微分几何第四版习题答案梅向明,

1、1 曲面的概念1. 求正螺面 r =u cos v ,u sin v ,bv 的坐标曲线 .解 u-曲线为 r =u cos v0 ,u sin v0,bv 0 = 0,0 ， bv 0 u cosv0 , sin v0,0 ，为 曲线的直母线； v- 曲线为 r =u0 cosv, u0 sin v ,bv 为圆柱螺线证明双曲抛物面 r a（u+v）,b （u-v ） ,2uv 的坐标曲线就是它的直 母线。证 u-曲线为 r =a（u+v0）,b （u- v0 ）,2u v0 =a v0,b v0 ,0+ua,b,2 v0 表示 过点a v0,b v0,0 以a,b,2 v0 为方向向量的直

2、线 ;v- 曲线为 r =a（ u0 +v）,b （ u 0 -v ）,2 u0 v=au0,b u 0 ,0 +va,-b,2 u 0 表示过点 （a u0,b u 0 ,0） 以a,-b,2 u0 为方向向量的直线。3求球面 r =acos sin ,acos sin ,asin 上任意点的切平面和法线方程。解 r = asin cos , asin sin ,acos ， r = acos sin ,acos cos ,0x acos cos y acos sinasin cosasin sinacos sinacos cos任意点的切平面方程为z asin acos 0 0即 xcos

3、 cos +ycos sin +zsin -a=0 ；x acos cosy acos sinz asincos cos法线方程为 x acos cosy caoscossinsinz sainsin224求椭圆柱面 x2 y2 1 在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此 ab曲面只有一个切平面。22解 椭 圆 柱 面 x2 y2 1 的 参 数 方 程 为 abx=cos ,y=asin ,z=t, r asin ,bcos ,0 , rt 0,0,1 。所以切平面方程为：x acos y bsin z tasin bcos 0 0 ，即 xbcos +yasin ab=00 0

4、 1此方程与 t 无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 的每一数值 对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。5证明曲面 r u,v,3a 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 uv数。33x y uv3 z 3 。 u v a3证 ru 1,0, a2 ，rv 0,1, a 2 。切平面方程为：u2vuv 2与三坐标轴的交点分别为 (3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)。uv于是，四面体的体积为：V 613|u|3|v|3uav| 92a 是常数。曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面 r a(u+v),b (u-v ),2uv 的第一基

5、本形式 . 解 ru a, b,2v, rv a, b,2u, E ru2 a2 b2 4v2,2 2 2 2 2 2F ru rv a2 b2 4uv,G rv2 a2 b2 4u2,I= (a2 b2 4v2 )du2 2(a2 b2 4uv) dudv (a2 b2 4u2)dv2 。求正螺面 r =u cos v ,u sin v ,bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂 直。2解rucosv,sinv,0,rv u sin v,u cosv, b ， Eru21， Frurv0，G rv2 u2 b2 ， I= du2 (u 2 b2 )dv 2 ，坐标曲线互相垂直。在第一基本形

6、式为 I= du2 sinh2 udv 2的曲面上，求方程为 u=v 的曲线的 弧长。解由条件ds2 du2 sinh2udv2, 沿曲线 u=v 有 du=dv，将其 代入 ds2 得 ds2 du2 sinh 2 udv2=cosh2 vdv2 ，ds=coshvdv,在曲线 u=v上，从v1到v2的弧长为 v2| cosh vdv | | sinh v2 sinh v1 |。4 设曲面的第一基本形式为 I= du2 (u2 a2)dv2 ，求它上面两条曲线 u+v=0,u v=0 的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量， 而求等距不变量 只须知道曲面的第一基本形式，

7、不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E 1，Fv 0，G u2 a2 ， 曲线 u+v=0 与 uv=0 的交点为 u=0,v=0, 交点处的第一类基本量为 E 1， Fv 0 ， G a2。曲线 u+v=0的方向为 du=-dv,u v=0 的方向为u=v,设两曲线的夹角为，则有Edu u Gdv u 1 a2cos = 2 。Edu2 Gdv2 E u2 G v2 1 a25求曲面 z=axy 上坐标曲线 x=x 0 ,y= y0的交角 .解 曲 面的 向 量表示为 r =x,y,axy, 坐标曲 线 x=x 0 的 向量 表 示为 r =x 0 ,y,ax 0

