成教上课复习题

1、第一章：随机事件与概率一：随机事件与古典概率练习：1：一副扑克牌 52 张中任取两张，两张都是黑桃的概率？2：从 1，2，3，4，5，6 的六个数中，任取三个，最小为 2 的概率？3：一批产品 100中恰好有 5件次品， 从中任取两件， 恰好有一件次品的概 率？4：事件 A，B 互不相容，且有P(A)0.3,P(B)0.4, P ( AB)()5：事件 A，B 相互独立，且有P(A)0.3,P(B)0.4, P ( AB)()6：已知事件 A 包含事件 B， P(A) 0.8,P(B) 0.5, P( A B) ( )7： P(A) 0.7, P(AB) 0.3, P( A B) (8：甲乙独

2、立同时向一敌机炮击，命中的概率分别为 中的概率为多少？9：甲乙丙同时独立去破译一密码，破译的概率分别为 破译的的概率？10：甲乙丙同时向一敌机射击，命中的概率分别为0.5 与 0.8，敌机被击0.5,0.8,0.6，密码被0.4,05,0.7，又设若只有0.6，若一人射中，飞机坠毁的概率为 0.2，若两人射中，飞机坠毁的概率为 三人射中，飞机必坠毁，求飞机坠毁的概率？11：某类灯泡使用时数在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有一个坏的概率？k12：设昆虫生产 k 个卵的概率为 pke ，又设一个虫卵能孵化为昆k k!虫的概率为 p，若卵的孵化是相互

3、独立的，问此昆虫的下一代有s 条的概率为多少？13：甲、乙、丙三人轮流掷一均匀硬币，甲先乙次丙最后，先掷出国徽者 获胜，求各人获胜的概率？14：甲、乙两人投篮命中率分别为 0.7,0.8 ，每人投三次，求：1)两人进球数相等的概率？( 2)甲比乙进球数多的概率？ 第二章：随机变量与概率分布练习：1 / 201：口袋中有大小一样编号分别为： 1,1,2,2,2,3 的六个球，从中任取一个， 记取得的号码数 X，求 X 的分布率及分布函数？ 2：抛掷一均匀的硬币，直到出现“正面朝上”为止的抛掷次数为X ，求 X的分布？3：将一枚均匀的硬币连续抛 10 次，求出现的正面次数 X 的分布？4：设随机变

4、量 X 服从泊松分布，且有： P(X 1) P(X 2) ，求：P(X 5),P(X 1)5：利用恒等式： (1 x)N (1 x)M (1 x)N M 的两边系数相等，验证超几何分布的概率和为 1，即：lk0CMknkNM1;(l min(n, M )6：随机变量 X 的概率密度为： f(x) ce ；求常数 C 及P(X (0,1？) )27：某产品的质量指标 X N (160, / 20)，若要求P(120 X 200) 0.8 ，问：允许 最多为多少？Xu8：已知随机变量 X N(u, 2) ，求： Y的分布？9：已知 X R(0,1) ，求： Y X 2 的分布密度？210：已知 X

5、 N (0,1) ，证明： Y X 2服从自由度为 1 的卡方的分布 11：对球的直径作测量， 设其值于 (a,b) 上均匀分布， 求体积的分布密度？ 12：已知 X N(0,1) ，方程： t2 Xt 1 0有实根的概率为多少？ 13：点随机地落在中心在原点，半径为R 的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求落点的横坐标的概率密度？14：设随机变量 X N（u, 2）,P（X 0.5） 0.0793，P（X 1.5） 0.761 ，求： u, 2第三章：二维随机变量的分布练习：1：设 X 表示随机地在 1， 2，3，4四个数中任取一个， Y 表示在 1至X 中 随机地取一个，求（ X ， Y ）

6、的联合分布？2：袋中装有标上号码为 1， 2，2 的三个球，从中任取一个不放回再取下一 个，记 X，Y 分别为两次取得的球上号码，求（ X ，Y）的分布？ 3：某射手在射击中，每次击中目标的概率为 p（0 p 1） ，射击进行到击 中目标两次为止，以 X ，Y 分别表示第一、二次击中目标时的射击次数，求 （X ，Y ）的联合分布与边缘分布？4：设（ X ，Y）的联合分布为：YX01202a125251b3225253且： P（Y 1| X 0），求（ 1）常数 a,b ；（ 2）对于中的 a,b，随5机变量 X 与 Y 独立吗？5：设（ X，Y）服从区域 G 上的均匀分布，其中G （x, y）

