小波理论基础上的NVH分析与计算.

1、基于哈尔小波的降低汽车发动机体振动的最优控制摘要 ：本文运用哈尔小波讨论了发动机体系统振动的建模和弹跳俯仰振动的最 优控制。作者重点集中在基于哈尔小波的降低发动机体系统振动计算的发展上， 保证获得理想的 L2 增益性能。引入了哈尔小波的性能，并利用它近似找到降低 振动的规律和最优控制，只需求解代数方程而不用求解 Riccati 微分方程。数值 结果用来说明该方法的优势。关键字：哈尔小波发动机体系统控制减振1. 引言近年来，汽车的噪声和振动变得越来越重要 22,25,31,32,37 。发动机产生 的振动通过动力总成装置传递给底盘成为一大问题 （ 见图 1，2）。发动机和动力 总成装置通常以隔离

2、发动机和底盘、 限制发动机运动为设计标准。 发动机装置是 一个有效的被动方法来隔离发动机振动传到底盘的机构。 然而，用于隔离的被动 方法只在高频率范围内有效。 可是，发动机产生的振动干扰主要发生在低频率范 围 8,21,25,32 。这些振动是由于汽缸内燃油爆燃和发动机不同部件的旋转产生 的（如图 3）。为了衰减发动机的低频振动，同时保证空间和数值不变，主动减 振方法是必须的。有很多控制技术，诸如比例积分导数（PID）或滞后补偿、线性二次咼斯（LQG）、 H2、店、u-综合前馈控制等，已经被应用于振动控制系统 1 , 3, 4, 10, 11, 15， 26， 28， 33， 34， 36，

3、37 。前馈控制的主要特征是：关于干扰源的信息是 可利用的，通常通过过滤X-最小平方差FX-LMS算法来实现。可是，在反馈控制 中,干扰源是假定未知的,于是存在多种不同的反馈控制方案来衰减未知烦扰, 从经典方法到先进方法。近来，通过Hx反馈控制得到的性能结果和通过用FX-LMS算法的前馈控制器得到的结果相比较，在32，37汽车发动机体振动系 统。通过比较发现，反馈控制器实现了干扰衰减，然而，相比于运用FX-LMS算法的前馈控制器，反馈控制器性能要差些。另一方面，FX-LMS算法比较复杂，包含许多参数用来稳定同步。 可是，最优控制设计还没有在汽车发动机体振动系 统中完全研究，仍是重要和富有挑战性

4、的 。另一方面，小波理论相对较新，在数学研究领域中是一个新兴领域 2 。它 被广泛应用于各种工程学科，诸如信号处理、模式识别和计算图形。近来，也有 些试图用于解决表面积分方程， 改进有限微分方法， 求解线性微分方程和非线性 偏微分方程以及建模非线性半导体方程 5-7 ， 13， 16-18， 23， 29. 最近，正在 研究用于识别控制非线性动力学系统的小波网络的应用 19 。chassis subfrmeengine mount point图2奥迪A8的前桥，摘自24,32Engine Mouni.Engjnt Bloc!Chi 游PlftDAZCrunk图3由发动机产生的振动传递给底盘方程

5、29，正交函数，像哈尔小波 13,16 ，Walsh方程7,block pulseLaguerre多项式14 , legendry多项式5 , Chebysher方程12和傅立叶级数 30,通常用来代表任意时间方程，在处理各种动力学系统中，已经获得人们相 当的关注。这些技术的主要特征是将这些问题简化为求解系统的代数方程，用微分方程描述求解问题，诸如分析线性时不变系统16,27，奇异摄动系统17，二阶系统18，时变系统20,23，模型降阶，优化控制16-18,20和系统辨识 13,16。因此，求解识别和优化过程大大降低或简化很多。这些可利用的正交 函数可以分为3类：分段基础函数，legendry

