江苏省历高等数学竞赛试题免费版

1、2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） sinx?sin(sinx)?lim 1. sinx0x? 2)x?1?ln(x/2.， ?y?y21?x 2(n) ，3.xcosy?y)(x 1?xx?edx? 4. 2x 1?dx? 5. 42x?1 2x?2y?z?2?0?6.圆的面积为 ?222x?y?z?4x?2y?2z?19? ?x/ ，则，可微， 7.)y,f(2x?z?dz3(3,2)?(3,2)?2,fff(2,1)y)?(x,21 y n?!n(?1)1?. 级数 的和为8. n!n2 1?n二.（10分） bb?b?a,b,a，使得上连续，

2、且设在，求证：存在点)f(xdx)dx?xxf(b(fx)aa?. 0dx?f(x)aDCABCD?ABCD的边长为2的中点，为侧面三（10分）已知正方体为，FE111111BCCBA,E,F的平面与底面的中点，（1）试求过点正方形所成二面角的值。ABCD111A,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积. （2）试求过点1四（12分）已知是等腰梯形，,求的长，ABCDAD,ABCDBC?8,BCABBC/AD,?AD旋转一周所得旋转体的体积最大。 使得梯形绕?2222?dxdyycosx?sin 分）求二重积分，其中12五（00,x1xD:?y?,?y?D1 / 10 2?1?0?xx?x?d

3、ye?dx?xy1x?2y?从（12分）求，其中为曲线六、?222?x?x?y?2x1?1O10,0,A?. 到? 分）已知数列单调增加，七.（12aaa?5,a?3?a1,a?2,a1nn2n?113?n?1? . 记，判别级数的敛散性,?n2,3,?xx nna1n?n 2008年江苏省普通高等学校非理科专业 分，共40分）一、填空题（每小题5xax?2?.?limarctanx 2xbx?_?a?_,b?x 1）时，n1?_.lim? 3)k?k(?n 2）1k?_.(100)?100),f?(x?1)(x?2)xf(x)?x 则）设3x2?ax?xf(x) _?_,ba?x0?xbx?

4、1的无穷小的阶数最时，时关于）4在. 高?32 ?_.xdx?cossin?x2 5）02x?_.?dx 22)x(1?1 6）nz?x,?z?_. (2,1)ny?xy? ）设则7?arctanydxdy?_.1x?0,y?y?x,D 8）设为所围区域，则D? xx)n?1,2?1,x6?x(x收二、（，求证：数列设数列为：8分） nnn1?n1 敛，并求其极限 b?f(x)dx(a?0),?0,?ba,(x)f?(a,b),使在上连续分）三、（8 设函数求证：存在a?).?(ff(x)dx 得a222(x?b)?y?a(0?a?b)xyx?3b旋转一周四、（8绕直线分） 将平面上的曲线得到

5、旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积. 2 / 10 2?yx?y)?(0,0);,(x? 24?)(x,yfy?x?(0,0).)?(x,y0,f(x,y)(0,0)?处在设 分） 讨论五、（8的连续性、可偏导性、可微性. 222x?y?z?014x?4y?z?xy平面上六、（10分） 的交线在 与平面 已知曲面 的投影为一椭圆，求此椭圆面积. 1tt2?.)sin(ydylimdx 4t?x00t? 求（七、8分） 22?1dxdy?yx, 22D:x?y?2x,0?y?x. 这里 求八、（10分） D2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级） 一.填空（每题5分，共40分） 13?

6、xaf?x?1flimfn2lnf? ， 1. ? 4n?n ?1 x2?tx?1limdte? 2. 5x0 0?xarctanx1?dx? 3. ?20 2x1?,B(0,?2,0),CA(0,0,2)?4,0,0,为坐标原点，则四面体已知点的内接球面4.OABCO方程为 zy?dz ，则确定 设由5. ze?x)yz?z(x,?,0e ?2?xyb?axfx,y?e中常数满足条件 6.函数 时，b,a ?,0?f1为其极大值. ?a?,00,0? 7.设上从点是 到 时，曲线的一段曲线，0)?(asiny?ax ?2y2?dy2exxy?y?dx?. 积分取最大值? ?n?1?n1?n?

