:直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标ab（3）是否存在实数，使得ACBCACBC恒成立？（点C为直线AB恒过的2 22、已知椭圆C:爲 爲 1a b 0的一个焦点与抛物线y 4x的焦点重合，a

25、b3D 1,3是椭圆C上的一点2（1）求椭圆C的方程（2）设A,B分别是椭圆 C的左右顶点， P,Q是椭圆C上异于 A,B的两个动点，直线1AP, AQ的斜率之积为一，设VAPQ与VBPQ的面积分别为SS?，请问：是否存在常数4R，使得SiS2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由22i3、已知椭圆 冷占 i a b 0经过点0,、3，离心率为一，左，右焦点分别为a求点G的轨迹C的方程uuu uui uuu 过点2,0作直线I，与曲线C交于A,B两点，O是坐标原点，设OS OA OB， 是否存在这样的直线I，使得四边形 OASB的对角线相等（即 OS |AB ）?若存在，求 出直线I的

26、方程；若不存在，试说明理由一x2 y25、 （2014，福建）已知双曲线E:二 2 1 a 0,b 0的两条渐近线分别为I1 : y 2x，a b b22F c,0 和 F2 c,0（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为 A，过点M 4,0作斜率为k k 0的直线I，交椭圆C于B,D两点（B在M , D之间），N为BD中点，并设直线 ON的斜率为k1证明：k k1为定值是否存在实数k，使得F1N AD ?如果存在，求直线I的方程；如果不存在，请说明 理由4、已知圆M : x .5 2 y236，定点N 5,0 ，点P为圆M上的动点，点Q在NPuuuuuur uuir uur上，点

27、G在MP上，且满足 NP 2NQ,GQ NP 0l2 : y 2x(1 )求双曲线E的离心率(2)如图，0为坐标原点，动直线l分别交直线h,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限)，且VOAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线 一个公共点的双曲线 E ?若存在，求出双曲线E的方程; 说明理由习题答案:1、解析：（1） e - a : b: c 2:, 3:1 a 23Q椭圆过点P .3,33a2 4b221，再由 a : b: c 23:1 可解得：a 2,b- 3椭圆方程为:(2)设切点坐标为 Ax,% ,B x2,y2，直线上一点 M 4,t，依题意可得:两条切线方程为:1x1xX

28、2X1，由切线均过M可得:1XiX2yitA Xi,yi ,BX2,y2均在直线xt3y因为两点唯一确定一条直线AB : x3y 1，即过定点 1,01,0(3) AC联立方程:y1 y2Q ACACBCACx ty33x24 y212BCt26t盯22712 t2X1BC-，使得32、解析：（1）依题意可知:椭圆方程为:39 t2AC抛物线y212 a2 aX2ACBC|AC|BC|，即点C的坐标为1AC12 y2，不妨设,BC3y1 y2BCBC6ty 27y10, y2 0X22y2.9 t2_3_9 t2y1 y2y29 t22y2 y1yy6t 210812 t212 t22712A

29、C4x的焦点为94b2b2 c2.144t29 1444t29 t2BC恒成立1,04,b23（2）由（1）可得：A 2,0 ,B 2,0，若直线PQ斜率存在4设 PQ : y kx m , P x1,y1 ,Q x2,y2A到直线PQ的距离d12k m1 k2B到直线PQ的距离d22k m1 k21S 2S212联立方程:x-ix2kAp kAQPQd1PQ d2d1d22k m2k my kx 3x2 4y128 km3，x1x24k2y1x12y224k2x28kmx4m2 124 m24k2124y2x12X2(*)y1 y2kx1 mkx2m2k x-ix2X12x22x1x22x-

30、ix216m216km32k20m2 km4k23m2k或mk当m2k 时，PQ: ykx2k kmk，代入到S2可得:qS23k 3 k 3S3S2，即3X2km4c3、解：（1）依题意可知:e22k2x1x2m212k23m24k23216k 16km4k23如，代入到（*）可得:交点与A重合，不符题意a: b : c 2 : .3:1椭圆方程为：2 24c23c2 X代入0可得：C 所以不存在符合条件的直线a11可得:2 2椭圆方程为：y 143（2证明：设B Xi, yi , D X2,y2，线段BD的中点N Xo,y设直线I的方程为:4，联立方程:y3x24y212化为:4k32k2x 64k212 00解得：k2X232 k2严4k264 k2124k23Xox1x2216k24k23yoXo12k4k23kiyoXo4kk|k4k假设存在实数k，使得F1NAD，则kF1NkNXoyo112k3 4k216k23