8、 y ，其切向量 ry =0 ，1， ax 0 ；坐标曲线 y=y0 的向量表示为 r =x, y0,ax y0 ，其切向量 rx=1，0，ay0，设两曲线 x=x0与 y=y0的夹角为 ，则有cos = rx r y|rx |ry |2a x0 y06. 求 u- 曲线和 v-曲线的正交轨线的方程 .解对于 u-曲线 dv=0,设其正交轨线的方向为 u: v, 则有Eduu+F(duv+dvu)+Gdvv=0,将dv=0代入并消去 du得 u-曲线的正交轨线的 微分方程为 Eu+Fv=0.同理可得 v- 曲线的正交轨线的微分方程为 Fu+Gv=0.7. 在曲面上一点 , 含 du,dv 的二

9、次方程 Pdu 2+2Qdudv+Rdv2，确定两个切方向( du： dv)和( u：v)，证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ+GP=0.证明 因为 du,dv 不同时为零，假定 dv 0 ，则所给二次方程可写成为du 2duduudu u R duu2QP( )2+2Q +R=0,设其二根 , , 则 = ， + = 又根据二 dvdvdvvdv v P dvvP方向垂直的条件知 Edu u +F( du + u )+G=0dv v dv v将代入则得 ER-2FQ+GP=0.8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2 =Gdv2.证 用分别用 、 、d 表示沿 u曲

10、线，v曲线及其二等分角线的微分符号， 即沿 u曲线 u ，v，沿 v曲线 u， v 沿二等分角轨 线方向为 du:dv, 根据题设条件 , 又交角公式得(Edu v Fdv u)2 (Fdu v Gdv v)2(Edu Fdv) 2 (Fdu Gdv) 22 2 2 2 ，即 。E u2ds2G v2ds 2E G展开并化简得 E(EG-F 2 ) du 2 =G(EG-F 2) dv2,而 EG-F 2 0，消去 EG-F 2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为 Edu2 =Gdv 2 .9设曲面的第一基本形式为 I= du 2 (u2 a2)dv2 ， 求 曲 面 上 三 条 曲 线 u=

11、a v,v=1 相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形 (如图)所示。曲线 围城的三角形的面积是01a1S= u2 a2 du dv u2 a2du dv au0uaaa1a=2 u2 a2du dv=2 (1 u) u2 a2 du 0u0aa=23a3(u2 a2 )2 u u2a2a2 ln(u u2 a2 )|a0=a22 2 ln(1 2) 。310求球面 r =acos sin ,acos sin ,asin 的面积。解r = asin cos , asin sin ,acos ，r = acos sin ,acos cos ,0E=r 2=a2,F=r r =0,G= r

12、 2 = a 2 cos 2 . 球面的面积为：2S= 2 da4 cos2 d 2 a2 2 cos d 2 a2sin |2 4 a2 .2 0 2 211. 证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v 和旋转曲面 r =tcos ,tsin , t 2 1(t1,0 2 ) 之间可建立等距映射 =arctgu+v,t= u2 1.分析 根据 等 距对 应的 充 分条 件, 要 证 以上 两曲 面 可建 立 等距 映射 =arctgu+v,t= u2 1, 可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在 对应点有相同的参数 , 然后证明在新的参数下 , 两曲面具有相同的第一基本形式

13、 .证明螺面的第一基本形式为 I=2 du 2 +2dudv+( u 2 +1) dv 2 , 旋转曲面的第一基本 t2形式为 I= (1 2t )dt2 t2d , 在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu+v,t= u2 1, t 2 1则其第一基本形式为2u 2 1 2=( 21)du 2u21 u1 2 du2 2dudv (u2 1)dv2 =2 du2 +2dudv+( u 2 +1) dv 2 =I.所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 =arctgu+v,t=u2 1.3 曲面的第二基本形式1. 计算悬链面 r =coshucosv,coshusinv,u 的第一基本形式 ,

14、第二基本形式 .解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv =-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshusinv,0,ruv =-sinhusinv,sinhucosv,0,2 2 2 2r vv =-coshucosv,-coshusinv,0,E ru =cosh u, F ru rv =0, G rv =cosh u.所以 I=cosh 2 u du 2 +cosh 2 udv2.1n= = 2 cosh u cos v, cosh u sin v, sinh u sin v ,EG F 2 cosh2 uru rvcoshu

15、1,M=0,N= coshu =1. sinh2 1L=sinh2 1所以 II=- du 2+dv2 。2. 计算抛物面在原点的 2x3 5x12 4x1x2 2 x22第一基本形式 , 第二基本形式 .解曲面的向量表示为 r x1,x2,25x12 2x1x2 x22 ,rx1 1,0,5x1 2x2(0,0) 1,0,0 , rx2 0,1,2x1 2x2(0,0) 0,1,0 , rx1x1 0,0,5 ,rx1x2 0,0,2 , rx x 0,0,2 ,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,x1 x2x2 x2I= dx12 dx22 ,II= 5dx12 4dx1dx2

