圆形薄板在均布载荷作用下的挠度

1、第四节平 板应力分析平板应力分析3.4.1 概述3.4.2 圆平 板对称弯曲微分方程3.4.3 圆平 板中的应力3.4.4 承受 对称载荷时环板中的应力3.4.1 概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 分类：厚 板与薄板、大挠度板 和小挠度 板。图 2-28 薄板t/b 1/5 时 （薄板） w/t1/5 时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力 载荷：平面载荷：作用于板中面内的载荷横向载荷

2、垂直于板中面的载荷复合载荷 内力：薄膜力中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形弯曲内力弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。4、弹性薄板 的小挠度理论基本假设-克希霍夫 Kirchhoff 板弯曲 时其中面保持中性，即板中面 内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法 线 w 的挠度 。只有 横向力载 荷变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，

3、且仍 然垂直于变形后的梁轴线。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 研 究: 弹性,薄板 / 受横向载 荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题3.4.2 圆平板对称 弯曲微分方程分析模型ra.dQrdrdrPdMrrMr+drdrMMrdc.yzb.rdrd.分析模型：半径 R，厚度 t 的圆平板受轴对称载荷Pz，在 r、z圆柱坐标系中， 内力 Mr、M、 Qr 三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在 r、z圆柱坐标系中，挠度 w只 pz是 r 的函数，而 与无关。求解思路：经t/2一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）弯r曲挠度微分方程（

4、 pz : w ）t/2求 w 求内力M 求 应力z微元体：用半径为 r和 r+dr的圆柱a面.和夹角为 d的两个径向截面截取板上一微元体zyb.微元体内力径向：Mr、Mr+（dMr/ dr）dr周向： M、 M横向剪力：Qr、Qr+（dQr/ dr）dr微元体外 力 ：上表面 P pzrd drdQrQr+ dr rdrdMr dr drPMr+MMMrc.y1、平衡方程微体内力与外力对圆柱面切线 T 的力矩代数和M为零，即MT=0dQr Qr + dr rdrMrdMr dr rdrdr dM r rd2 M dr sinMQr rrddrdrpzrd drpzrd dMrr 2+M r

5、dM r r M Qr r 0 dr2-54)Qrd.0dMrdr drz a.r+drdQrQr+ ddQrrdrrMrQrdr圆平板在轴对称载y荷下的平衡方程）c.b.d.2、几何协调方程（W）取 AB dr ，径向截面上与中面相距为 z，半径为 r与r dr两点 A与 B构成的微段a.r板变形后：微段的径向应变为zddrzd （第 2假设） dr过 A 点的周向 应变为2rz2r2rz （第 1 假设 ） r作为小挠度ddwr，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程：d 2wr z dr 2dr（2-55）z dwr dr3、物理方程根据第 3 个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于

6、两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：2-56)4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-55)代入(2-56)式：Ez d 2 wdw2-57)r 1 2 dr 2 r dr2Ez 1 dwd w1 2 r drdr 2通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr和M表示成 w 的形式。由式（2-57）可见， r和 沿着厚度（即 z方向）均为线性分布，图 2-31 中所示为径向应力的分布图Mr图 2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系的线性分布力系便组成弯矩Mr 、 M 。单位长度上的径向弯矩为：d2wdwdr 2 r dr2-58a)同理 M1 dwd 2wDr drdr2Mr2

7、-58b)t2 Ed2wdwz2dz212 dr2r drtM r2t r zdz参照 38 页壳体的抗弯刚度，“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关(2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：12Mr2-59)12tM3 r z 12Mt3 z(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：d3wdr31 d 2w r dr 21 dw r 2 drQrD即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：d 1 d drdr r dr drQrD2-60)Qr 值可依不同载荷情况用静力法求得3.4.3 圆平板中的应 力(圆平板轴对称弯 曲的小挠 度微分方程的应用)承受均布载荷时圆平板中

8、的应力：简支固支承受集中载荷时圆平板中的应力图 2-32均布载荷作用时圆板内 Qr的确定、承受均布载荷时圆平板中的应力据图 2-32，可确定作用在半径为r 的圆柱截面上的剪力，即：Qr2r p pr2 r 2代入 2-60 式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：d 1 d dw r dr r dr drpr2D对 r 连续两次积分得到挠曲面在 半径方向的斜率：3dw pr C1r C2 dr 16D 2 r2-61)对 r 连续三次积分，得到中面在 弯曲后的挠度4 pr4 64DC1rC2 ln r C32-62)C2因而要求积分常数C1、C2、C3 均为积分常数。 对于圆平板在板中心处