7、 |: 0 x 1,y| ，x| 求（ X，Y）的联合分布密度与边缘分布密度？6：设随机变量 X、Y 相互独立， 其分布密度为 f（） ，分布函数为 F（），求 min（ X ,Y ）,max（ X,Y） 的分布函数与分布密度？2R7：随机变量（ X ， Y ）的联合密度为：f(x,y ) C(Rx22 y2)2;x 2 2y0,x2 y 2 R 2求（ 1）常数 C，（2）随机向量（ X，Y）落在圆 x2 y2 r 2（r R） 内3 / 20的概率？8：设( X ，Y)的联合密度为A sin( x y);0 x ,0 y f (x, y) 2 20;其它求系数 A 及其边缘分布？9：设(

8、X ，Y)的联合密度为(3x 4y)ke ;x 0,y 0f(x,y) 0;其它求( 1)系数 K，( 2) P(0 X 1,0 Y 2) ，(3)证明 X 与 Y 相互独立。第四章：随机变量的数字特征练习1：某射手每次射击打中目标的概率为， 现对一目标连续射击 ，直到第一次 击中为止，求“射击次数” X 的期望？2：盒中有五个球，其中三黑二白，从中随机取两个球，求“取得白球数”X 的期望？1 2 ;| x| 13：设随机变量 X 的密度为： f (x) 1 x2;求:EX0,|x| 14：设： X N(0, 2),求:E(Xn)5：对球的直径作近似测量， 其值均匀分布在区间 a,b 内，求球

9、体的均值？6：设 X 的密度满足：f (c x) f(c x),x 0;c为常数, |x| f ( x)dx收敛证明： EX c7：设轮船横向摇摆的随机振幅 X 概率密度为：4 / 20x22f （x） Axe ;x 00;x 0求：（1）A ；（2）遇到大于其振幅均值的概率为多少？（3）DX8：设 X 的密度为：mxxef(x) m!;x 00;x 0试用切比雪夫不等式证明： P0 X 2（m 1）m19：对某一目标进行连续射击，直到击中r 次为止，如果每次的命中率为 p ，求需要射击次数的均值与方差？10：已知 DX 25,DY 36,0.4,求 :D（X Y）11：国际市场每年对我国某出

10、口商品的需求量X 是一个随机变量，它 在 2000, 4000 （单位：吨）上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇 3 万美元，如售不出而积压， 则每吨需要保养费 1 万美元，问应组织多少货源， 才能使平均收益最大？12：有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 米，现从中随机取出 100 根，试用中心极限定理求小于 3 米的钢材不超过 30 根的概率？第五章：数理统计练习： 1：设总体 X 服从区间 0, 上的均匀分布，这里 是未知参数，x1,x2, ,xn是 X 的样本值， 试求出参数 的矩估计量与最大似然估计量？2：为了估计灯泡使用时数的均值 u 及标准差 ，测试 10 个灯泡，得 x

11、1500小时 ，S 20小时，如果已知灯泡使用时数是正态分布， 求 u及 的置信区间（置信度为 0.95）3：设 X N（u, 2）, x1, x2 , ,xn 是其样本值，如果2已知，问： n取L？多大时方能保证 u 的置信度为 0.95 的置信区间的长度不大于给定的5 / 204：某降价盒装饼干，其包装上的广告称每盒质量为 269 克，但有顾客投 诉其质量不足 269 克，为此质检部门于准备出厂饼干中抽了 30 盒，测得这 30 盒的平均重量为 x 268克；假定盒装饼干质量服从正态分布 N(u,22) ，以显著水平0.05 检验该产品广告是否真实？每一章练习答案：1：设A=取到两张黑桃”

12、，则有 P(A) CC15232 1172：设A=任取三数最小为1 C422”，则有 P(A)33：设A=恰好有一次品”C610，则有 P(A) C5 C9519C12001984：P(A B) P(A) P(B) 0.3 0.4 0.75： P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.3 0.4 0.3 0.4 0.586： P(A B) P(A) P(B) 0.8 0.5 0.37： P(A B) P(A) P(AB) 0.7 0.3 0.48：A=“甲击中”，B=“乙击中”，C=“飞机被击中” ，C=A+BP(C) P(A B) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.5

13、0.8 0.5 0.8 0.99：A=“甲译出”，B=“乙译出”，C=“丙译出”，D=“密码被破译” ，D=A+B+C ；P(D) P(A B C) 1 P(A B C)1 P(A)P(B)P(C) 1 0.5 0.2 0.4 0.966 / 2010： Ai 恰好有i人击中,i 0,1,2,3; B 飞机坠毁 P(A0 )0.60.50.30.09P(A1)0.40.50.30.6 0. 50.3 0.60. 5 0. 70.36P(A2 )0.60.50.70.4 0. 50.7 0.40. 5 0. 30.41P(A3 )0.40.50.7014P(B| A0 ) 0,P (B 1|A