7、条件收敛时，常数的取值范围是 级数8. 1?p pn 1n?二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅3 / 10 通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率3 小时的最小值不大于公里/200?所对（10分）曲线的极坐标方程为，求该曲线在三.?cos?01? 42?x轴围成图形的面积. 的直角坐标方程，并求切线与应的点的切线LL? ?,，在四（8分）设 上是导数连续的有界函数，1x?ffx)xf(? 求证：?xf?,?x?1. 222被平面截下12分）本科一级考生做：设锥面五（04?3z?x0)?z3?x(?3yz的有限部分为

8、.（1）求曲面的面积；（2）用薄铁片制作的模型，? 为上的两点，为原点，将沿线段剪开并展成平面?OBO3)?1,0,A(2,0,23),B(图形，以方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出的边界的极坐标方程. OADD222截下的有限部分为本科二级考生做：设圆柱面被柱面2?2z?xx0)?x1(?yz?,0,01?1,0,1),CBA(1,0,5),(?为的面积，为计算曲面用薄铁片制作的模型，.?上的三点，将沿线段剪开并展成平面图形，建立平面在极坐标系，使位BC?DD?x0,5，写出坐标为的边界的方程，并求的面积于. 轴正上方，点DAD2?2zx六（10分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体

9、区域z2?1,zz?y?0?记为， ?1? 本科一级考生做dxdydz 222x?y?z?222? 本科二级考生做dxdydzzx?y?n2,1?1，求证幂级数）设幂级数的收敛域为10七（分）本科一级考生做1xan1n?a?nn,1?1；的收敛域也为的逆命题是否正确，1）2试问命题）若正确给出证明；x n1?n若不正确举一反例说明. 4 / 10 ?nn2? 的收敛域与和函数本科二级考生做：求幂级数1x? n21n? 2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级） 40分）一.填空（每题5分，共?时，的奇函数，且在 是周期为处有定义，当1.xf0x?0,?x? 2?. ，求当 时， 的表达式 x

10、f?2sinx?fcosxx?,?x? 2? 2xtan?limxsin 2. ? ?x 2nnn?3. ?lim? 22224?n1nnn? ?n? n22,nfx?xxln?1 4. 时?f0 ?xx1e? 5. ?dx ?2 xe?x?n?. 6. ? ?n2?1n 1?n?4?f?1,23,?2,ff1,21,2xxfx,2?ff,x,yx ，可微，设7.，yx?1. 则 1x?x0? 为8. 设，则，?gxx?fD?y?x?,?0其他? . ?dxdyx?yfyf D?ba,baffx,x，在在二（10分）设内可导，上连续，,)?af(a1b?22?afbxdx?1?f?a,bf?

11、内至少存在一点使得,求证： 2a22到设的边界在,上任取点10三（.分）设，4?xyx:Dy?4,?,2xy?PDPxy?5 / 10 22于 ，作垂直于，交的边界原点距离为tDQPQ4?yxxy?t的函数；表示为 1）试将的距离PQQ,P 2）求饶旋转一周的旋转体的体积 Dx?y四（10分）已知点,在平面上求一点，使M12+zQ(3,1,2)=x-2yP(1,0,-1),最小 MQ+PM?1?nx的收敛域。 五（10分）求幂级数? n?n2?n3?1?n?321,?f2,1,2f?2,f21,yx,f， 10六（分）设可微，yx?1x?fxf,2x,2x,2fx. ，求?2?2?2?d1e?