6、诸如哈尔小波、Walsh方程和black pulse方程，正交多项式，诸如，Laguerre、legendry、hebysher和傅立叶级数 23中的正余弦函数。在这方面，我们第一次引入基于哈尔小波的用于有限最优控制解决汽车发动 机体振动系统问题的计算求解。发动机体振动结构的数学模型表现为：用于研究 最优控制的作动器和传感器被选配。此外，哈尔小波的性质、哈尔小波积分和 product operational矩阵被给予并应用提供一个系统计算框架。汽车发动机体 振动系统的最优Majectory?和有限时间最优控制可以大概通过力性能获得，H %性能通过求解线性代数方程而不是求解微分方程求得。一个最主

7、要的优点是： 求解线性代数方程替代求解非线性微分Riccati方程，来优化汽车发动机体振动系统的控制问题。另一个优点是在现实应用中基于哈尔小波的优化控制可以简单 完成。我们通过模拟结果演示这项技术的应用。本文章的结果安排如下：第二部分引入哈尔小波的性质，第三部分陈述了发 动机体振动结构的数学模型，第四部分给出了发动机体系统的代数解，第五部分描述了基于哈尔小波的最优方法和最优控制。发动机体振动系统的最优控制的模 拟结果在第六部分表示出来，最后讨论结果。贯穿全文的批注都是相当标准的，矩阵Ir ，Or和Or*s是一致的，以及分别 用r*r,r*r,r*s表示零矩阵。符号和 分别表示Kronecker

8、乘积和内积.同样，tr(A)、vec(x)分别表示矩阵A的TRAC和通过将矩阵M排成一列获得的向量。最后， 所给的符号x(t) , _ x(t) _2表示x(t)的L2平均数等等，_x(t) _22= _0x(t) Tx(t) dt ?、.2.哈尔小波的性质最古老、最基本的小波系统命名为哈尔小波，它是一组方波，这些方波大小为土 1,在0，1区间6内。换句话说，哈尔小波是定义在区间0, 1)L r w 0+ I)*(1)1 * tor t w 0, 4),一 L tor t 4* 1) *书 i (t)= 书 1(2 j t - k) 当 i 1 时书 0(t) and 书 1(t)我们将i写成

9、i = 2 j + k 对于j 0 and 0 k 2 j . 可以轻易看出书0(t)和书1(t) 紧紧支持。它们由相对应的功能，在不同尺度j时给予局部 描述。 在接下来，我们引入哈尔小波的性质，它会应用于下面的部分。2.1函数逼近用在区间为0 , 1)的哈尔函数书0(t),书1(t),.,书m- 1(t) 术语表示的任何平方可积函数y(t)的有限次逼近值，用？ y(t)表述可如下给出：rtl Iy (t)=，歎险；=丿%(“1=0其中 a ：= a0a1 am-1-书 m- 1(t) T m = 2 j以及哈尔系数ai，它们可以确定最小化平方积分错率砧(F 一 &T%()2_m(t)：=书

10、0(t)书 1(t)记录1.逼近差值_y(m) ：= y (t)- ?y (t)由m决定，增加解析参数m可以使之趋近于0.矩阵Hm定义为H/n = 2用伽)“心期* (fjjj L) (4)其中i/m ti 2例如，j=3时，矩阵H8和P8可分别表示为rlr u- 1J- _ 旳旳s/0旳巾旳ro JJl JI. drf JJl. Jrf Jf. rff o 1 773 4 s- 6 7- LO123456rn n /f n. /I- -f,0 1 2 3 4 5 6 7olou-rnbFJi 1 呂斗旳-2Afj一出4和0nc =-164 nr0-0r 32 -16 -8-8一 416 0-

11、8K-A4400-4_ 114 -4000_ 641 19iU-a001 1-2001 -1020I -10_20oloo-4斗00000-440400ou更多信息见13，272.2 The product operati onal matrix?13,20的乘积通常是必要的。现定义乘积操作矩阵？估计两个哈尔函数向量Am(0 ：= % 屮 fRm(t)满足如下回归方程Hm/2 d咤Wm/2diag (Pfrtf)T diag (也怎Rm U)有 | 1更多的，我们%) ；= 0山) *11 卄Vi/2-l Ulr =助%f)：=為竝 Uh flr/2+J (0临一】卩和需要如下性质来简化 Th

