2020武汉中考专辑考点11 三角形考点总动员(解析版)

1、考点 11 三角形考点总动员考点 11 三角形考点总动员 .1【考纲要求】 .2 一、聚焦考点 .2 知识点 1 三角形基本概念 .2知识点 2 三角形基本性质 .3知识点 3 全等三角形的概念 .3知识点 4 全等三角形的性质及判定.3知识点 5 等腰三角形、直角三角形的概念.3 知识点 6 等腰三角形、直角三角形的性质及判定.4知识点 7 三角形中位线定理 .4知识点 8 勾股定理 .4二、名师点睛 .5 题型 1 简单证全等 .5题型 2 等腰三角形分类讨论 .71、 腰和底的讨论 .7 2、 顶角和底角的讨论 .83、 锐角三角形、钝角三角形的讨论.8 4、 等腰三角形个数的讨论 .1

2、0题型 3 特殊角度三角形 .13 题型 4 等腰三角形、等边三角形性质考察.20 题型 5 勾股定理的运用 .25 题型 6 中位线定理（补充） .28 三、能力提升 .30 1【考纲要求】要求 1.三角形的概念理解要求 2.三角形的有关性质掌握要求 3.全等三角形、等腰三角形、直角三角形的概念理解 要求 4.三角形全等的性质及判定掌握要求 5.等腰三角形和直角三角形的性质及判定掌握 要求 6.勾股定理及其逆定理-灵活运用要求 7.三角形的中线了解要求 8.三角形中位线定理掌握一、聚焦考点知识点 1 三角形基本概念1 三角形：由不在同一条直线上的三段线段 首尾顺次相接 所组成的图形叫作三角形

3、。记作 abc，读作 三角形 abc。2 三角形有关概念：顶点 ：三角形两边的公共点。如：点 a、点 b、点 c；边 ：组成三角形的三条线段称为三角形的三边。如：ab（c）、bc（a）、ac（b）内角 ：在三角形中，每两条边所组成的角叫作三角形的内角。如cab（a）、abc（b）、acb （c）三角形的分类：锐角三角形，三个角都是锐角按照 角 分类：直角三角形，有一个角是直角钝角三角形，有一个角是钝角一般三角形（三边都不等）按照 边 分类： 底边和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形如下图2a.高：从abc 的顶点 a 向它所对应的边 bc 所在直线作垂线，垂足为点 d，所得线段 ad 叫作

4、 abc 的边 bc 上的 高 。三条高的交点叫作 垂心 。注：（1）三角形有三个高，每条边各对应一个高（2） 锐角所对应边的高在三角形内，钝角对应边的高在三角形外（3） 三条高一定交于某一点b. 中线：连接abc 的顶点 a 和它所对应边 bc 的中点 d，所得线段 ad 叫作abc 的边 bc 上的 中 线 。三条中线的交点叫作 重心 。c. 角平分线：作a 的平分线 ad，交a 所对应的边 bc 于点 d，线段 ad 叫作abc 的 角平分线 。 三条角平分线的交点叫作 内心 。5 三角形外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有 2 个）6 多边形：在平面内，由一些线段

5、首位顺次连接线段组成的图形。有 n 条边组成，我们就称为 n 边形 。知识点 2 三角形基本性质三角形三边关系：两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边 。注：用式子表示三边关系是，只需要满足：|两边之差|第三边两边之和（两边为相同两条边） 三角形内角和定理：三角形三个内角和为 180 。3 三角形外角性质：三角形的外角 等于 它不相邻两内角和。4 n 边形的性质：内角和： （n2）*180 ；外角和： 360 ；对角线：12 ( 3) 。知识点 3 全等三角形的概念1 全等三角形：能够完全重合的三角形。2 表示方法： abc def，读作：三角形 abc 全等于 三角形 def。3b.在书写

6、两个三角形全等时，两个三角形的顶点需要 一一对应 。知识点 4 全等三角形的性质及判定1 若两个三角形全等，则对应边、对应角 相等 ；周长、面积 相等 ；对应边上的高、中线、角平分线 相 等 。2 全等三角形判定方法：a.sss ； b.sas ； c.asa ； d.aas ； e.hl3 角平分线的性质：角平分线上的点到 两边 的距离 相等 。4 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点 的距离 相等 。知识点 5 等腰三角形、直角三角形的概念等腰三角形：有两条边 相等 的三角形。其中，相等的两条边称为： 腰 ，另一条边称为： 底 ；两腰的夹角称为： 顶角 ，腰与底的夹角

