必修五不等式专题复习题

1、.word 格式 .不等式 专题复习知识回顾一 不等式的主要性质 ：(1) 对称性：(2) 传递性：(3) 加法法则 ：(同向可加 )(4) 乘法法则 ：(同向同正可乘 )(5) 倒数法则 ：(6) 乘方法则 ：(7) 开方法则 ：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小 ：作差法(作差变形 判断符号 结论)3、应用不等式性质证明不等式二解不等式1. 一元二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0 的解集 ：2、简单的一元高次不等式的解法 ：(穿根法)其步骤是 ：( 1) 分解成若干个一次因式的积 ， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；专业资料 . 学习参考.word 格式

2、 .( 2) 将每一个一次因式的根标在数轴上 ， 从最大根的右上方依次通过每一点画 曲线 ；并注意奇穿过偶不过 ；(3)根据曲线显现 f(x) 的符号变化规 律，写出不等式的解集23如： x 1 x 1 x 2 03、分式不等式的解法 (转化为常规不等式 )f(x)f (x)f (x)g(x) 00 f (x)g(x) 0; 0g(x)g(x)g(x) 0注意 ：右边不是零时 ，先移项再通分 ，化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题 ：应用函数方程思想和 “分离变量法 ”转化为最值问题若不等式 f x A在区间D上恒成立,则等价于在区间 D上f x min A 若不等式 f x B在区间

3、D上恒成立,则等价于在区间 D上 f x max B 三、线性规划1、用二元一次不等式 (组) 表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 ：定点法3、线性规划的有关概念 ：线性约束条件 线性目标函数线性规划问题 可行解 、可行域和最优解 ：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 ：( 1)寻找线性约束条件 ，列出线性目标函数 ；( 2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 ；(3)依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目专业资料 . 学习参考.word 格式 .标函数的最优解四均值不等式1若 a,bR,则 a2+ b 22ab,当且仅

4、当 a=b 时取等号 .2如果 a,b是正数，那么 a b ab（当且仅当a b时取 号）.2变形： a+b2 ab ；2ab a b , 当且仅当 a=b 时取等号 .2注：（ 1）当两个正数的积为定值时 ，可以求它们和的最小值 ，当两个正数的和 为定值时，可以求它们的积的最小值 ，正所谓“积定和最小 ，和定积最 大”2）求最值的重要条件 “一正，二定 ，三取等3.常用不等式有 ：（1） a 2b a2b ab 1 2 1 （根据目标不等式左右的运算结构选用 ） ； ab222（2）a、b、c R， a b c ab bc ca （当且仅当 a b c时，取等号）；（3）若a b 0,m 0

5、，则b b m （糖水的浓度问题 ）。a a m典例剖析题型一 ：不等式的性质1. 对于实数 a,b,c 中，给出下列命题 ：22b,则ac2 bc 2；0,则a2 ab若a若ab2；若a若c0,则 b a ； ab b 0, 则 a cabcb若ac2 bc2,则a b ；11 若 a b 0, 则 1 1 ；ab 若 a b 0,则 a b ；11若a b, ，则 a 0,b 0ab专业资料 . 学习参考.word 格式 .其中正确的命题是 题型二 ： 比较大小 （作差法 、函数单调性 、中间量比较 ，基本不等 式）2. 设a 2， p a 1 ， q 2 a 4a 2，试比较 p,q的大

6、小a23.比较 1+ log x 3与2 log x 2(x0且x 1） 的大小4. 若 a b 1,P lg a lgb,Q1 a b(lga lgb),R lg()，则 P,Q, R的大小22关系是 .题型三 ：解不等式5. 解不等式6. 解不等式 (x 1)(x 2)2 0 。7. 解不等式 x252xx 3 1专业资料 . 学习参考.word 格式 .8. 不等式 ax2 bx 12 0的解集为 x|-1x0 恒成立，则a的取值范围是 12. 若不等式 x2 2mx 2m 1 0 对 0 x 1的所有实数 x都成立 ，求m 的取值范围.1913. 已知 x 0, y 0 且1 ，求使不