12、e product operatio nal matrixi 11)其中a1=a0(12)H和 ding (&) diag (fij Hm/2)at）；= a（m/2 1 h、（ *） 丁 2L图4发动机体振动系统结构图5由在参数j=5时哈尔小波和解析解得到的底盘振动比较3发动机体系统的数学模型对于控制设计来说，一个发动机体系统的模型是必须的。通过37，可以扩展出一个数学模型来模拟此系统。图4表示一个图解形式的发动机体振动系统， 用于这一控制系统的作动器和传感器选定被配置。对于一个有轻微阻尼的结构， 这是一种理想的布置，来保证这一闭环系统的稳定性28。此外，该控制器可检 测单频率信号，在某一特

13、定频率可用来模拟发动机干扰。在我们的研究中，只考虑发动机和机体的弹跳俯仰振动。质量为 Me转动惯 量为Ie的发动机，通过弹簧刚度为ke阻尼为ce悬置安装在机体上。前装置为主动 装置，可以通过电信号控制力的输出。 主动装置包括一个主缸，它的惯性质量上 下变动，这个惯性质量由电磁力驱动，电磁力通过磁圈产生，由输入电流控制。质量为Mi转动惯量为Ib的汽车车体由前后轮胎支撑，每一个部分作为一个包 含弹簧刚度为kb阻尼为cb的系统。这样，一个四自由度的振动悬架模型如图 4, 可以用如下等式描述：+ 2ce + 2 2 22 (L 2(L = / + 4阳3逊4-左2 + 2(舄+炸)工22ce_i 2

14、T + 2( L f)化壬4+2 ( = f人為 +2卩樺3 + 2l2kcxy 2/2Q.i4 2心詁斗=I f丿b 丘4 +(仏 + 4 L )ce +(? + ( 屁 + 2 Ekb)耳42/2ce.n 212kex 21 cei2 / 屆才| + 2(. I)-I- L- I)kX2 L fx1(t), x 2(t), x 3(t) and x4(t)分别表示发动机及机体的弹跳和俯仰状态。通 常x2(t)作为输出。输入力f(t)用来当作主动力补偿振动传递给汽车车体(或底 盘)。更多的，由内部不同部件上下运动产生的发动机干扰 de(t)能被激发。系统(14)可以由下面的状态空间形式表示：

15、A/.v(r)+ C + K .r(z)(15)=Bf /(f) + B凤(纵 t 0, TfCi x(t)z(t = Ci 壬(/)Cyf(t)其中，x(t) R4表示状态，f (t) R是控制输入。de(t) F是干扰输入，它属于L20, s), z(t) R3是控制输出，C1 R1*4, C2 R1*4,C3为主动标尺。状态空间矩阵也可定义为哄0-2(L -訂殊r一2履2血+畑02(L -叭0n_-2lkt-2T皱L1+(-2f)X + 2Z2*b_本文中，必须满足下列条件，优化反馈控制器才能计算出：1. 闭环系统是渐近稳定的。2. 在零初始条件下，闭环系统满足_ z(t)_2 0可精确

16、标定。4系统方程的代数解在这一部分，我们研究发动机体系统的二阶微分方程的求解问题，运用哈尔 小波和扩展适当的代数方程进行内部控制和外部干扰。在区间为0,1的哈尔小波定义基础上，我们通过考虑t = Tf c来重新调节 有限时间区间0, Tf )到0, 1)，用时间范围来标准化系统如下：左)+ C ilrr) + K )+ 励必. (16)在区间0, c 对系统积分可得a/(r)dr + Tf /df(r) dr. (17)ooo为了避免小波的差别，我们再一次在区间0, c )内对(17)积分如下/(T) drd +Je(r) dr TeM i(0)+ Tr C a(0)疋,0 0.r( r I