7、称为： 底角 。2 等边三角形 ：三条边都相等的三角形。2 直角三角形：有一个角是 90 的三角形知识点 6 等腰三角形、直角三角形的性质及判定等腰三角形基本性质：性质一：等腰三角形的两个底角 相等 ；性质二：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线 、底边上的高 重合 （简称“三线合一”）。 注：a.“三线合一”仅指底边上的中线（高）、另外两条线的中线（高）无此规律；b.只要“两线合一”，则必定“三线合一”等腰三角形的判定：判定一：有两个 角 相等的三角形；判定二：有两条 边 相等的三角形；判定三：“三线合一”。等边三角形基本性质：性质一：三个内角都为： 60 ；4性质二：任何一条边都存在“三

8、线合一”。等边三角形的判定：判定一：三条边 相等 ；判定二：有两个角为 60 ；判定三：等腰三角形+有一个角为 60 ；判定四：两个“三线合一”注：证等边常见思路是：先证等腰，再添加一个等边三角形特有的条件来证等边。含 30角的直角三角形性质：30角对应的边是直角边所对应边的 一半 。知识点 7 三角形中位线定理1 三角形中位线：连接三角形两边 中点 的线段（共 3 条）2 三角形中位线定理：三角形中位线 平行于 第三边，且等于第三边的 一半 。知识点 8 勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则 2 + 2 = 22 二组常见勾股数：a=3，b=4，c=

9、 5 ；a=5，b=12，c= 133 特殊直角三角形：（1）30、60、90三角形，若 a=x，则 b= 3x ，c= 2x（2）45、45、90三角形，若 a=x，则 b= x ，c= 2勾股定理逆定理：如果三角形三边长分别为 a，b，c，满足2+ 2= 2，则这个三角形是以 c 为斜边的 直角三角形 。5二、名师点睛题型 1 简单证全等解题方法：此类题型,常考察内容为全等三角形的简单证明。全等三角形的证明，基本方法有5种：sss、sas、 asa、aas、hl。此题出现在大题的第2题，属于简单题型，需要每位同学掌握。我们在解题过程中，首先根据图形和已 知条件，猜测可能全等的三角形；然后寻

10、找3组条件证明全等。例1.（2017 湖北武汉 真题）如图，点c、f、e、b在一条直线上，cfd=bea，ce=bf，df=ae，写出 cd与ab之间的关系，并证明你的结论。【答案】：cd=ad【解析】：ce=bfcf=be在cfd与bea中 = = = cfd beacd=ad【举一反三】1.（2017 湖北武汉 四调）如图，a、d、b、e四点顺次在同一条直线上，acdf，bcef，cf， 求证：adbe6【答案】：见解析【解析】：在acb与dfe中 = = = acbdfeab=dead=be2.（2018 湖北武汉 四调）如图，b，e，c，f四点顺次在同一条直线上，acdf，becf，a

11、bde求 证：abde【答案】：见解析【解析】：be=cfbc=ef在abc与def中 = = = abc defb=defabde3.（2018 湖北武汉 真题）如图，点e、f在bc上，becf，abdc，bc，af与de交于点g ，求证：7gegf【答案】：见解析【解析】：be=fc bf=ec在abf与dce中 = = = abf dceafb=decgef 等腰三角形 ge=gf81题型 2 等腰三角形分类讨论解题方法：等腰三角形，常考察多解的问题，即需要我们分类讨论。常见的分类讨论题型有 4 种。近年中考中，出现过 1 到关于讨论等腰三角形个数的题型。在此，我们将 4 类题型全部列出

12、来，供大家学习讨论。 一、腰和底的讨论已知等腰三角形的两条边 a，b，求另一条边 c 时，要分 2 种情况讨论：1 设 a 为腰，b 为底，则 c=a；2 设 a 为底，b 为腰，则 c=b注：分类讨论后，还需利用三角形边的关系判定每种假设是否成立。具体见例 2.二、顶角和底角的讨论已知等腰三角形的一个角 a，求另外两个角 b 和 c，要分 2 种情况讨论：1 设a 为底角，则b=a，c=1802a；2 设a 为顶角，则b=c= （180 ）。具体见例 3.2三、锐角三角形、钝角三角形的讨论当题干中未告知图形，我们往往将三角形分为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。因为锐角三角形（高在三角

