微积分基本定理导学案

1、sx-14-(2-2)-0261.6 微积分基本定理导学案编写：刘威 审核：陈纯洪 编写时间 :2014.5.13 班级组名姓名等级【学习目标】1. 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义， 会用牛顿 -莱布尼兹公式求简 单的定积分；2. 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分 基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。【重点与难点 】：重点：微积分基本定理（牛顿 - 莱布尼兹公式及其运用 难点：微积分基本定理的含义【知识链接 】1、复习：（ 1）导数的定义及运算法则；（2）定积分的概念及用定义计算2、利用定积分的定义计算 1dx1x从前面的学习中可以发现

2、 ,虽然被积函数 f x x3非常简单 ,但直接用定积分的定义计算1x3dx的值却比较麻烦 .0那么,有没有更 加简便、有效的方法求定积分呢 ?另外,我们已经学习了微积分学中两个最 和最重要的概念 :导数和定积分 ,这两个概念之间有没有内在的联系呢 ?我们能否利用这种 求定积分呢 ?【学习过程 】知识点一 ：微积分基本定理 自学教材 5153 页探究一下导数和定积分的联系S探究 : 如图1.6 1,一个作变速 直线运动的物体的运动规律 是 s s t . 由导数的概念可知 ,它在任意 时刻t的速度 v t s t设这个物体在时间段 a,b 内的 位移为 S, 你能分别用 s t 、v t 表示

3、S吗?1) 物体的位移 S是函数s s t 在t b处与t a处的函数值之差 ,即S (2) 另一方面,我们还可以利用定积分由, v t 来求位移 S.用分点 a t0 t1ti 1 titn b将区间 a,b 等分成 n个小区间t0,t1 , t1,t2 , ti 1,ti , tn 1,tn ,每个小区间的长度均为 t ti ti 1当 t很小时 ,在 ti 1,ti 上,v t 的变化很小 ,可以认为物体近似地以速度 v ti 1 作匀速 物体所作的位移 Si hi v ti 1 ti1tan DPC t(3) 从几何意义上看 图1.6 2 , 设曲线 s s t 上与ti 1对应的点为

4、 P,PD是P点处 的切线 ,由导数的几何意义知 , 切线 PD的 斜率等于 s ti 1 , 于是Si hi结合图1.6nSSii11,可得物体总位移 nnhiv(ti 1) ti 1 i 1ti显然,n越大 ,即 t越小,区间 a,b 的分划就越细 ,i1与S的近似程度就 由定积分的定义有 S lim b av ti 1 =n i 1 n i 1b综上可知： S v t dtabs t dt s b s aa上式表明 ,如果作变速直线运动的物体的运动规律是 上的定积分就是物体的位移 s b s a .s s t ,那么 v tsta,b般地，如果 f(x) 是区间 a,b 上的连续函数，并

5、且 F (x)f (x) ，那么这个结论叫做微积分基本定理，又叫做 ，为了方便 ,我们常常把 F b F a 记成F x |ba,即 f x dx F x |ab F b F aa.注意： 1、在定理中：若 F (x) f(x)，那么 (F(x) C) ，所以求定积分 b f x dx的关键是找到满足 F (x) f (x) 的任意一个函数 F(x) a即可；2、无论是 a b或 a b ，此公式都成立。3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。知识点二：利用微积分基本定理求定积分阅读教材 53-54 ，完成下列问题例 1: 计算下列定积分 : 11dx; 22x3 1 22x 2 dx ;(3) 2 (2cos x sinx 1)dx例2: 设f(x)=2x 05 1x1,求f (x)dx感悟提升 ：微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一种计算定积分 b f x dx的关键是找到满足 F x f x 的函数 F x .通常,我们可以运用基本初 a函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F x .【小结】1. 微积分基本定理（牛顿莱布尼茨公式） ：2. 变速直线运动中位移函数与速度函数的联系：3. 利用微积分基本定理求定积分的方法步骤： 【当堂检测】2)x(1 x)dx (3)21.计算下列各定积分：（1） 0 （4