圆锥曲线常考题型总结教师版

1、直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式 ： x x1 x2 ,y y1 y2 ，其中 x,y是点 A(x1, y1)，B(x2,y2)的中点坐标。222、弦长公式 ：若点 A(x1,y1)，B(x2, y2)在直线 y kx b(k 0)上，则 y1 kx1 b， y2 kx2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB( x1x2)2( y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)2(1k2)(x1x2)2(1 k2 )( x1 x2 )2 4x1x2或者 AB(x1 x2)2 ( y1 y2)2(k1 x1k1 x2)2k(y1y2)2(1 k12 )( y1 y2

2、)2(1 k2)( y1y2 )2 4 y1 y2 。3、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1两条直线垂直，则直线所在的向量 v1 ? v2 02 b c 4、韦达定理：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)有两个不同的根 x1,x2 ，则 x1 x2,x1x2。aa 常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题问题九：四点共线问题问题十：范围问题(本质是函

3、数问题)问题十一、存在性问题： (存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角) ，四边形(矩 形、菱形、正方形) ，圆)题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系22例题 1、已知直线 l:y kx 1与椭圆C : x4 ym 1始终有交点，求 m的取值范围22 解：根据直线 l:y kx 1的方程可知，直线恒过定点( 0，1)，椭圆 C: x y 1过动点(0，4m22果直线 l : y kx 1和椭圆 C : xy 1 始终有交点，则 m 1，且 m 4 ，即 1 m且m 4 。4m规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l:y kx 1 过定

4、点( 0，1)l: y k(x 1) 过定点( 1，0)l: y 2 k(x 1) 过定点( 1，2)题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线 l与曲线 N ： y2 x交于 A、B两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x0 ,0) 边三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由。m),且m 4 ，如，使得 ABE 是等解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线 l : y k(x 1)，k 0， A(x1,y1)， B(x2,y2)。由 y2 k(x 1)消 y整理，得 y2xk2x2 (2k2 1)x k2 0由直线和抛物线交于两点，得(2k 2 1)2

5、4k44k2 1 0即 0 k2 14由韦达定理，得： x1 x22k 2 12 , x1x2 k1。则线段AB的中点为 ( 2k 2 1, 1 ) 。2k2 2k线段的垂直平分线方程为：1 1 1 2k 2y 2k k(x 2k2 )令 y=0,得x012k21，则211E(21k2 12,0)112k2k 2 k 解得 k 13 满足式此时 x01 k22kAB 。3 d为23 ，且在 x 轴0) 的离心率为2题型三：动弦过定点的问题22例题 3、已知椭圆 C： x2 y2 1(a b a2 b 2上的顶点分别为 A1(-2,0),A 2(2,0) 。( I )求椭圆的方程；(II )若直

6、线 l:x t(t 2)与 x轴交于点任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、 圆的焦点并证明你的结论解：(I )由已知椭圆C 的离心率 e， a 2 , 则得 c3, b 1 。2x2从而椭圆的方程为 4II )设 M (x1, y1) ，N(x2, y2)，直线A1M 的斜率为 k1, 则直线 A1M 的方程为y k1(x 2) ，由k1(x4y22)消 y4整理得 (1 4k12) x2216k2x 16k12 4 02和x1是方程 的两个 根，216k12 42x1 1 4k12则 x18k12 ，1 4k124k1 y1 1 41k12，即点 M的坐标为 (22 8k12

7、, 4k1 ) ，221 4k12 1 4k12同理，设直线A2N的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 (8k2 22 , 4k2 2 )1 4k2 1 4k2ypk1(t2), yp k2(t 2) kk11 kk2222 ， 直线 MN的方程为： ty y1x x1y2 y1 ，x2 x1令 y=0 ，得x2 y1 x1y2，将点 M、 y1 y2N 的坐标代入，化简后得： x又 t 2，4 2 椭圆的焦点为 t( 3,0) 4t3，即 t 4 3343故当 t 4 3 时，3MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题 4、已知点 A、B、 C 是椭圆 E：2by2 1 (a