13、形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）的高位置不同，会导致图形不同，最终导致不 同结果。具体见例 4.四、等腰三角形个数的讨论此类题型往往已知 2 个点（a 和 b）或者 1 条边，求另一个点，使之能构成等腰三角形。分 2 类讨论：（1） 已知直线为底，另一个点在这条直线的垂直平分线上（ab 左右两侧皆可），即以点 c 为顶点；（2） 已知直线为腰，以点 a 为顶点，ab 长度作弧，另一点在圆弧上；或以点 b 为顶点，ba 长度作弧， 另一点在圆弧上（ab 左右两侧皆可）。具体见例 5一、腰和底的讨论例 2. 等腰三角形两边的长度分别为 5 和 6，求周长。【答案】：16 或 17【解析】：情

14、况一：当腰为 5，底边长为 6，则另一个腰长为 56556+5，符合三角形三边条件周长为：5+5+6=16情况二：当腰为 6，底边长为 5，则另一个腰长为 69116566+5，符合三角形三边条件周长为：5+6+6=17综上得：周长为 16 或 17【举一反三】1.等腰三角形两边的长度分别为 4 和 9，求其周长。【答案】：22【解析】：情况一：当腰为 4，底边长为 9，则另一个腰长为 49449+4，不等式不成立因此情况一不符合情况二：当腰为 9，底边长为 4，则另一个腰长为 99499+4，符合三角形三边条件周长为：9+4+9=22综上得：周长为 22二、顶角和底角的讨论例 3. 等腰三角

15、形一个角为 70，求其顶角的度数。【答案】：70或 40【解析】：情况一：设 70为顶角，该两个底角为： （180 70）=552所以三角形的顶角为 70情况二：设底角为 70，则顶角为：180702=40 所以三角形的顶角为 40综上得，该三角形的顶角为 70或 40【举一反三】1.等腰三角形的一个角为 100，求其顶角的度数。【答案】：130【解析】：情况一：设 130为顶角，该两个底角为： （180 130）=2521011所以三角形的顶角为 130情况二：设底角为 130，则顶角为：1801302=80 顶角不能为负数，故该情况不符综上得，该三角形的顶角为 130三、锐角三角形、钝角三

16、角形的讨论例 4.已知abc 中，ca=cb，adbc 于点 d，cad=50，求b 的度数。 【答案】：b=70或b=20【解析】：情况一：acb 为锐角，如下图所示cad=50，adbc acd=40ac=bccab=b=2(180 40 ) = 70情况二：acb 为钝角，如下图所示cad=50，adbcacd=40acb=140ac=bccab=b= (180 140) = 202综上得：b=70或b=2011【举一反三】1.已知abc 的高 ad，be 所在的直线交于点 f，若 bf=ac，求abc 的度数。 【答案】：情况一：abc 为锐角，如下图所示ad，be 是abc 的高bd

17、f=aef=90bfd=afedbf=fae在bdf 与adc 中 = = = bdfadcbd=adabd 为等腰直角三角形abc=45情况二：abc 为钝角，如下图所示ad，be 是abc 的高 adb=bec=90c=ebc=90=c+dacdac=ebc=dbf12在bfd 与acd 中 = = = bfdacddb=adadb 为等腰直角三角形abd=45abc=135综上得：abc=45或abc=135四、等腰三角形个数的讨论例 5.平面直角坐标系中，已知 a（2,2），b（4,0），若在坐标轴上取点 c， abc 为等腰三角形，求满足 条件的点 c 的个数。【答案】：5 个【解析

