外接球内切球问题答案

1、1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题1.1 球与正方体如圏1所示.正方体朋GQrjVGR设正方体的棱长为I盒3卫巒的中点.O沟球的球-卜常见组合方式有三熬一是球 为正片体的内切球】截面图为正JK EFQH和其内切园丨则 |的=心即 二是与正方体各様相切的璐Sffi图対正方形曲和 其外接團 则|卜氏=#“三是球垢正方体的外接球，戡面圄先 长方形生鸥g和具外接圆，则o二尺二乎乩通过送三种粪型可啾发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找

2、到两个几何体的轴截面，通 过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例1 棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点都在球 0的表面上，E, F分别是棱AA, , DD,的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（)A. 2B . 1 C. 1-2 2解：由题意可知球为正右体的外播球平面如耳截面所得圆面的半径R = 回 二里曲u BA4A-二直红 砺 被球0爺蕩的线段为球的蕨面圆的頁徨2R = 2-2 21.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球但是不一定存在内切球设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的

3、外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正1 Ja2 b- c2方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R -a_b一.2 2例2在长、宽、高分别为2, 2, 4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空10 n8 n7 n间部分的体积为（）A二B.4 nC.DW毎：帝Ll用运动的娈点分析在于球移动的过程中，进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正 方体的内切球，故小球经过空阊由上彳主下看两2半个小球、高汁2的画柱和半片小球，三部分的即积处z xl3 X 丄十 7TK12x2=7T.3231.3 球与正棱柱球2股的正棱柱的组合体常以外接形态居多.下面段正三棱柱

4、次例，介绍本类题目的解法构造直第三肃册法.谟正三棱柱ABC - 45ii的高为菟底面边长为&，如图2所示，D和耳分别为上下底面的中心根据几何饰的特点，球心必落在高DD的中点6L斤QD二一二农月卫二、一氐借助直角三角形乂0D的勾股定理，可2 3求氏二*$ +号）例3正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值,解如图乳截面图淘长方形卫*（巧和其夕隠圆域心芮码的中点0, 则R二CM设正四棱柱的刨棱长为底茴边长対口 .测AC = 42rAEarOS=仝炉二（1.4R2 =2把+护加证四棱桂的侧面积:2 2 2二4必二书- 2心屈莖強（F + 2护）二4

5、翻迁故侧面积有最尢區 次価# 当且仅当“屉时等号威立.2球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种 形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题2.1球与正四面体|a, R2 r2 |CE2二专，解得:R 乎a,r12a.这个解法是通过利用两心合一的思路,正匹面悴作为一个规则的几何体.它既存在外接球*也存在內 切臻，并且两心合一，利用这点可II帧利解淒球的半径与正四而旅的 棱长的关系.如图设正四俞体的棱长为j內切球半径 沖厂，外接球的半径黄氏，取月0的中点背D, E为吕在底而的射 影,连捋C口血

6、用E为止四面库的高在爺面三甬形血作一亍 写边皿和 尢相切,圆心在高阿上的13即为内切球的裁面因再 正四面体本身的对称性可知，外揍球和內切球的琼心同背O.此时, CO=O=R,OE = r .ga,CE =弓务 则 有建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心0为正四面体高的四等分点如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为（）-3 2 6 B. 2+C. 4+空 D. 4 3 263 333聲容器四面IV中的这四个小球，以四个出睡肯球心洵顶点构成了一个棱长次2的“球心正四面体A这个四

7、面那的畐杲“单位正四面tr高（）的2倍. 球心正四面悴“的底而到容器正四 33面体”的地面为小球半径1，而“球心正四面惦顶点到容器正四fifr的顶邑的距禽为3小球半径的J倍），于是杯容器正四面体闌高为迹+了+1,选择C.这个卜球半径的3倍最这样想的：做一个屮 3球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥.解决的基本方法是补球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球法，即把三藪锥床储咸正肓体或者按芳体.常见两种形式: 一是三棱锥榊三茶侧棱互相垂直并且相弄，则可囚补形菊一介