14、) 0. 2P,B2( A| ) 0P. 6B3, A( | ) 1 3P(B)P (Ai P) B( Ai| ) 0. 458i011：Ai 三个灯泡恰好有 i个是好的 ,i 0,1,2,3; B 三个灯泡中最多坏一个 ,B A2 A3;P(B) P(A2 A3)P(A2) P(A3) C32 0.22 0.8 C33 0.23 0.10412：Ai 昆虫恰好产下 i卵,i 0,1,2, ,B 昆虫有s条幼虫 iP(Ai )e ,i 0,1,2, ,i!P(B |Ai ) Cisps (1p i)is ,s s , 1,P(B)P(Ai)P(B|A1)is( p)ss!13：A= “甲胜”，

15、B=“乙胜”，C=“丙胜”，由事件的互不相容性及相互独 立性可得：甲胜：11P(A ABCA ) ( )(12)乙胜：P(AB ABCAB )(21)2 (21)5(12)21 (12)37 / 20丙胜：(1)31 3 1 6 2 1 P(ABC ABC ABC ) ( )3 ( )6 22 2 1 (1)3 7214： Ai 三球中 i球,i 0,1,2,3, Bi 三球中i球,i 0,1,2,3由投篮的独立性，可得：P(Ai) C3i 0.7i 0.33 i,P(Bi) C3i 0.8i 0.23 i,i 0,1,2,3 (1)由事件的互不相容性可得：33P( Ai Bi)P(Ai )P

16、(Bi) 0.36332i 0 i 02) P( A1B0 A2B0 A3B0 A2B1 A3B1 A3B2) 0.21476第二章练习答案：1111： P(X 1) ;P(X 2) ,P(X 1)3260,x 11/3,1 x 2F(x)5/6,2 x 31,x 12： P(X k) 0.5k 1 0,5 0.55,k 1,2,3,3： P(X k) C1k00.5k 0.510 k C1k00.5k,k 0,1,2, ,1024： P(X 1) P(X 2), e e , 21! 2!P(X 5)25e 5!2,P(X 1) 1 P(X0) 1 e 2N M N M n5： (1 x)N

17、(1 x)M (1 x)N M ,xn 的系数为：lCNnk n kCMCN Mk0lk0k n kM CN MCNn8 / 20|x| 1ce dx 1,c21 1 x 11(2) P(0 X 1)e xdx(1 e 1)0 22120 160X 160 200 1607： P(120 X 200) 0.8, P() 0.840 4042 ( ) 1 0. 8, ( ) 0.6：(1)f(x)dx 1,; 1. 3,30. 7x u dx8： y ,x y u,dy1fY( y) fX ( x( y) |yx |121 ( y u ) u2 2e1 e 2 ,Y N(0,1)29：随机变量

18、X 的分布密度为： f(x)1,x (0,1)0,x (0,1)Y X 2 的分布函数为当： y 0,FY (y) 00 y 1,FY(y) P(Y y) P(X 2 y) P( y X y) P(0 X y) 0 f(x)dx 0 1dx y当： y 1,FY (y) idFY ( y)dy121y,y (0,1)0,y (0,1)0,y 0FY (y)y,0 y 1, fY (y)1,y 111x210：随机变量 X 的分布密度为： f(x) e 2 2Y X 2的分布函数为当： y 0,FY ( y) 09 / 202y 0,FY(y) P(Y y) P(X 212xy) P( y X

19、y)2 dxfY(y)ddy0,yy 1 2y 2 e 2 dx, y 0012x20,y 01 1 yy 2 e 2 ,y 011：随机变量X 的分布密度为：体积 V1 a36f(x) b a x (a,b)0,x (a,b)1 X 3的分布函数为： v 1 a3,FV (v) 06613,FV (v ) PV( v )P 16( X 3 v )P(X36v a b a1 dx3 6v abav , 0,2 13：圆心角 服从上 0,2 的均匀分布， f( ) 20, 0,2 横坐标 X Rcos ，当 x R,FX (x) 0；10 / 20 b3, FV ( v) 16fV (v) dF