16、 2dx22 .3. 证明对于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv,- u,v 处处有 EN-2FM+GL=。0解 ru cos v,sin v,0, rv usin v, u cos v ,b ， ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0, rvv =-ucosv,-usinv,0, E ru2 1 ， F ru rv 0 ， G rv2 u2 b2 ，L=0,M=b ,N=0. 所以有 EN-2FM+GL=0.u2 b214. 求出抛物面 z 1(ax2 by2) 在(0,0) 点沿方向 (dx:dy) 的法曲率 .解rx 1,0,ax (0,0) 1,

17、0,0 , ry 0,1, by (0,0) 0,1,0 , rxx 0,0, a , rxy 0,0,0ryy0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b, 沿方向 dx:dy 的法曲率 kn22adx bdydx2 dy 25. 已知平面 到单位球面 (S) 的中心距离为 d(0d1), 求 与(S) 交线的曲率与法曲 率.解设平面 与(S) 的交线为 (C), 则(C) 的半径为 1 d 2 ,即(C) 的曲率为k 1 , 又(C) 的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于1 d2 , 所以1 d 2(C) 的法曲率为 kn k 1 d2 = 1.6. 利用法曲率公式 k

18、n II , 证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、 第二类基本 nI量成比例。证明因为在球面上任一点处， 沿任意方向的法截线为球面的大圆， 其曲率为球 面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标 (u,v) ，沿任意方向 du:dv22N ( 1) ，即第FGR、第k II Ldu 2 2Mdudv Ndv 2 1 或- 1 ，所以 L M N IEdu 2 2Fdudv Gdv 2 R R E类基本量成比例。7求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线 证明对于正螺面 r =u cosv ,u sin v ,bv ，ru cos v,sin v,0, rv usin v,u

19、 cos v, b ， ruu=0,0,0 ， r vv=-ucosv,-usinv,0L=(ru,rv,ruu) =0,N= (ru,rv,rvv) =0.所以 u族曲线和 v 族曲线都是渐近线。而 u族曲 EG F 2 EG F 2线是直线， v 族曲线是螺旋线。8.求曲面 z xy 2的渐近线 .解曲面的向量表示为 r x,y,xy2, rx 1,0, y2, ry 0,1,2xy, rxx 0,0,0 , rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E rx2 1 4y4 ,F rx ry 2xy2,G ry2 1 4x2y2 .L 0,M 2y ,N 2x1 4x2 y2 y41

20、 4x2 y2 y4渐近线的微分方程为 Ldx2 2Mdxdy Ndy2, 即4 ydxdy 2xdy2 0,一族为 dy=0,即y c1, c1为常数.另一族为 2ydx=-xdy, 即lnx2y c2,或x2y c, c为常数 .9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线 .证在每一条曲线 (C)的主法线曲面上 ,沿(C)的切平面是由 (C)的切向量与 (C)的 主法向量所确定的平面 , 与曲线(C)的密切平面重合 , 所以每一条曲线 (C)在它的主法 线曲面上是渐近线 .方法二：任取曲线 :r r (s) ，它的主法线曲面为 S: (s,t) r (s) t (s)，s (s) t

21、(s) t( ) (1 t ) t ， t ， s t t(1 t )在曲线 上，t=0, s t ,曲面的单位法向量 n s t ，即 n ，所 EG F 2以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线 .10. 证明在曲面 z=f(x)+g(y) 上曲线族 x=常数,y= 常数构成共轭网 . 证曲面的向量表示为 r =x,y,f(x)+g(y),x=常数 ,y= 常数是两族坐标曲线。rx 1,0,f , ry0,1,g. rxx 0,0, f , rxy 0,0,0, ryy 0,0, g,rx ry因为 M rxyx y0 ,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数,y= 常数构EG F 2成共

22、轭网11. 确定螺旋面 r =u cosv ,u sin v ,bv 上的曲率线 .解ru cos v,sin v,0, rv usin v, u cos v, b，ruu=0,0,0 ，rvv =-ucosv,-usinv,0ruv =-sinv,cosv,0,Eru2 1 ，F ru rv 0 ，G rv2 ub2，L=0,M= u2 bb2 ,N=0, 曲率线的微分方程为 :dv21dudv0bu 2 b2du2u2 b2010, 即dv22ubdu, 积分得两族曲率线方程 :v ln(u u2 b2 ) c1和v ln( u2 b2 u) c2.12. 求双曲面 z=axy 上的曲率线

23、 .y2,F a2x222 y2,G 1 a2x2,L 0,M1 a2x2 a2y2 ,N=0.dy21 a2x2dxdy222axya1 a x2 a2 y2dx21 a2 x2=0 得(1 a2y2)dx2 (1 a2x2)dy2, 积分得两族曲率线为 ln(ax 1 a2x2 )ln(ay 1 a2y2 ) c.13. 求曲面 r a(u v),b (u v),22上的曲率线的方程 .2a2 b2 uva2,F ,Gb2 u2,L 0,4abM= EG 2F 2 ,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是(a2 b2 u2 )dv2 (a2 b2 v2)du2,积分得 : ln(