12、d 10分）求二次积分七（?0 22002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级） 一.填空（每题5分，共40分） xxee?c? ， 1. ，则 0cc?lim?k kx 0?x?xf1,上可导，下列结论成立的是 在 2. 设 ?0limf?x?x1,f上有界在A. 若，则 x?0?xlimf?x1,f上无界 ，则B. 若在x?1xlimf?xf1,上无界C. 若 在，则x?y?xy?x0y?x?1e ，则确定 3. 设由 )x(y?y ?dxx?x?arccosarcsin 4. 22?yx?z?,1,21的切线的参数方程为 ，在点5. 曲线 ?22x?y?2y ?y?x，有二阶连续导数，有二

13、阶连续偏导数，设6. fy?fz?eg,sing? x?6 / 10 2z? 则 ? y?x? x13?. 7. 交换二次积分的次序 ?x,fydydx2x0 ?11?n 的收敛域 8. 幂级数x1? n2? 1?n? 8分）设，上连续，单调减少，在二.（?xf0,ba?0?ab? 求证dxf(x)adxf(x)?b00bb?x?bafa,fbx,x0dx)ef(x)dx?f(x在三.，求证在8分）设上连续，: （aa. 内至少存在两个零点z1yx?轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与绕8分）求直线四.（y 11?2. 所包围的立体的体积2?0,y?yn?1?为常数，试判断级数9分）设的敛散

14、性，何时绝对收敛？何时条五.（k 2?knlnn2?n 件收敛？何时发散？1?0,0yarctan?x,y? ?22yx?0,0xf,y?yf,x处连在点六.（9分）设讨论?0,00,y?x?. 续性，可偏导性？可微性?222tz?z0,?:x?fyuf02? 七.（9分）设可导，在，0u?1?222? 求dxdydz?y?limzfx 5t?0t?FAB作一质点设曲线八（.9分），的极坐标方程为在力P?1?cos? 22?3,40,1A?0,1BMFAB的距离，到定点用下沿曲线从力，的大小等于运动到P FMP. 做得功轴正向的夹角为锐角，求力其方向垂直于线段，且与对质点Py 7 / 10 2

15、000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级） 一.填空（每题3分，共15分） ?x?f?xx . 1.设 ，则 ?ffx? x?xx?lim2. lnx?x?11x? d1?2?xf?fx 3. 已知 ，则 ? dxx 14x?dx? 4. ?45 1x?yz?y,xz?z由方程5.设确定（为任意可微函数）， F0?F,? xx?z?z?yx? 则 ?x?y 二选择题（每题3分，共15分） 1 12?x?y，点是（ 1. 对于函数 ） 0x? 1 12?xA. 连续点； B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D可去间断点 2?x?x0)?0(xfxxy?f?，对一切若满足xf2.1x?e已知函

16、数x，x?3f?00则（ ） ?x,fyfxxf?xfx的拐点；是B. 是曲线A. 的极大值； 000?xffx的极小值；是C. 0?x,f?xffxfxyx的拐点也不是曲线不是的极值，D 000 2?3xx（ 3. ） lim 323?xxx?28 / 10 不存在，但也不是等于0；C. 等于；DA. 等于1； B. ?1?ff? 4.都存在，则若在y,yfxx,?00y,xy,xyx?0000 B. 极限存在且连续； A. 极限存在，但不一定连续； D 极限不一定存在，也不一定连续C. 沿任意方向的方向导数存在； ?1sinn? 设为常数，则级数5.? 2nn?1n? B. 条件收敛； A

17、. 绝对收敛 ? D 收敛性与取值有关 C. 发散； 111? 三（6分）求?lim? n2?nn?1n?n 0?t)?t(1?x2?yd确定，求由参数方程分）已知函数 四（6)?yx(y?0t?2ydx01?te?y?xb,b,faxa,g,xba均有内可导且对于在一切上连续，在五（6分）设?xx?fxbggaxf,?xg0xf至少存在，证明若内有两个零点，则在一个介于这两个零点之间的零点。 1?x?0? ?x?12?fxdx1fx? 。，求六（6分）设?10?0?x ?xe?1?z?zuuuv?z ，七（6分）已知，求,vsiny?ex?e,cosv ?x?y?22aa,a为何值时所作的切线与抛物线上一点作切线，问八（8分）过抛物线x?y2所围成的