17、ck il（运用扩展的哈尔小波，我们可以表示方程（15）的解，输入力f & ）和发动机干扰de（ c ）用哈尔小波表示为(I9i（2（nA（T = X 屮曲（7）+/(4x)- 04xl+俪一in这样，通过扩展小波，关系式（18）变为Af (X A o 2擀 9) + Tf C A/ rrt () dro=I f(rdr 曲o o+丁Bd Dq j/ 4jt( v)dr(J2十(A/ Xoo o+TfC X“而且，通过方程(6)中的小波积分operati on al矩阵Pm我们可以这样重新 写方程(24)为V(X-Xoi (m+Tf 5KX P点 =乎腸F码g +Tf弘2疫9)+(A/i0 +

18、 TfCX0)P %(C(25)等价的，我们有MX - X +TfCXPdT；KXP：(2 =耳& F P盒+Tf旳臥丘+ (射乳+ 丁山后心为了计算矩阵X,我们在方程(26)中运用操作向量(.)。根据Kronecker乘 积的性质 vec (ABC) = (CT ? A) vec (B), 我们有(vec(X) vec(Xo) + Tf 炖妁 C)vec(X+Tf (P? )vcc(X)= TiPT Bf) vec(F) + Tj ( Bd) vec(De)+ Tj ( P C) veXX + (础国如 vccXo)(27)求解方程(27)，导入向量(X)vec(X) = ilivec(r)

19、+ $ vec( Pe + Asvec(Xo)+A4VE (壬o)(28)其中矩阵厶1 , 2 R4m*m,13, 4 R4m*4这样定义Ai = Tf (Tf (/J C)+Tf (卿K) + M广】(丘丁 ft)A? = T： (Tf (P、 C)+T； ( 国 K) + im 如)g = (Tf 屮讣 C) + T；心tK)3+陰 Hfj (如 Af+ Tf PC)A4 = (Tf (P丐 C)+T和拧T K) + lm Mr可(& M.于是，运用(28)( 29)和Kronecker乘积的性质，系统(15)的解可近似 求解为x(tr)=(吧(序) ?4)vec (X),(30)我们也可

20、以清楚的找出系统的逼近解，我们只要反向通过4m*4r求解矩阵Tf (PTm ? C) + T2f(P2Tm ? K) + Im ? M次即可。5基于哈尔小波最优控制设计控制的目标是运用H性能找到逼近的最优控制f(t),这样f(t)可当作主动 力来补偿传给车身(或底盘)的振动，保证 预期的L2。接下来，我们将在零初 始条件下建立系统(15)的性能。最后，我们引入J = * .vT(Tf) S x (Tf) + xT(Tf) S2 i (TfTf+ f ( J) w-卩迹)山.(31)o众所周知，对于每一个de(t) L20,)来说，不等式J0对达到干扰衰减35,38是一个充分条件。因此，我们将根

21、据Inf Sup J(vev(F), vecDe) 上面的cost方程也可以写成+“(& FtF)- y2tr Mm D D)(39)其中，矩阵Mm, Mmf Rm*分别定义为% :-阳 2）吧E亦 M时：=%吧,记录2根据哈尔小波的性质和2.2部分哈尔小波乘积操作矩阵，矩阵 Mr可由下 面回归方程计算H亦 diag （%）山咚I H爲空%），其中 M1(t) = 1暫：=In F嵐中刚(1 )*比瑞(1)叽；=jn/2 Pfw U”( I h 曲/2)+1 Pm 中刑(I )* * * r T.切*，其中 ei = 01 x(i -1), 1,01 x (m- i ) for i = 1,2

22、,., m.利用 Kronecker 乘积的性质 tr(ABC) = vecT(AT) (I ? B) vec(C),我们可以 将(39)式写成1 T -J = -VCC (Jfflug)( Im VCC( Xaui)+ 工(/m C) vecXaug)+CjvecF) AJvec(F) y2 vecT(De vec(De)(40)根据vec (ABC) = (CT ? A) vec (B)的性质,我们发现J =mT(Xaug) 叮 /jj)( Aw 八0主馳扌T+vevTi Xauf) ( /a) i Aw )vec(X；iugH-C|vecT(F)WflJ vec(F) - y2 vecT