20、V (v)dv12：方程有根：36v3,v (1 a3,1 b3)663(b a)0,v (61 a3,16 b3)X 2 4 0,|X | 2P(| X | 2) 1P (X| | 2) P1 ( X2 2)1 2 (2) 1 2 2 (2) 2 2 0. 9772 0. 0456R x R,FX (x) P(X x) P(Rcos x)P(arccos x 2 arccos x ) RR1x ( arccos ) R1x(2 2arccos )Rx R,FX(x) 1,fX (x)2 arccos x 1RxarccosRdFdXx(x)R2dx,x R,R2x0,x R,R2 0.5 u

21、14： X N(u, 2), P(X 0.5)( )u 0. 5 u0. 51 ( ) 0. 0793, ( ) 0. 9207查表可得：u 0.5 1.41( 1)1.5 uP(X 1.5) 1 P(X 1.5) 1 ( ) 0.7611 u 1.5 u 1.5( ) 0.7611, 0.71( 2)解方程组（ 1）（ 2）可得： u 2.515, 1.43第三章练习答案：111： P(X i,Y1 1,i,j 1,2,3,4, j ij) 4 i0,j iXY123411/400021/81/80031/121/121/12041/141/161/161/162：P(X 1,Y 1) 0,

22、P(X 1,Y 2) P(X 1)P(Y 2|X 1)1 2 111;P(X 2,Y 1) ,P(X 2,Y 2)3 2 33311 / 203： P(X i,Y j) (1 p)j 2 p2, j 2,3,4, ,i 1,2,3,4, , j 1P(X i)pijp2(1 p) j 2 p(1 p)i ,1i 1,2,3,j i 1 j i 1j 1j 1P(Y j)pijp2(1 p)j 2 (j 1)p(1 p)j 2, j 2,3,i 1i 14：( 1) P(Y 1| X 0)P(X 0,Y 1) b 2P(X 0) b 2/25 58143a b 1 解方程组可得： a ,b252

23、52521 172)因为： P(X 0,Y 0) P(X 0)P(Y 0)255 25故有 X 、Y 不独立。5：SG 1,f(x,y)1,( x, y) G0,(x, y) Gxf (x)x1dy,x (0,1)fX (x)x0,x (0,1)2x,x (0,1)0,x (0,1)fY(y)1y1dx, y ( 1, 0)1y d1x y,0,y ( 1, 1)1 y,y ( 1, 0)1 |y |y, ( 1, 1) (0,1)0,y ( 1, 1)0,y ( 1,1)(0,1) y1y6：设 Z min( X ,Y), FZ (z) P(Z z) P(min( X , Y) z)1 P(

24、min( X ,Y) z) 1 P(X z,Y z)21 P(X z)P(Y z) 1 1 F(z)2fZ(z) dFZ(z) 21 F(z) f(z)dzZ max(X , Y), FZ (z) P(Z z) P(max( X ,Y ) z)12 / 202dFZ(z)P(X z,Y z) P(X z)P(Y z) F 2(z)fZ(z)Z 2F(z) f (z)dz227：(1)f (x, y)dxdy 1, C(Rx2 y2 )dxdy 1x2 y2 R2C d (R r)rdr 1;C1R2P(X,Y) D f (x, y)dxdy 12 (R x2 y 2 )dxdy (x,y) D

25、x2 y2 r22r21 20 d 0 (R s)sds 2 (Rrr 2)00R21R2f8：1(x,y)dxdy 1, 02 02 A sin( x y)dxdy 1,A21022sinx( ydy) x, (20, )fX(x)f(x, y)dy 2 20,x (0, 2)1(sin x cosx),x (0, ) 220,x (0, 2)1(sin y cos y), y (0, ) 22 同理： fY(y)2 20,y (0, 2)9：(1)f (x, y)dxdy 1, 0 0 ke(3x 4y)dxdy 1,k 12122) P(0 X 1,0 Y 2) 12e (3x 4y)d

26、xdy (1 e 6)(1 e 8)13 / 203) fX (x)f (x,y)dy0 12e0(3x 4y)dy,x 00,x 03e 3x,x 00,x 0fY(y)f (x, y)dx12e (3x 4y)dx,y 00,y 03e 3x,y 00,y 0故有： f(x,y) fX(x)fY(y)，即随机变量 X 与 Y 独立。第四章练习答案：11:P(X i) (1 p)i 1p,i 1,2,3, ;EX i(1 p)i 1p 1 i 1 p2:P(X 0)C32C523 ,P(X 1)10C12C31C52160,P(X 2) CC2210C52110EX 0 P(X 0) 1 P