8、 b0)上的三点，其中点 A(2 3,0) 是椭圆的右顶点，直线 BC过椭圆的中心 O，且 AC BC 0 ， BC，如图。(I) 求点 C 的坐标及椭圆 E的方程； (II) 若椭圆 E上存在两点P、Q，使得直线 PC与直线 QC关于直线 x 3 对称，求直线 PQ的斜率。，且 BC过椭圆的中心 O解： (I)20 ACO2又 A (2 3,0) 点C的坐标为 ( 3, 3)。A(2 3,0) 是椭圆的右顶点， a 2 3 ，则椭圆方程为：设直线将点 C( 3, 3) 代入方程，得 b2 4 ， 椭圆 E 的方程为 x2(II) 直线 PC与直线 QC关于直线 x 3 对称，PC的斜率为 k

9、 ，则直线 QC的斜率为12k ，从而直线y3k(x 3)，即 y kx 3(1 k)，2x122y42by22 1PC的方程为：y kx 3(1 k) 消 y ，整理22x2 3y2 12 0得：(1 3k2)x2 6 3k(1 k)x9k218k2xP 3 9k21 138kk2 3即xP29k2 18k 32 同理可得：3(1 3k 2)yP yQ kxP 3(1 k)kxQ3(1 k) k(xPxPxQ9k2 18k 39k218k 33(1 3k2)3(1 3k2)3(136k3k2)29k2 18k 3Q3(13k2)xQ)2 3k 12k3(1 3k2)yPyQ1xPxQ3kPQ

10、3 是方程的一个根，则直线 PQ的斜率为定值题型五：共线向量问题例题 5、设过点 D(0,3) 的直线交曲线 M：y241于 P、 Q两点，且 DPDQ , 求实数 的取值范围。解：设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),DP DQ(x 1,y 1-3)= (x 2,y 2-3) 即x1x2y1 3 (y2 3)判别式法、韦达定理法、配凑法设直线 PQ的方程为： y kx 3,k 0，由 y 2kx 32消 y整理后，得4x2 9y2 36222(54k)2 4 45(4(4 9k2)x2 54kx 45 0 P、Q是曲线 M上的两点由韦达定理得：54k 45(x1 x2)2 x1 x

11、2x1 x2 4 9k2 ,x1x2 4 9k21x1x22x21 x12 29k2) 144k2 80 0即 9k2 5 22542k2245(4 9k 2)(1 )2即5(136 )29k2 49k249k2由得 0 1 29k21，代入，整理得515(136 )9 ， 解之得 155当直线 PQ的斜率不存在，即 x 0 时，易知 5 或总之实数 的取值范围是15,5 。题型六：面积问题2 x 例题 6、已知椭圆 C： 2 a22 y b21 （ a b 0）的离心率为6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。3）求椭圆 C的方程；）设直线 l 与椭圆 C交于 A、 B两点，坐标原点 O到

12、直线 l 的距离为 3，求 AOB面积的最大值。 2解：（）设椭圆的半焦距为c ，依题意 caa3 ， b 1 ，3，2所求椭圆方程为 y 2 1。3)设 A( x1， y1) ， B(x2，y 2 ） 。（ 1）当 AB x轴时，AB3 。（ 2）当AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kxm 。由已知1k34 (k2 1)。把 y kx m 代入椭圆方程，整理得 （3k 21)x26kmx23m0，6km x1 x2 3k 2 1x1x223(m2 1) 。 。 3k 2 1AB2(1 k2 )(x2x1)22(1 k2 )36k2m2(3k 2 1)2212( m2 1)