8、正方体，它的 外摟琲的球心就是三棱锥的外摟球的球心-如图5,三4-的外 接球的球右和正方体肿CD-人耳CQ的外接球的球心重合.设加=4 则只=邑二是如果三棱链的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可2沟一个岳方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外捲球的球”二2庆/ M 代 丄 卩为长方体的体对甫线扶）.44例5 在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱 SC、BC的中点，且 AM MN,若侧棱SA 2.3 ,三棱锥f -肋（7外捲球的表面积是解：如图6?正三棱锻对梗相互垂直即丄站，又SBfj MNr：. MM丄卫匚又泗丄也f二證M丄平面40 于是 浙丄平面閔C-朋丄肪 丄SC”从而 M丄SU. 此对1

9、E三棱的三条测棱互相垂直并且相慕 抜将 正三棱锥补形为正方俶.球的半径2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球棱锥面的距离,故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积例6在三棱锥P- ABC中,PA= PB=PC= 3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为（B.-C. 43生0 =酹丹=屯.叙 A0=3S又山创 为需甫三甫舷，二AHAQ2OH+r 1,/. r=-/Tx23=r24球与特殊的槎律球写一

10、些特殊的擾锥进行组合，一定曼抓住祓锥的几何性质，可彖合利用話面法、补形法等世行求解.例如，四个面都是直毎三角形的三棱锥,可利用直用三甬形斜诅申点几何特征，巧定球心位直如图&三械锥丄面AB匚AB取的中点为O,由直珀三甫殛的性质可得.OA = OS = OB = OC所UAO点为三棱链S-ABC的外SC接球的球心，则R SC2例7矩形ABCD中，AB 4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ,则四面体ABCD的外接球的体积是（）A.竺b.空c.空D.129612534D.3解如图T所示，过P点作底垂线，垂泉掬O.设用为外揍球的球心，连AH,AOr因解*由题意分析可知，四面悴

11、的外捋球的球心落在占C的中点，mS_OA = OD = 08 = OGr3 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需 掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化 平面问题求解例7在半径为宣的球内敢入大4湘諄的4个小璐 则于球年径的聂大值次(A. / 1E 一 1_诵Y点匚+丘D, 4-J?-43幕要使得小球的半径最穴，需棲得4个小球的球心次一个正四面体的四个顶竄 如图？所示，此时正四面体A-BCD的外播球的球心再e 即泞F径为證的球的球心则M = 几又因0対的四分自故 AOy=R-r)r在R

12、LABOr中,抠+加严彳见.肚-刁审=(汀-(|屈冗:r=(-2)Rr4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位半：r.2a .4置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一图10例8把一个皮球放入如图 10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四梭惟形骨架内使皮球的表面与S根铁丝都有撇也為则皮球的半径为( )A. 10n/3 cmB. 10 cm嶄:如图11所示由题直球心在ap上.球心禹。过o柞册聞垂线皿垂尺为N, 0沪略OM=H因为各个棱都为0,所以AJT10, BP=203B110)

13、AB=wV2 ,设灯R4二乩在总山吕PM中，R尸二畛+血，所以10柘.在左沁P胡 中= AM2,所UApm迈在睑般中.3=箸普乎，在皿 中，黑“ R:F 孚所以.在中，OM2 =所以 = (102-)a+100,解鬲 尺=10或30（舍），所从 氏=1比鶴故选B.综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问

14、题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A. 3-3B C D 答案 B4 34122.直三棱柱 ABC ABQ,的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA, 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 。解：在 ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可得BC 2、3 ,由正弦定理，可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为O，在RT OBO中，易得球半径R 、5，故此球的表为 4 R2 20 .3正三棱柱

15、 ABC ABG内接于半径为 2的球，若 A,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为答案 84. 表面积为2.3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A.D 丁答案A133【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由 8芋23知,A。，那么正方体的棱长等于（a 1，则此球的直径为 2，故选325. 已知正方体外接球的体积是一3A.22B.C.4 23D.6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为:9答案 C7. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.9的体积为-，底面周长为3,则这个球的体积为83已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,4.答案且该六棱柱1, 2, 3,则此球的表面8. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为积为.答案 14 n9. （一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为cm 2.答案 2 4、210.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 _P答案 6.711.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 答案