圆 综合练习题

1、圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明(证切线为主)和计算(线段长、面积、 三角函数值、最值等)1.如图，BD为O O的直径，AC为弦，AB = AC , AD交BC于E ,CBE0DAE =2 , ED =4 (1) 求证： ABEADB，并求AB的长；(2) 延长DB到F，使BF =B0，连接FA，判断直线 FA与O O的位 置关系，并说明理由.2.已知：如图，以等边三角形 ABC边AB为直径的O 0与边AC BC分别交于点 D E,过点D作DH BC垂足为F.(1) 求证：DF为O 0的切线；(2) 若等边三角形 ABC的边长为4,求DF的长;(3) 求图中阴影部分的面积.3、

2、如图，已知圆0的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交 AD于点F，且CF _ AD .(1 )请证明：E是0B的中点;(2)若AB =8，求CD的长.4.如图，AB是O0的直径，点 C在O 0上，/ BAC= 60 , P是0B上一点，过 P作AB的垂BCL AE交AE的延长线于点5.已知：如图，BD是半圆0的直径，A是BD延长线上的一点,C交半圆0于点E,且E为DF的中点(1) 求证：AC是半圆0的切线；(2) 若 AD =6, AE =6辽，求 BC的长.6.如图， ABC内接于O 0,过点A的直线交O O于点P，交BC的延长线于点 D，且 aB=ap AD(1) 求证：AB 二

3、AC ;(2) 如果.ABC =60 , O O的半径为1，且P为弧AC的中点,求AD的长.D7.如图，在 ABC中，/ C=90 , AD是/ BAC勺平分线, O经过点D(1) 求证：BC是OO切线；(2) 若 BD=5, DC=3,求 AC的长.&如图，AB是OO的直径，CD是O O的一条弦，且(1) 求证：/ ACOMBCD(2) 若 BE=2, CD=8 求 AB 和 AC的长.O是AB上一点，以OA为半径的OCDLAB 于 E,连结 AC OC BC.9.如图，已知BC为O O的直径，点A、F在O O上, AD _ BC ,垂足为 于 E，且 AE 二 BE .(1)求证：AB 二

4、 AF ;(2)如果 siFBC =3 , AB =4. 5，求 AD 的长.510.如图，已知直径与等边ABC的高相等的圆 O分别与边AB BC相切于点D E,边AC过圆心O与圆O相交于点F、G(1) 求证：DE LI AC ；(2) 若 ABC的边长为a，求 ECG的面积11.如图，在 ABC中，/ BCA=90。，以BC为直径的O O交AB于点P, Q是AC的中点.(1)请你判断直线 PQ与O O的位置关系，并说明理由;(2)若/ A= 30, AP=2.,3，求O O半径的长B12如图，已知点 A是O O上一点，直线 MN过点A点B是MNk的另一点，点 C是OB勺中点，ac Job ,

5、2若点P是O O上的一个动点，且/ OBA =30；, AB=2.一 3时，求 APC的面积的最大值.13.如图，等腰 ABC中, AB=AC=13, BC=10，以AC为直径作O O交 BC于点D,交AB于点G过点D作O O的切线交 AB于点E交AC 的延长线与点F.(1) 求证：EF丄AB(2) 求cos/ F的值.14.(应用性问题)已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在 加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30的直角三角尺按图示的方式测量若O O分别与AE AF交于点B、C,且AB=AC若O O与AF相切 求证：O O与AE相切；(2)在满足(1)的情况下，当E、C分别为AE

6、AF的三分之一点时，且AF=3,求BC的弧长.OECD第13题图二、圆与相似综合15.已知：如图，O O的内接 ABC中,/ BAC=45 , / ABC=15, AD/ OC并 交BC的延长线于 D, OC交AB于E.(1) 求/ D的度数；(2) 求证：AC2 二 AD CE ;(3 )求BC的值.CDyax图1在BC上取一点D，分别作直线 CD、ED，交直线 AB于点F、M求.COA和.FDM的度数；求证：.FDMCOM ；如图，若将垂足 G改取为半径0B上任意一点，点 D改取 在EB上仍作直线CD、ED，分别交直线 AB于点F、M 试判断：此时是否仍有.FDM COM成立？若成立请证明

