弯曲刚度问题

1、第 9 章 弯曲刚度问题9.1 基本概念9.1.1 梁弯曲后的挠曲线 吊车梁若变形过大，将使小车行走困难，还会引起梁的严重振动。因此，必须对梁的变形加以限制若梁的变形在弹性范围内，梁的轴线在梁弯曲后变为一条连续光滑曲 线，该曲线称为 弹性曲线 或挠度曲线 ，简称 弹性线 或 挠曲线 。挠曲线： 梁变形后的轴线 。 性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。9.1.2 梁的挠度与转角设有一具有纵向对称面的悬臂梁，在自由端处作用一集中力FP。FP 力作用在梁的纵向对称面内，使梁发生平面弯曲。一、挠度与转角梁的变形可用以下两个基本量来度量。1 / 28 挠度挠度 ：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移

2、梁轴线上各点（各截面）的挠度 w 随着点（截面）的位置 x 的不同而改变 ，即各截面的挠度是截面位置坐标 x 的函数。挠曲线方程单位： mm挠度 w 符号规定： 向下为正 转角， 向上为负 。转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。用“ ” 表示。梁不同横截面其转角是不相同的，是横截面位置坐标 x 的函数负。转角方程单位： rad的符号规定：由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为 水平位移：横截面形心沿水平方向的位移，用u 表示。因小变形时， u 与 w 相比为高阶无穷小，故忽略不计。、挠度 w 于转角 间的关系tantandww (x) w dx2 / 289.2 小挠度微分方程及其积分

3、9.2.1 小挠度微分方程1梁发生平面弯曲时，其轴线由直线变成一条曲率为 的平面曲线1M1 M (x)纯弯曲EI细长梁横力弯曲(x) EI12d2wd2wM(x)由高数知(x)dx2dx2EIM (x) 与 w 的符号总是相反的3 / 28d2wM (x)dx2EI求梁的变形：d2w EIdx2M(x)挠曲线近似微分方程dw w 解上二阶微分方程可求得挠度 w ，再根据dx ，可求得截面转角 。等截面梁： EI =常数。EIwM (x)EIw dxM (x)dxEIw EI M (x)dx CEIw dx M (x)dxdx CdxEIw M (x)dxdx Cx D1EIM (x)dx C转

4、角方程4 / 281w M (x)dxdx Cx DEI l l 挠度方程 其中 C、 D 为积分常数。可根据约束条件求得。9.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件约束条件：固定铰支座和辊轴支座处： w 0 ；固定端处： w 0 ，0 。连续条件：在集中力、集中力偶和分布载荷间断处，两侧的挠度和转角对应相等，即 w1 w2 ， 1 2例题 1】 一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力FP , 梁的抗弯刚度为EI ，求自由端截面的转角和挠度。解：等直梁 EI =常数。建立图示坐标系。梁上距原点x 远处任一横截面上的弯矩： M(x)FP(l x)5 / 28根据EId2wdx2M (x)EId

5、2wdx2FPlFPx积分一次EIdwEI再积分dxEIw12FPlx2由梁的约束条件确定积分常数。根据固定端 x 0 处：0，FPl 0 FP02212FPl 02梁的转角方程：2xFPlx FPCP P 21 FPx3 Cx D6P0。1FP 03 C 0 D6P(x)D01 (FPlx 1 FP x2) EI P 2 P6 / 28梁的挠度方程： w(x)1 (1 FPlx 2EI 2 P1 FP x3)把xl 代入上两方程，EI(FPl2FPl ) 21EIFPlwBE1I (12 FPl316FPl 3) 3E1IFPl 3 ( )B 为正值，表示 B 截面顺时针转； wB 为正值，

6、表示挠度是向下的。例题 9-1 承受集中载荷的简支梁，如图所示。梁弯曲刚度EI 、长度 l 、载荷 FP 等均为已知。试应用小挠度微分方程通过积分，求：梁的挠度方程和转角方程，并加力点 B 处的挠度和支承A 和 C 处的转角。解：1. 确定梁约束力MA0,FAl FFy0，FB FPP3l 04FP47 / 282. 分段建立梁的弯矩方程AB 段：M1(x)FAx3FPx4(0 x l 4)BC 段： M 2(x) 3F4P x FP(x 4l ) (l 4 x l)3. 将弯矩方程代入挠曲线微分方程并积分EIw M (x)EIw13FPx4(0 xl 4) EIw23FP x FP(x l