7、等式 x y m恒成立的实数 m的取值范xy围。专业资料 . 学习参考.word 格式 .三基本不等式题型五 ：求最值14. （直接用注正数 ）求下列函数的值域11（1）y3x 2 22x 2（2）yxx15. （配凑项 ）（1）已知 x55 ，求函数 y44x 2 1 的最大值4x 52）当时，求 y x（8 2x） 的最大值16. 求 y2x2 7x 10(xx11）的值域注意：在应用均值不等式求最值时 ，若等号取不到 ，应结合函数 f（x） x a 的 x专业资料 . 学习参考.word 格式 .单调性17. 求函数 yx 2 5 的值域 。 x2 418. （条件不等式 ）（1） 若实

8、数满足 a b 2，则 3a 3b的最小值是192 的最大值 .1 的最小值 .ab（2） 已知 x 0,y 0，且 1 9 1，求x y的最小值。 xy（3） 已知 x，y 为正实数，且 x 2 2 1，求 x 1y4） 已知 a，b 为正实数 ，2bab a30，求函数 y专业资料 . 学习参考.word 格式 .题型六 ：利用基本不等式证明不等式19、已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b219. 正数 a，b，c 满足 a b c1，求证 ：（1a）（1b）（1c）8abc16(12 分)设a0, b0，且a + b = 1 ，求证：(a 1

9、)2 (b 1)2 25a b 2题型七 ：均值定理实际应用问题 ：20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m 2 的三级污水处理池 （平面 图如图 ），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元 ，中间两条隔墙建筑单 价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计 ， 试设计污水池的长和宽 ， 使总造价最低 ，并求出最专业资料 . 学习参考.word 格式 .低造价四.线性规划题型八 ：目标函数求最值2x y 3 021. 满足不等式组 7x y 8 0，求目标函数 k 3x y 的最大值x,y 0专业资料 . 学习参考.word 格式 .22、已知实系

10、数一元二次方程 x2 （1 a）x a b 1 0的两个实根为 x1、 x2,并 且 0 x1 2,x2 2 则 b 的取值范围是a1x03x 4y 423、已知x, y满足约束条件 ：y 0,则x2 y2 2x的最小值是x 2y 3 024 、 已 知 变 量 x, y满足约束条件x 3y 3 0. 若目标函数 z ax y ( 其 中 y10a0）仅在点（3，0）处取得最大值 ，则 a的取值范围为专业资料 . 学习参考.word 格式 .y1，25、已知实数 x， y满足 yx2x 1，如果目标函数 z x y的最小值为 1， 则实数 y mm等于 （ ）题型九 ：实际应用22. 某饼店制

11、作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元 ；凤梨月饼每个成本 20 元，售价30 元。现在要将这两种月饼装成一盒 ， 个数不超过 10 个， 售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个 ， 可使利润最大 ？又利润最大为多少 ？专业资料 . 学习参考专业资料 . 学习参考.word 格式 .word 格式 .易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化抓住两边结构进行转化是不等式应用的重 要一环 ，根据结论与条件 ，要想促使结论与条件的 “沟通”，必须仔细分析结构 特点 ，选用恰当的不等式或变式 ；例 1、正数 a、b 满足 a b=1 ，(a 1)(b 1) 的最大值 。分析(1)本

12、题是求 “积”的最大值 ，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和 或 “平方和 ”是否是定值 ，做出选择 。( 2)要利用 a b =1 ，就必须去掉根号 ，因此要向 “平方和”转化，那么应用变式 也就顺理成章了解 ： (a 1)(b 1) (a 1) (b 1) 3 ， 当且仅当(a 1) (b 1)ab11即a b 1 时取得“= ”。2例 2、已知正数 a、 b 满足3 (a 1)(b 1) 的最大值是 3 a b=1， 求 (a 1)2 (b 1) 2最小值 ；分析 ：将条件与结论放在一起，可以看出 ， 要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化

13、，再利用条件 ，就必须完成 从“平方和 ”向“和”的转化 。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利 用条件 ， 都离不开变式 。解：a b 2(a2 b2 )， (a 1) (b 1) 2(a 1)2 (b 1)2 3 2(a 1)2 (b 1)2 (a 1)2 (b 1)2 92 ，当且仅当 a b 1 时取得 “=。 (a 1)2 (b 1) 2 最小值是 9 。22 注：转化中必要的 “技术处理 ” 对均值不等式的应用 ，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理 ”还必须掌握如： “配系数”(将“x ”写成“1 2x ”或1“2 1 x”)；22x2 3x 3“拆项”(将“x 3