18、】：情况一：点 c 在 ab 的垂直平分线上，如下图所示线段 ab 垂直平分线与坐标轴的交点有 2 个，则在这种情况下，存在 2 个 c情况二：点 c 在一点 a 为顶点的等腰直角三角形上，如下图所示以点 a 为圆心，ab 长为半径作圆，与坐标轴的交点有 2 个但是，与 y 轴的交点（0,4）与 a、b 两点在同一条直线上，则三点不能构成三角形 所以，这种情况下只有 1 个点符合条件131112223234455566情况三：点 c 在以点 b 为顶点的等腰三角形上，如下图所示以点 b 为圆心，ab 长为半径作圆，与坐标轴的交点有 2 个，则这种情况下，c 点有 2 个综上得：共有 5 个点满

19、足条件【举一反三】1.（2017 湖北武汉 真题）如图，在 abc 中，c=90，以abc 的一边为边画等腰三角形，使得它 的第三个顶点在abc 的其它边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）a.4 b.5 c.6 d.7【答案】：d【解析】：分三种情况讨论情况一：以 bc 为边构造等腰三角形以点 c 为圆心，bc 为半径作圆，与 ab 交于点 ， 是以 b 为底的等腰三角形与 ac 交于点 ，cb 是以 b 为底的等腰三角形以点 b 为圆心，bc 为半径作圆，与 ab 交于点 ， 是以 c 为底的等腰三角形 作 bc 的垂直平分线，与 ab 交于点 ， 是以 cb 为底的等腰三角

20、形情况二：以 ac 为边构造等腰三角形1 以点 c 为圆心，ac 为半径作圆，与 ab、bc 无交点2 以点 a 为圆心，ac 为半径作圆，与 ab 交于点 ，ac 是以 c 为底的等腰三角形 作 ac 的垂直平分线，与 ab 交于点 ，ac 是以 ac 为底的等腰三角形情况三：以 ab 为边构造等腰三角形1 以点 a 为圆心，ab 为半径作圆，与 ac、bc 无交点2 以点 b 为圆心，ab 为半径作圆，与 ac、bc 无交点1477作 ab 的垂直平分线，与 ac 交于点 ，ab 是以 ab 为底的等腰三角形15题型 3 特殊角度三角形解题方法：该类题型，主要考察边之间的关系或长度。需要综

21、合应用三角性的特性，大家需多练习熟悉。例 6.（2017 湖北武汉 真题）如图，在abc 中，ab=ac=23，bac=120，点 d、f 都在边 bc 上， dae=60。若 bd=2ce，则 de 的长为 。【答案】 3 3 3【解析】： abd 绕点 a 逆时针旋转 120得 acf，取 cf 的中点 g，连接 ef、eg，如图所示ab=ac=2 3 ，bac=120， acb=b=acf=30，ecg=60cf=bd=2ce，cg=ce，ceg 为等边三角形，eg=cg=fg，efg=feg=12cge=30，cef 为直角三角形bac=120，dae=60，bad+cae=60，fa

22、e= fac+cae=bad+cae=60 在ade afe 中，1660 ，ade afe（sas），de=fe设 ec=x，则 bd=cf=2x，de=fe=6-3x，在 cef 中，cef=90，cf=2x，ec=x，ef= 2 2 = 3 x，6-3x= 3 x，x=3- 3 ，de= 3 x=3 3 -3故答案为：3 3 -3【举一反三】1 （2018 湖北武汉 四调）一副三角板如图所示摆放，含45的三角板的斜边与含30的三角板的较长直 角边重合aecd于点e，则abe的度数是_【答案】：105【解析】：ade=adbbdc=75dae=90ade=15在四边形 abed 中，ad

23、中点到 a、b、e、d 距离相等 点 a、b、e、d 四点共圆dbe=dae=15173abe=abd+dbe=90+15=1052 （2018 湖北武汉 真题）如图，在abc中，acb60，ac1，d是边ab的中点，e是边bc上一点若 de平分abc的周长，则de的长是_【答案】：2【解析】：延长 bc 至 m，使 cm=ca，连接 am，作 cnam 于 n，de 平 abc 的周长，me=eb，又 ad=db，de=12am，deam，acb=60，acm=120，cm=ca，acn=60，an=mn，an=acsinacn= am= 3 ，32，18de=32，故答案为：323 （20