7、)4 P 4(l 4 x l) 将式积分EIw1 EI 13FP8 x2 C1EIw1P x3 C1x D11811将式积分3FP 2 1 l 2EIw2 EI 2P x2FP (x )2 C22 2 8 2 P 4 2FP 3 1 l 3EIw2P x3FP (x )3 C2x D22 8 6 P 4 2 28 / 284. 利用约束条件和连续条件确定积分常数约束条件：在 x连续条件：在 x将x0 代入0 处， w1l 4处 w1EIw1，x处， w2C1x D1l4代入EI38FP (4l )代入D1EID13FPC13FPxC112FP(xC238FP (4l )2 0 C2C1 C2C

8、1x D19 / 28EIwFP(lC1D1EIwFP(0l 4)(l 4(x)w(x)w(x)l)EIEI16FP (x6D2 016 FP (l6C1 C2(x)EIEIx312(xx316(x10 / 28)3 C2x(4l )3 C2)3 C2l 0128FPl1284)4)128x)128128l2xw3FPl3 ( )7FPl 25FPl 2wB 256EI ( ) , A 128EI , C 128EI9.3 工程中的叠加法弯矩的叠加原理 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值， 等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。叠加法： 先分别计算出每一个载荷单独作用下产生的位移，然后再将这 些位移

9、代数相加的方法 。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变 形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。9.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形例题 9-2 简支梁同时承受均布载荷 q 、集中力 ql 和集中力偶 ql2 ，如图 所示。梁的弯曲刚度为 EI 。试用叠加法求梁中点的挠度和右端支座处的 转角。解：1. 将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。11 / 282. 应用挠度表确定三种情形下，梁中点的挠度和右端支座B 处的转角 查表得 (转角 的正负号：从梁轴线转向挠曲线的切线，顺时针转动为正，逆时针转动为负。 )

10、wC15ql384EI( ),wC2ql48EIB1wC3ql16EIqlqlql24EIB216EIB33EIwCwC1wC2wC34 4 45ql4ql 4ql 4384EI 48EI 16EI11ql4384EI()B1B2B3ql3ql3ql324EI 16EI 3EI12 / 2811ql48EI9.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形例 2】、图示悬臂梁，求 C 截面的挠度和转角wB4qlql8EI6EIql6EIatan例题wBwa9-3 图示悬臂梁，qlqlql8EI6EIla2EI (4 3) ( )曲刚度为 EI梁承受间断性分布载荷，如图所示。试利用叠加法确定自由端

11、的挠度和转角 解：1. 将梁上的载荷变为有表可查的情形2. 将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形13 / 284ql(1查表得3qlC1wB2qlwC2C28EI6EI128EIwB2B2B2ql128EIql48EIql48EI7ql384EIB2ql48EI3. 将简单载荷作用的结果叠加wCwC1 wC2ql7ql41qlC1C2例 3 】图示外伸梁8EIql6EI384EI384EIql7ql348EI48EIC截面的挠度和转角14 / 28解：wC1qa8EIC1Mlqa6EIqa2l6EIB3EI6EIBqa2lC2wC2 atanqa3l6EIwCwC1wC2C1C29.4简单静不

12、定问题9.4.1qaqa3lqa8EI6EI24EIqaqalqa6EI6EI6EI求解静不定问题的基本方法、超静定梁的基本概念(4l 3a) ( )(a2 l 2)超静定梁： 梁的未知约束反力的数目多于所能列出的独立的平衡方程的数15 / 28这类梁称为超静定目，以致单凭静力平衡方程不能求出全部的未知约束力，例如：未知约束力个数 - 独立平衡方程个数 =超静定次数=多余未知力个数二次超静定可提高梁相同载荷作用下，超静定梁比静定梁的变形小，受力更均匀， 的刚度。、用变形比较法解超静定问题设有一图示超静定梁。该梁为一次超静定，将支座 B 视为多余约束，去掉多余约束用 FB 代之, 并视其为已知力

13、。 超静定梁变为在均布载荷 q和集中力 FB 共同作用下的静定梁，该静定梁称为原超静定梁的静定基16 / 28运用叠加法，将右图分解为两种载荷单独作用的悬臂梁。wB wB1 wB2变形协调方程查表得 wB1ql48EIwB2FBl3EI代入变形协调方程ql4FBl8EI 3EI补充方程FB 38qlFy 0， FA FB ql ， FAql 38ql58qlMA0, FBl q2l2A0MA1ql2817 / 28超静定问题的解题步骤：1 确定超静定次数；2. 解除多余约束，以约束反力代之，使超静定梁变成静定梁；3. 根据多余约束处的位移情况，建立补充方程并解之求得多余约束反 力；4. 利用平