24、u a2 b2 u2 ) ln(v a2 b2 v2 ) c.14. 给出曲面上一曲率线 L, 设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角 , 求证 L 是一平面曲线 .证法一：因 L是曲率线 ,所以沿 L有dnndr ,又沿 L有 ?n =常数,求微商得 n n 0,而n/ dn/ dr与 正交 , 所以 n 0, 即- n =0,则有 =0,或 n=0.若 =0, 则 L 是平面曲线；若 n=0， L 又是曲面的渐近线，则沿 L， n =0， 这时 dn=0 ， n为常向量，而当 L 是渐近线时， = n，所以 为常向量， L是一 平面曲线 .证法二：若n ，则因 n dr ，所以

25、n ，所以 dn ，由伏雷内公式知 dn()而 L是曲率线，所以沿 L有 dn ，所以有 =0,从而曲线为平面曲线；若 不垂直于 n，则有 ?n=常数, 求微商得 n n 0,因为 L是曲率线，所 以沿 L 有 dn dr，所以 n 0 ，所以 n 0 ，即- n =0，若 =0，则问题得证；否则 n=0，则因 n0，有n ，dnd (-) ，矛盾。15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角， 即曲线的副法向量和曲面的法向量成 定角，由上题结论知正确。16求正螺面的主曲率。解设正螺面的向量表示为 r =ucosv,u sin v ,bv

26、.解ru cos v,sin v,0, rv usin v,ucosv,b ， ruu=0,0,0 ，rvv =-ucosv,-usinv,0， ruv =-sinv,cosv,0,E ru 1 ， F ru rv 0 ，G rv2 u2 b2 ，L=0,M=b ,N=0, 代入主曲率公式v u2 b22所以主曲率为EG-F 2 ) N2 - ( LG-2FM+E)N N+LN-M2=0得 N2 = 2 a 2 2 。 (u2 a2 )2u2 a 21 2 a 2122 ua17确定抛物面 z=a( x2 y2) 在( 0， 0)点的主曲率 .解曲面方程即 ryy 0,0, 2a，r x,y,

27、a(x2 y2) ，rx 1,0, 2ax ry 0,1, 2ay ， rxx 0,0, 2a ， rxy 0,0,0, ryy 0,0, 2a 。在( 0，0)点 ,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.所以 N2 -4a N +4a2 =0，两主曲率分别为 1=2a, 2 =2a.18. 证明在曲面上的给定点处 , 沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数 .证曲面上的给定点处两主曲率分别为 1、 2 ，任给一方向 及与其正交的方向+ 2 ，则这两方向的法曲率分别为 n ( ) 1 cos22 sin2 ，n(2)1cos2( 2) 2sin2(2)1sin2 2 cos2，即n

28、( )n ( 2)1 2 为常数。19. 证明若曲面两族渐近线交于定角 , 则主曲率之比为常数 .证由 n 1cos22 sin2 得tg2 1 , 即渐进方向为1 arctg 1 , 2 =- arctg 1 . 又- 2+ 1=2 1为常数, 所以为 1为常数, 即 1 2 2 2 为常数 .20. 求证正螺面的平均曲率为零 .证由第 3 题或第 16 题可知 .21. 求双曲面 z=axy 在点 x=y=0 的平均曲率和高斯曲率 .证在点 x=y=0,E=1,F=0,G=1,L=0,M=a,N=0,H= LG 2FM 2 NE 0,2(EG F 2)2K=- a2LN M 2EG F 2

29、22. 证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证法一：由 H= 1 2 =0 有 1= 2=0 或 1=- 20.2 1 212若 1= 2 =0,则沿任意方向 , n( ) 1cos22 sin2 =0,即对于任意的22II Ldu 2Mdudv Ndvdu:dv, kn2 2 0, 所以有 L=M=N=0对, 应的点为平点 .I Edu2 2Fdudv Gdv 2若 1=- 2 0, 则 K= 1 20,即 LN-M2 0,G0,所以 LN0。若LN M 2=0，则 L=M=N=，0曲面上的点是平 点，若 LN M 2a0, b+acos 0, 所以 LN-M 2 的符号与 cos 的符 号一致,当 0 2和3 0,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外 侧的点为椭圆点；当 - 2 3 ，曲面上的点为双曲点 ,即圆环面内侧的点为双曲 点；当 = 2 或 3 时， LN- M 2 =0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛 物点。25若曲面的第一基本形式表示