24、19 湖北武汉 真题）问题背景：如图1，将abc绕点a逆时针旋转60得到ade，de与bc交于点 p，可推出结论：papcpe问题解决：如图2，在mng中，mn6，m75，mg42点o是mng内一点，则点o到mng 三个顶点的距离和的最小值是_【答案】 229【解析】：（1）证明：如图 1，在 bc 上截取 bgpd，连接 ec，延长 bc 到 f，使 cfpa，连接 ef，在abg adp 中 abg adp（sas），agap，bagdap， abc 绕点 a 逆时针旋转 60得 ade ， bad=6019agp 是等边三角形，agc60apg，ape60，epc60， abc 绕点 a

25、 逆时针旋转 60得到ade， eac60，epc60，aeac，ace 是等边三角形，aeecac，paeapeaep180，ecfaceacb180，aceape60，aedacb，paeecf，在ape ecf 中 ape ecf（sas），pepf，pf=pc+cf=pc+cfpe；（2）解：如图 2：以 mg 为边作等边三角 mgd，以 om 为边作等 ome连接 nd，作 df nm ， 交 nm 的延长线于 f20mgd ome 是等边三角形oeomme，dmgome60，mgmd， gmodme在gmo dme 中gmo dme（sas），ogdenogomodeoeno当 d

26、、e、o、m 四点共线时，nogomo 值最小， nmg75，gmd60，nmd135，dmf45，mg42mfdf4，nfmnmf6410，nd 2 2 = 10242 = 229,monogo 最小值为22921故答案为：2292221题型 4 等腰三角形、等边三角形性质考察解题方法：此类题型，2018 与 2019 连续 2 年的元月调考中有所考察，题目出现在大题的倒数第2 题，属于 综合性题型，主要考察等腰三角形的性质，有一定的难度，需要大家勤加练习。例7. （2018 湖北武汉 元调）（10分）如图，点c为线段ab上一点，分别以ab、ac、cb为底作顶角为120 的等腰三角形，顶角顶

27、点分别为d、e、f（点e、f在ab的同侧，点d在另一侧）(1) 如图1，若点c是ab的中点，则aed_(2) 如图2，若点c不是ab的中点1 求证：def为等边三角形2 连接cd，若adc90，ab3，请直接写出ef的长【答案】：（1）90（2）3【解析】：（1）如图 1，过 e 作 ehab 于 h，连接 cd，设 ehx，则 ae2x，ah 3 x， aeec，ac2ah2 3 x，c 是 ab 的中点，adbd，cdab，adb120，dac30，23dc2x，dcce2x，ehdc，hededcced，aeh60，aec120，hec60，hed30，aedaehhed90；故答案为：

28、90；（2）解：延长 fc 交 ad 于 h，连接 he，如图 2，cffb，fcbfbc，cfb120，fcbfbc30，同理：dabdba30，eaceca30， dabecafbd，adecbf，同理 aecfbd，四边形 bdhf、四边形 aech 是平行四边形，24ecah，bfhd，aeec，aeah，hae60，aeh 是等边三角形，aeahhece，aheaeh60， dhe120，dhefcedhbffc，dhe fce（sas），deef，dehfec，defceh60，def 是等边三角形；如图 3，过 e 作 emab 于 m，adc90，dac30， acd60，db

29、a30，cdbdbc30，2523cdbc12ac，ab3，ac2，bccd1，ace30，acd60，ecd306090， aece，cm12ac1，ace30，ce2 33，rtdec 中，de 22 (1)2( )23213，由知 def 是等边三角形，efde213【举一反三】1 （2019 湖北武汉 元调）（10分）如图，等边abc与等腰三角形edc有公共顶点c，其中edc120， abce26 ，连接be，p为be的中点，连接pd、ad(1)小亮为了研究线段ad与pd的数量关系，将图1中的edc绕点c旋转一个适当的角度，使ce与ca重合，如图2，请直接写出ad与pd的数量关系(2)

30、 如图1，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由(3) 如图3，若acd45，求pad的面积26【答案】：（1）ad=2pd（2） 成立（3） 43 32【解析】：（1）ad=2pd（2）如下图，延长 ed 至 f，使 df=ed，连接 bf，cf。bp=ep，dp 是bef 的中位线 bf=2pd 且 bfpdedc=120，fdc=60 cdf 是等边三角形bc=ac，bcf=acd，cf=cdbcfacd，bf=ad ad=2pd（3）延长 bf 交 ad 于点 g由（2）得：fbc=dac acb=acb=60dpgb，adp=agb=60 在等腰cde