14、衡方程求得其余支座反力；5. 画出剪力图和弯矩图。MA与超静定梁对应的静定基不是唯一的，例如选左端限制转动的约束视为多余约束， 去掉，以多余约束反力 M A 代之与原梁 A 端比较，应有 AA1 A2 0 变形协调方程18 / 28查表得A1qlMAl24EI3EI9.4.2Fyql24EI补充方程AFBlql几种简单的静不定问题示例例题 9-4 图 (a) 所示之三支承梁，A2qlM Al3EI18ql83qlA 处为固定铰链支座，ql85qlB、 C 二处为辊轴支座。梁作用有均布载荷。已知：均布载荷集度 q 15N mm， l 4m，梁圆截面的直径 d 100mm， 100MPa ，试校核

15、 梁的强度是否安全。解： 1. 判断静不定次数梁共受四个未知约束力，但只有三个独立的平衡方程， 4-3=1 ，为一次超静定梁2. 解除多余约束，使超静定梁变成静定梁可选图中 B、C 任一个支座为多余约束，先将 B 支座视为多余约束除19 / 28去，用约束反力 FB 代之并视为已知力，超静定梁变成右图中所示的静定梁。3. 比较解除约束前的静不定梁和解除约束后的静定梁，建立变形协调方程wBwBqwBF变形协调条件4查表得wBq5ql4384EI ( )wBqFBl48EI ( )5ql4FBlFB384EI48EI58ql5. 建立平衡方程FxFx 0FyFC qlMCFAyl FB2l ql2

16、l 020 / 28将 FB 代入平衡方程求得136ql136ql6. 校核梁的强度作弯矩图。由弯矩图知136qlFB85ql FC136ql7.5kN mmax危险截面上的最大正应力max32 Mmax32 7.5 103maxd3W76.4 106 Pa 76.4MPa0.13max 76.4MPa 100MPa静不定梁安全。9.5 梁的刚度设计9.5.1 刚度设计准则21 / 28、刚度准则根据不同的需要，将梁的最大挠度和最大转角限制在一定的范围内即为 刚度准则(刚度条件) 。wmax w max w 许用挠度， 许用转角。均根据零部件或构件的 工艺要求而定。注意：由公式算得的 单位为

17、rad ，若 的单位为 ( ) ，则需换算单位，即max180对于机械制造方面，往往对构件的挠度和转角都需校核，而在建筑工程中，一般只需校核梁的挠度。且校核挠度时，通常是以挠度的许用值与跨长 l 的比值wwl作为校核的标准。即wmaxlwwl梁的刚度准则wwl 挠跨比 l 许用挠跨比 、刚度计算、校核刚度； 、 设计截面尺寸； 、 确定外载荷。对于土木工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件22 / 28例外）9.5.2 刚度设计举例【例 4】一承受均布载荷的简支梁，已知l 6m ， q 4kN m ，w1 l 400 ，梁采用 22a 号工字钢，其弹性模量 E 200GPa ，

18、试 校核梁的刚度。解：查表得工字钢的惯性矩为I 3400cm4 3.4 10 5m4梁跨中最大挠度wmax5ql45 4 103 64384EI384 200 1093.4 10 50.01mw0.01 1w 1l6600 l400满足刚度要求。例题 9-5 图所示之钢制圆轴，左端受力为FP , 其他尺寸如图所示。已知FP 20kN ， a 1m， l 2m， E 206GPa ，轴承 B 处的许用转角 0.5 ，试根据刚度要求确定该轴的直径 d解：1. 查表确定 B 处转角23 / 28FPlaB3PEI2. 根据刚度准则确定轴的直径 根据设计要求 B 。上公式求得 B 处转角的单位是 ra

19、d ，而本题中 的单位是 ( ) ，应统一单位64FPla3E d418064FPla 1803E 2 4 64 20 103 2 1 180 3 206 1092 0.5111 10 3m 111mm例题 9-6 矩形截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。已知 q 10kN m，l 3m， E 196GPa ， 118MPa ，许用最大挠度与梁跨 度比值 wmax l 1 250 ，且已知梁横截面的高度与宽度之比为2，即 h 2b 。试求梁横截面尺寸 b 和 h解：1. 强度设计24 / 28maxmaxbh2maxql23M10 103 3245N m 45kN mb(2b)2max2b3max

20、32b33 45 1032 118 106 83.0 10 m83.0mmh 2b 2 83.0 166mm2. 刚度设计根据刚度设计准则有wmaxlwwlwmaxql48EI3ql43ql 42Ebh3 16Eb43ql3116Eb4 25025 / 284 3 250ql316E4 3 250 10 103 3316 196 10989.6 10 3m 89.6mmh 2b 2 89.6 179mm故 b 89.6mm h 179mm例 5】跨度 l 4m的简支梁，如图所示，均布载荷 q 10kN m，集中力FP 20kN ， 梁 由 两 根 槽 钢 制 成 ， 材 料 的 许 用 应 力1 M6 0P ，a许用挠度 w 10mm ，试槽钢的型号。解：FPlmax84ql 2 2040kN mM