23、(De)Ain wc(Q訂).(41)然后，由性质(A ? C) (D ? B) = A D ? C B,我们得到1 T - J W I A auj) vcc( XaiipiX 抽習 i 4ffj 1 vcc( A jjr 14-C； vecT(F) Mfj vec(F) - y2 vecT( D) jVfmvec( Dc) 4或J = ； (vecT(Xaug) 口和 vec(XaUg)4-CF) fl沁 vv( F)(43-y2 vecT( De) nffl2 vec fe)其中矩阵 ml R8m*8和m1 Rm*r分别定义为 m1 = Mmf? S? + Tf （Mm ? C?）m2 =

24、Tf Mm o既然cost函数（43）是一个向量（De）的函数，为了找到最坏情况的干扰来 最小化J，我们要满足下面的必要条件dJ=化c* vcciPe）方程（43）中最坏情况的干扰144vec*(a)=厂口益T-1 ApP-1 ；4)nM (45)xvcc (Xauci =:VmJvcc aug)将(45)带入方程(43)，我们得到Jnf Sup J (vec 1Fk vcc(De) fFgcc (如=Inf J (vec (F), vec*(De)(46)vcc t 鬥类似的，方程(46)的右边变成一个vec(F)的函数，然后通过最小化方程(46) 求vec(F)，在次优控制和次优状态轨迹系

25、数间的代数关系可获得如下vec(F = -C2nX (rijjj Y 口I口曲2 口咖) =J rj/n/vcc ( Xaug)(47)于是我们有Inf Sup J(vcc(F). vcc(De) vcc(48)所以，如果对于矩阵不等式门曲i +爲口： 口曲2 口刚f 一厂门:J沁门血兰“(4Q存在主动范围，那么不等式(32)是可推出的。从关系式(28)( 29)( 36)( 47),我们在一些矩阵计算F0得到vec(X)和 vec(F)的次优向量vec (X) = (a - (Ai nffl/ + y2A2 n冋)(3 ( a 口町 + *l- 口 初)X片1(现因如j(50)vec (F)

26、 = Vlffjfr 心 iylx (As 口用+ y2 口初卜% 1f4rt!x (打沖(纽口咐+口朋亦q (盅“厂屮|jj可讪)T丿x vec XQ) +J最后，基于哈尔小波的次优轨道？和次优控制可分别由方程(30)和f (t) = _Tm(t)vec (F)逼近得到。i记录3 值得注意的是，在上面的关系式中，参数r和次优H。控制器相适应，这个结果可通过求解下面的优化问题 Min r到(49)再来表示作为优化H控制器。i记录4.我们用哈尔小波提供一种新的计算方法来计算二阶微分方程的H控制。换句话说，根据第三部分的必要条件1和2,现在的方法是18中结果的扩展。记录5因为在每一个m寸间区间内，

27、向量_m(c )是不变的，逼近的优化次优轨道？和次优控制可表述如下：/nm耳=Gi vec(Xq) + 艺 Gj vec(Xo),(-1t-jmm/(/)=工斥 vec (Xo) 工石 vec (Xoh/=有常量矩阵Gi , G - i R4*4m, Fi , F - i R1*4m.其中每一个时间区间 i/m (T i 対20 卿(1 (N/m)2%)图板3发动机参数参数数值h250 (kg；) 乩10 ikjm25a300,000 0，微分的Reccati方程为又=AJX + X A + X (y-呱砒_ 枷耐)X + CTC有一个主动的半定义解X(t)，这样A-(B1 BT1 - 丫 -

28、2B2 BT2 ) X(t)是稳定的。 然后，控制规律 u (t) = - BT1 X(t) x(t) := K(t) x(t)满足_ z(t) _2 丫 _w(t) _2.鸣谢 作者感谢亚历山大凡提供这项研究的支持，作者同时想在文章中感谢帮 助他们的同事以及他们的有价值的建议。参考资料1. Aglietti G, Stoustrup J, Rogers E, Langley R, Gabriel S (1998)LTR con trol methodologies for micro vibrati ons. In: Proceedi ngsof the IEEE CCA pp 624 62

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