9、（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值， 0 ，于是上述方程 改写为：dwpr 3drw16D4pr64DC1r2C1r24C32-63)式中 C1、C3 由边界条件确定下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）周边固支圆平板周边简支圆平板pprrRRRRzza. b.周边固支圆平板 周边简支圆平板 图 2-33 承受均布横向载荷的圆 板RpRza.pR28DpR464D1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）周边固支圆平板dwr R, 0drr R, w 0C1 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：C3代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：dw dr wpr

10、R216D64D22R2 r 22-64)将挠度 w对 r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：Mrp16R2 1r 2 3MpR2 1r 2 1 3162-65)由此（ 代入 2-59）弯曲应力计算试 ，可得 r 处上、下板面的 应力表达式：Mrm2t26Mm3 p28t2m3 p28 t2R2 1R2 12-66)周边固 支圆平板下表面的应力分布， 如图 2-34（a）所示最大应力在板边缘上下表面，即max38ptR22(13pR2图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面）2、周边简支圆平板将上述 边界条件代入式（2-63），解得积分常数 C1、

11、C3：代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程：64D2 2 2 R2 r2 2 4R2 R2 r22-67)b.周边简支圆平板弯矩表达式：M r p 3 R2 r 22-68)r 16M p R2 3r 2 1 316应力表达式：m3 p2 3R2 r 22-69)8 t23 p 2 2m 2 R 3 r 1 38 t2可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 r 0，MrmaxMmaxpR216r maxmax3 3pR28t2周边简 支板下表面的应力分布曲线见 图 2-34(b)。r 38ptR22(1+0.8271.00.5rRpR223(142rRa. b. 图 2-34 圆

12、板的弯曲应力分布(板下 表面)3、比较两种支承a. 边 界条件dw周边固支时:rR,0 drrR,w0rR,w0周边简支时:rR,M r 0b. 挠 度周边固支时，最大挠度在板中心 wmfaxpR464D周边简支时，最大挠度在板中心 wmsax5pR41 64D2-70)2-71)0.3简支固支swmaxwmax5 0.31 0.34.08表明 : 周边简支板的 最大挠度远大于周边固支板的 挠度c. 应 力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为fr max3pR24t22-72)周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为sr max3 3pR28 t 22-73)

13、0.3简支固支r maxfr max3.321.65表明: 周边简支板的最 大正应力大于周边固支板的应 力内力引起的切应力：在均布载荷 p 作用下，圆板柱面上的最大剪力QrmaxpRp2R(rR处），近似采用矩形截面梁中最大切应力公式3Qmax2 bh得 到3 Qr max 3 pR得 到 max2 1 t 4 t2 最大正应力与 Rt 2 同一量级； 最大切应力则与Rt 同一量级。因而对 于薄板 Rt， 板内的正应力远比切 应力大。从以上可以看出： max 与 wmax 圆平板的材料（E、）、半径、厚度有关 若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。工程中

14、较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件 增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度4、结论a. 板内为二向应力 状态： r、 且为弯曲应力，平行 于中面各 层相互之间 的正应 力 z及剪力Qr 引起的切应力 均可予以忽略。b. 应 力分布: 沿厚度呈线性分布 , 且最大值在板的上下 表面。沿半径呈抛物线 分布,且与周边支承方式有关工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。c. 强度:简支s maxr0sr maxsmax1.23 ptR2固支fmaxrRfr maxpR20.75 2t2sr maxfr max1.65d. 刚 度:周边固支的圆平板

15、在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板e. 薄板结构的最大弯曲应力 max 与 Rt 成正比，而薄壳的最大拉（ 压）应力 max 与 Rt 成正比。故在相同 Rt 条件下，薄板所需厚度比薄壳大。、承受集中载荷时圆平板中的应力挠度微分方程式（2-60）中，剪力Qr可由图 2-35中的平衡条件确定：Qr 2Fr采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度Mr和弯矩方程及计算其应力值MrQr图 2-35 圆 板中心承受集 中载荷 时板中的剪力 Qr3.4.4 承受轴对称载 荷时环板中的应力通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变， 只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过 形心）均布力矩M 作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从