13、3k2 112(k 2 1)(3k2 1m2)(3k21)23(k 2 1)(9k2(3k2 1)21)12k29k 4 6k2 112129k2 k(k 0) 3612236当且仅当 9 k 21k12 ，即33 时等号成立。当 k 0时，3AB 3 ，综上所述 ABmax 2。当 AB 最大时， AOB 面积取最大值 S 12AB3 3 。 max 2 2 。题型七：弦或弦长为定值问题例题 7、在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（ 0， p）作直线与抛物线 x 2=2py（ p0）相交于 A、B两点。）若点 N是点 C关于坐标原点 O的对称点，求 ANB面积的最小值； （）是否存在垂

14、直于 y 轴的直线 l ，使得 l被 以 AC 为 直 径 的 圆 截 得 弦 长 恒 为 定 值 若 存 在 ， 求 出 l 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 。）依题意，点 N的坐标为 N（ 0,-p ）,可设 A（x1,y1）,B（x2,y 2），直线 AB的方程为 y=kx+p,与 x 2=2py 联立得x22pykx p.消去 y 得 x 2-2pkx-2p 2=0. 由韦达定理得 x1+x2=2pk,x 1x2=-2p 2. 于是 SABN S BCN S ACN12 2p x1 x2 p x1 x2p (x1 x2 )24x1x2 p 4 p2k2 8p2 2p

15、2 k2 2.当k 0时，S ABN)min2 2 p2.假设满足条件的直线 l存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 O ,t与 AC为直 径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为 H，则 O H PQ,O 点的坐标为（x1 y1 p2 , 2) O P 21 AC 12 x1( y1 p)2 12 y12 p 2 .OHa y12 p2a y1 p ,PHOPO H = 14 ( y12 p2 )14 (2a y1 p)2在，PQ2令 a 2p其方程为(2PH)2=4 (ay2a( p a) .0 ，得 a p , 此时 PQp 为定值，故满足条件的直线 l 存y p2 ，即抛物线的通径所在的直

16、线解法 2：）前同解法 1，再由弦长公式得AB 1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k24p2k28p2 2p 1 k2 k2 2.又由点到直线的距离公式得2p从而， S ABN12 d AB 12 2p 1 k2 k2 2 12pk2 2p2 k2 2,当k 0时，( S ABN)max 2 2p2.）假设满足条件的直线t 存在，其方程为 y=a ，则以 AC为直径的圆的方程为(x 0)(x x1) (y p)(y y1) 0,将直线方程 y=a 代入得2x x1x (a p)(a y1) 0,则 x12 4(a p)(a y1) 4 (a 2p) y1 a(p a).设直线 l

17、与以 AC为直径的圆的交点为 P(x2,y 2) ,Q( x4,y 4), 则有x3x44 (a 2p)y1a(p a) 2 (a 2p)y1 a(p a).令 a p 0,得a p,此时 PQ22p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 y即抛物线的通径所在的直线。题型八：角度问题例题 8、（如图（ 21）图， M（-2 ， 0）和 N（ 2，0）是平面上的两点，动点P 满足： PMPN 6.（）求点 P 的PM PN , 求点 P 的坐标 .1 cos MPN轨迹方程；（）若解：（ ）由椭圆的定义，点 P的轨迹是以 M、N 为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆 .因此半焦距 c=2，长

18、半轴 a=3，从而短半轴22b= a c 5 所以椭圆的方程为 x y951.() 由 PM PN, 得 PM PN cosMPN1 cosMPNPM PN 2. 因为 cos MPN1,P不为椭圆长轴顶点， 故 P、M、N构成三角形 .在 PMN中，MN 4,由余弦定理有2 2 2MN 2 PM 2 PN 2 2 PM PN cosMPN. 将代入，得 42PMPN2(PM PN2).故点 P在以 M、N 为焦点，实轴长为2 3 的双曲线y2 1上.由( )知，点P的坐标又满足xy1，所以95由方程组 5x29y2 45,解得 x3 3 ,2,2 x3y2 3.y5.2即 P 点坐标为(3