27、(X 1) 2 P(X 2) 0.813： EX xf (x)dxx dx 0 1 1 x24：当 n为奇数时期望为零，当 n 2k 偶数时：EXnxnn 11 2x2f(x)dxxn 21 e 2 2 dx212 x22k 2k2 dx 2 t011k12e t dtn12 xn e 022k 2k 12k 2k 1 3 3 12 (k 1) 2 (k 1)(k 3) 3 1 2 2 2 2 22k (2k 1)(2k 3) 3 15 ：球直径 X 的分布密度：,x (a,b) f(x) b a0,x (a,b)体积 V 的均值为：b 1 3 1 1 2 2 EVx3dx (a b)(a2

28、b2)a 6 b a 2414 / 206：E(X)xf ( x)dx(t c)f(t c)dtc) f(c t) dt (2 c )x f( )x dx 2c xf( x) dx EX c(t7：x2211)f (x)dx 1, Axe 2 dx 1,A 202)x21 2 2EXxf ( x) dx2 x2e 2 dx023) EX 2P( X EX) P( X1)22x22xe2dx4 e12x3e 2 2dx 2 202D X EX2 EX2 ( 2 )28： EXxf (x)dx 0m1xx e m!dxm!(m 2) m 1EX22xm 3 xx2f(x)dx 0 xm! e xd

29、xm!(m 3)(m 2)(m 1)22DX2(m 1)2DX EX2 EX2 m 1P0 X 2(m 1) P| X (m 1)| m 1 1m 1 m1 (m 1)2 m 19：设所需射击次数为 Y ，又设击中第 i 1次到击中第 i 次所需的射击次数为 Xi,i 1,2, r,， 则有 X1,X2, ,Xr 相互独立，且有 ：P(Xi k) (1 p)k 1 p,k 1,2, ;i 1,2, ,r15 / 2012EXi p 2a2 14000a 2 20002 ,DXi (1 p)p 2000dEg(a) 0,a 3500r r rYXi;EY E Xi EXi rpi 1 i 1 i

30、 1 rrDY D Xi DX i r(1 p)p 2i 1 i 110： D(X Y) D(X) 2 DX DY DY 85D(X Y) D(X) 2 DX DY DY 3711：需求量 X 的分布密度为：1f(x) 2000x 2000,40000,x 2000,4000进货量为 a 吨，则收益为：g(a) 3a,a X3X (a X),a X3a,a X4X a,a X30 20)16(2. 5)( 5)0. 99381 a 4000Eg(a) 20100 2000(4x a)dx a 3adx第五章练习答案1：总何的分布为： f(x)11 ,x 0, 0,x 0, 16 / 20总体均

31、匀值为：矩估计为： X EX , 2X极大似然函数为：2nL( )f (xi , )i1极大似然估计为：max x1, x2 , ,xn2：均值的置信区间为：t1 (n 1) t0.975(9) 2.262212X t1 (n 1) Sn,X t1 (n 1) Sn20201500 2.2622 ,1500 2.2622 1010方差的置信区间为：2 (n 1)2 2 nS2 12 (n 1)123：区间长度为：02.025(9) 2.7, 12 (n 1)12nS24000, 2 2 (n 1)19.023202.975 (9) 19.02340002.7 1. 96 L n, n2 ) 1

32、2u1 2 n4：原假设为： H0 :u 269，备择假设为： H1 :u 269选取检验统计量：U 30( X 269) N(0,1)2对于显著水平为 0.05 ，由P(U u |H0),u 1.645构造否定域为：30(x 269)R ( x1, x2, ,x30)|2 1,64517 / 202否定假设，广告不真实！补充填空题：1：设 A,B 是两个相互独立的事件，且P(A) 0.7,P(B) 0.4,则P(AB) ( 0.12 )2：设 A、B 为两个事件， P(A) 0.5, P( A B) 0.2 ，则P(AB) ( 0.7 )3：设 A 、B 为两个事件， P(B) 0.7,P(

33、AB) 0.3，则P(A B) ( 0.6 )4：设随机变量 X 的概率密度为：kxb,x (0,1b), ( k 0, f(x)0,x (0,1)则 k=( 2 ) b=( 1 )5：设随机变量 X 的概率密度为：则 k ( 1 ) a ( 1 ) b ( 0.5 )6：将一均匀硬币连续抛 10 次，记 X 为正面出现的次数，则 X 服从参数 为 ( n 10,p 0. 5) 的 ( 二 项 ) 分 布 ， X 的 概 率 函 数 为( P(X k) C10 0.5 ,k 0,1,2, ,10 )，正面平均出现( 5 ) 次7：设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则用切贝雪夫不等式估计18 / 20P(| X 2| 2) ( 0.125 )8：已知样本 X1,X2, , X16取自正态总体 N(0,1) ， X 为样本均值，又 知 P(X ) 0.01, (2.3