二次函数在闭区间上最值问题研究

1、ax =a两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略黄石三中郝海滨影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。就高中学生而言，感到困难的主要是这两类问题：一是动函数定区间，二是定函数动区间。本文以实 例说明具体的求解方法，供读者参考。一. 动函数定区间1.抛物线的开口方向影响二次函数的最值例 1.已知二次函数f ( x) =a x2+2 ax +1在x -3,2上有最大值 4，求实数 a的值。解：因为有固定的对称轴x =-1，且-1-3,2（1）若 a 0时，则 f (2) =4即 8a +1 =4 a =3 8（2）若 a 0 时，则 f ( -1) =4

2、 即 a -2a +1 =4 a =-3综上可知： a =3 8 或a =-32.抛物线的对称轴影响二次函数的最值例 2.已知二次函数 f ( x) =-x 2+2 ax +1 -a在 x 0,1上有最大值 2，求 的值。解：分析：对称轴 与区间0,1的相应位置分三种情况讨论：（1）当 a 1 时， f (1) =a =2 综上可知： a =-1 或 a =2a =2例 3.已知二次函数 f ( x) =-x 2+2 ax +1 -a在 x 0,1上有最小aa12 2 2即 时值，求实数 的值。解：分析：对称轴 x =a 与区间 论。0,1的中点相对位置分两种情况讨（1）当 a 1 2时， f

3、 (1) =a =1 4 a =1 4（2）当 a 1 2 时，f (0) =1 -a =1 4 a =3 4综上可知： a =1 4 或 a =3 41例 4.设 是正数，ax +y =2( x 0, y 0) ，若 y +3 x - x22的最大值是 m ( a )，试求 m ( a )的表达式。1分析：将代数式 y +3 x - x22表示为一个字母，由ax +y =2解出y 后代入、消元，建立关于 的二次方程，仍看成求动函数定区间的 最值问题。解：设 s( x ) = y +3 x - x2 将 y =2 -ax2代入消去 y 得1 1s ( x) =- x -(3 -a ) + (3

4、 -a ) 2 22+2 ( x 0) y 0 2 -ax 0 而 a 0 x 0, a （1）当 0 3 -a 0) 即 0 a 1 或 2 a 0)即1 a 2时2 2 6m ( a ) =s ( ) =- +a a 2 a（3）当3 -a 0 a 31m ( a ) =s (0) =2 -a 0-3 0- 022=2t t +t +1122综上可知：1(3 -a ) 2 +2(0 a 1，2 a 3)2 2 6m ( a) =- + （1 a 2)a 2 a2二.定函数动区间1.区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值,例 5.已知二次函数f ( x) =x2-2 x +

5、2当 x t,t+1上有最小值h (t )，试求h (t )的解析式。解：分析：区间与相对于对称轴的位置分三种情况讨论（1）当t +1 1即t 0时，h (t ) = f (t +1) =t2+1（2）当 t 1 t +1即 0 t 1，即 t 12时，g (t ) = f (t +1) =t2+1t2 -2t +2, (t 1 ) 2g (t ) =t +1, (t )a1 a 022.区间的长度不变，影响二次函数的最值1例 7.已知二次函数 f ( x) =-3( x + )22+4 a2+3在x -a,a,(a0)上有最大值 7，求实数 的值。解：分析：分区间包含对称轴或不包含对称轴为两种情况讨论。1 1（1）当 -a - 且 a 0 即 0 a 时2 23 3f ( -a) =( a + ) 2