14、x 3 ”写成“(x1) 11”)；x1x1“加、减凑项”(将“x”写成“(x1) 1”)；“升降幂”( a 0,a ( a)2) 等都是常用的 “技术处理”方法 例3、 已知 a 0,b 0 ，求证 ： a b a bba分析：从结构特点和字母的次数看与变式 吻合， 可从此式入手2解： 若 b0, 则 a 2a b ， a 2 a b bb专业资料 . 学习参考.word 格式 .由 例 4 、已知 a b分析 ： 本题求 等“技术处理 ”解 ：由 a于是 a2b(a即 a 2 2,b另外也可由1、2、3、b2 b a aa b 。ba16ab0 求 a2b(a b)的最小值 。“和”的最小

15、值 ， ，注意到 b (a0 b(a b)但“积”并不是定值 ，故需要进行 “拆项 ”变形 b) a ，容易找到解题的突破口 2b (a b)216 2 16a2 = ab)a242 时取“= ”a2b(a16 b) = b16642a1616，2 a 4，当且仅当ab642a的最小值是 16b(a b)2 16(a b) 2=b(a b)16 来求得此最小值 。4b(a b)b(a b)使用均值定理的注意事项 (易错提醒 ) 应用均值不等式求最值方便 、快捷 ，但必须注意条件 相等”， 即涉及的变量都是正数 ，定值， 然后必须注意等号可以成立但使用均值不等式容易误解为是 4，正 、二定 、三

16、 其次是和 (平方和 ) 为定值或积为442 的最小值是 5 ； sin x442 不成立 (不能取sin x如 sin2 x因为 sin2 x“=”)。在使用均值不等式时 ，要注意它们多次使用再相加相乘的时候 立的条件是否一致 。如例 4 ，(同时满足 )。 在使用均值定理求最值的时候，等号成要保证两次均值不等式的取等条件相同函数的单调性来解决 。 如求，如果等号成立的条件不具备 ，应考虑用42 的最小值 ， 可利用函数 sin 2 x2sin x1.求 y4f (x) x 的单调性来解决 。x应用举例：循序渐进 ，学会变型(配套训练) x2 2x 2x 2x 2,x 1的最小值 。x1专业

17、资料 . 学习参考.word 格式 .x 112. 求 y 2 x 1 ,x 1的最大值 。（ 1 ）x2 2x 223. 求函数 y 2 x 的值域。 （ - 1 ， 1 ） x2 x 1 3不等式专题检测、选择题：1若 a,b,cR，cb且acb ，则下列不等式一定成立的是(D (a)b)c2 0A aB ac2cbc C . 0 ab2、若 a b0，则下列不等关系中不能成立的是 （）11221111A 1B 11C a3 b3D a 3b3ababa3若关于 x 的不等式x2 4xm 对任意 x 0,1 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A m3Bm3C 3 m 0 D m3或m04已

18、知实数 x,y 满足 x2y2 1， 则（1xy）（1xy）有（ ）A1最小值 1 和最大值 12B3最小值 3 和最大值 14C13最小值 1 和最大值 324D最小值 15设x 0, y 0, x y ,b1x y ， a 与 b 的大小关系 x1yx 0, y 0, a ,1xy（）Aa bBa bCa bD a b6若关于 x的不等式 2x2 8x 4 a 0在1 x 4内有解，则实数 a的取值范围是 （ ）专业资料 . 学习参考.word 格式 .A a 4 B a 4C a 12D a 1217若x (0, 1 )时总有log a2 1(1 2x) 0,则实数a的取值范围是 ()A

19、| a| 1B|a| 2C|a| 2D1 | a| 28 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点， 甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走 ；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走 ，如果 m n，甲、乙两人谁先到达指定地点C甲乙同时到达()D无法判断A甲B乙yx9设变量x、 y 满足约束条件x y 2 ，则目标函数 z2x y 的最小值为y 3x 6()A 2B 3C4D910. 设f(x) 是 奇 函 数 ，对任意的实数 x 、 y ， 有f(x y) f(x) f(y),且当x 0时,f(x) 0,则 f(x)在区间a,b上( )A有最大值 f (a)B有最小值 f (a)C有最大值