19、3, 5)、( , )、(3 3， - 5)、( - 3 3， 5)或(33222222222- 25 ).2问题九：四点共线问题2例题 9、设椭圆 C : x2 a22 y b21(a b0) 过点 M ( 2,1) ，且着焦点为 F1( 2,0)证明：解 (1)求椭圆 C 的方程；当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆点 Q 总在某定直线上由题意：C 相交与两不同点 A,B 时，在线段 AB 上取点Q ，满足22a2c1b22a1 ，解得 a24,b2 2 ，所求椭圆方程为2y2 12(2) 方法设点 Q、由题设知又 A， P，b2A、 B的坐标分别为 (x,y),( x1, y1 )

20、,( x2,y2)。均不为零，记,则0且于是4x1x2 ，1y1y211x1x2 ，y1y2x1y1从而B，Q四点共线，从而 AP2 2 2x1x24x，1)2y122y22 2 y ，( 2 )又点 A、B 在椭圆 C上，即22x1 2y1 4,1） +（ 2） 2并结合（ 3），即点 Q（x, y） 总在定直线 2x y方法(3)4）22x2 2y2 4,得 4s 2y 40上设点 Q(x,y), A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设，又 P,A,Q,B 四点共线，可设PA(4)PA , PB , AQ , QB 均不为零。AQ,PB BQ(0, 1), 于是414x2 1x1x,

21、y1x, y21y11y11）2）由于 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将2）分别代入C的方程 x2 2y2 4, 整理得22(x2 2y2 4)4(2x2)143）(x2 2y2 4)4(2x2)14(4)(4) (3)得 8(2x2)0, 2xy20即点 Q（x,y） 总在定直线 2x y0上问题十：范围问题（本质是函数问题）2x2设 F1、 F2 分别是椭圆y2 1的左、右焦点。4）若 P是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2 的最大值和最小值；）设过定点 M （0,2）的直线 l与椭圆交于不同的两点A、B ，且 AOB为锐角（其中 O为坐标原点），求直线 l 的斜率 k

22、 的取值范围。解：（）解法一：易知 a 2,b 1,c 3所以 F13,0 ，设 P x,y ，则3 x, y , 3 x, y x2y2 322xx143 1 3x2 84因为 x 2,2 ，故当 x 0，即点 P为椭圆短轴端点时， PF1 PF2 有最小值 2当x 2，即点 P为椭圆长轴端点时， PF1 PF2 有最大值 11,c 3，所以 F1 3,0 ,F2 3,0 ，设 P x, y ，则解法二：易知 a 2,bcos F1PF2PF12PF22 F1F2 22PF1PF2PF1 PF22y2 3 （以下同解法一）联立 x1显然直线y2 x4kx2y2x2k2x 3 y20不满足题设

23、条件，消去y，整理得：212x2可设直线k2l: y kx 2,A x1,y2 ,B x2,y2 ，2x2 4kx 34k14,x1x2321k44k4k2 330 得： k3 或 k2又00A0B900cosA0B 00x1x2y1y2 0又 y1y22 kx2k2x1x22k x1 x23k221k4k28k214k2 121k4321k4k2 121k40，即2k2故由、得 2 k23 或 2322k2问题十一、存在性问题：存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角） ，四边形（矩形、菱形、正方形） ，圆）22设椭圆 E: x2 y2 1（a,b0 ）过

24、 M（2， 2 ） ，N（ 6 ,1） 两点， O为坐标原点， a2 b2I ）求椭圆 E 的方程；II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点 A,B, 且 OA OB 若存在，写出该圆的方程，并求 |AB |的取值范围，若不存在说明理由。解: （ 1）因为椭圆E:2x2a2 y b2a,b0 ）过 M（2， 2 ），N( 6 ,1) 两点 ,4所以 a262a2b21b21解得12a1b218 所以142 a b28 椭圆 E 的方程为 x482）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且 OA, 设该圆的切线方程为 y kx m 解方程组y2x8kx2y4m得x2122(kx m)2228, 即(1 2k2)x224kmx 2m 80,则 =16k2m2 4(1 2k2)(2m2 8)8(8km24) 0, 即8km240x1 x2x1x24km1 2k , y1y22m2 81 2k2(k