31、中ce=26，cd=222721 3过点 d 作 dmac 于点 m，过点 p 作 pnad 于点 n acd=45，cm=dm=2，am=26 22= 2 6 2 + 22= 32 86= = 2 = 43 32 2 8282 22 22x=+2题型 5 勾股定理的运用解题方法：已知直角三角形，且求边的长度时，我们通常用勾股定理这个知识点。在直角三角形的三条边中，我们知道其中任意两条边，则可以根据勾股定理求解出第三条边。求解出第三条边后，再根据题干要 求适当边形得出最终结果。若无直角三角形，则需要先构造出直角三角形，再利用勾股定理。例8.（2019 湖北武汉 元调）古希腊数学家欧几里得的几何

32、原本记载，形如x2axb的方程的图解法是：如图，画r abc，acb90，bc ，acb，再在斜边ab上截取bd ，则该方程的一个正根2 2是（ ）aac的长bbc的长cad的长dcd的长【答案】：c【解析】：化简x axb 得：x axb =0，解得：2242求方程的正根，x=2242= 22422= 22442ac=b，bc= ，acb=902根据勾股定理：2= 2（ ）2化简得：ab= 2 24=2442bd=2ad=abbd=24 2 4 2= 选 c【举一反三】1.如图，在abc 中，cdab 于点 d，若 ab=5，cd=23，bcd=30，求 ac 的长。292【答案】：21【解

33、析】：bcd=30，dc=23，ab=5 bd=2，bc=4，ad=3ac= 32 + （23）=212.如图，在已知四边形 abcd 中，a=60，b=d=90，ab=2，cd=1，求 bc 和 ad 的长。【答案】：ad=43，bc=23 2【解析】：图中，无直角三角形，需要构造直角三角形，然后再利用勾股定理 延长 bc 与 ad 交于点 e，如下图a=60，b=90e=30adc=90，cd=1在直角cde 中，根据勾股定理：ce=2，de=3 ab=2在直角abe 中，根据勾股定理：ae=4be=23 ad=43，bc=23 230= ， = = 3.如图，在abc 中，a=90，p

34、是 ac 的中点，pdbc 于点 d，bc=9，dc=3，求 ab 的长。【答案】：33【解析】：连接 pb，如图bd=bcdc=6在直角bdp 和直角pdc 中2 2 2 2 2 22 2 2 2ap=pc2 2 = 27ab=27 = 3331题型 6 中位线定理（补充）解题方法：湖北武汉近年真题中，并未出现此类题型，但考纲中有此类题型要求，故在此补充说明。若题干中出现多个中点，则我们需要想到中位线定理。连接中点，构造出中位线，利用中位线的性质， 结合三角形的一些性质进行推导证明。例 9.如图，在abc 中，bcac，点 d 在 bc 上，且 dc=ac，acb 的角平分线 cf 交 ad

35、 于点 f，点 e 是 ab 的中点，连接 ef。求证：efbc。【答案】：见解析【解析】：dc=acadc 为以 ad 为底的等腰三角形cf 是acb 的角平分线点 f 是 ad 的中点点 e 是 ab 的中点ef 是abd 的中位线efbdefbc【举一反三】1. 如图，在正三角形 abc 中，p 为 ab 的中点，q 为 ac 的中点，r 为 bc 的中点，m 为 rc 上任意一点， pms 为正三角形，求证：rm=qs。【答案】：见解析321 1 1【解析】：如下图，连接 pr，rq，qp点 p、q、r 分别是 ab、ac 和 bc 的中点pq、qr、pr 都是abc 的中位线pq 平行且等于 ，rq 平行且等于 ，pr 平行且等于 2 2 2abc 是正三角形pqr 为正三角形rpq=rpm+mpq=60，pr=pqpsm 为正三角形mps=spq+qpr，ps=pmrpm=spq在prm 与pqs 中 = = = prmpqsrm=qs331三、能力提升1. (2017 河北廊坊) 如图，在平面直角坐标系中，点 a 在第一象限，点 p 在 x 轴上，若以 p，o，a 为顶点 的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 p 共有（ ）a. 2 个b. 3 个c. 4 个d. 5 个【