7、你 的结论；若不成立，请说明理由。三、圆与三角函数综合17.已知O 0过点D(4, 3),点H与点D关于y轴对称， 过H作OO的切线交y轴于点A (如图1)。求OO半径；求sin HAO的值；如图2,设OO与y轴正半轴交点 P,点E、F是线 段0P上的动点(与P点不重合)，联结并延长DE DF交OO 于点B、C,直线BC交y轴于点G若厶DEF是以EF为底 的等腰三角形，试探索 sin. CGO的大小怎样变化？请说明理由。四、圆与二次函数(或坐标系)综合18、如图，OM的圆心在x轴上，与坐标轴交于 A( 0, 3 )、B (- 1, 0),抛物线 y = - x2 + bx + c经过 A、B两

8、点.3(1) 求抛物线的函数解析式;(2)(3)设抛物线的顶点为 P.试判断点P与O M的位置关系，并说明理由;若O M与y轴的另一交点为及弧ABD围成的封闭图形19.如图，在平面直角坐标系中，0是原点，以点 C( 1,1 )为圆心，2为半径作圆，交 x?目二-x2 bx c的图象经过划渝数扇理总个数1621134W * * n轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A B,且其顶点P在O C上.(1) 求/ ACB的大小；(2) 写出A, B两点的坐标；(3) 试确定此抛物线的解析式；(4) 在该抛物线上是否存在一点 D,使线段0P与CD互相平分？若存 在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由

9、.20. (以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题) 如图，半径为1的O 01与 x轴交于 A、B两点，圆心 01的坐标为(2 , 0)，二次函数A、B两点，其顶点为F .(1 )求b, c的值及二次函数顶点 F的坐标；(2)将二次函数 y =-x2 bx - c的图象先向下平移 1个单位， 再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点D 0, -3的直线I上是否存在一点 P，使 PAC的周长最小,若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由五、以圆为背景的探究性问题21. 下图中，图(1)是一个扇形OAB将其作如下划分：OA于点A,交OB于第一次划分：如图 所示，以OA的一半O

10、A的长为半径画弧交 点B,再作/ AOB的平分线，交AB于点C,交A1B1于点C,得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB扇形OAC扇形 OCB扇形 OAB、扇形 OAG、扇形 OGB ；第二次划分： 如图 所示，在扇形 OCB1中， 按上述划分方式继续划分，即以OC 的一半OA的长为半径画弧交 OC于点A,交OB于点B2,再作/ BOC的平分线，交B1C1于点D，交A2B2于点D,可以得到扇形的总数为 11 个;第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分; 依次划分下去.（1）根据题意，完成右边的表格；根据右边的表格，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为 2008个？为什么

11、？ 若图（1）中的扇形的圆心角/ AOB=m，且扇形的半径 OA的长为R.我们把图（2）第一次划分的图形中，扇形 OAG （或扇形OCiR ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为Si;把图（3）第二次划分的最小扇形面积记为S2；,把第n次划分的最小扇形面积记为S.求宝的值.Sn A22. 圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作.AOBL AB （如图）;圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和 的一半”，1记作.AOB （AB CD）（如图）请回答下列问题：（1）如图，猜测.APB与AB、CD有怎样的等量关系，并说明理由；（2）如图，猜测.

12、APB与AB、CD有怎样的等量关系，并说明理由（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）POB23. 已知：半径为 R的O O经过半径为r的O O圆心，O O与OO交于M N两点.（1）如图1,连接OO交OO于点C,过点C作OO的切线交O O于点A B,求caOb 的值；2）若点C为OO上一动点. 当点C运动到O O 内时，如图2，过点C作OO的切线交O O 于A、B两点请你探 索OAOB的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由； 当点运动到O O外时，过点C作OO的切线，若能交O O于A、B两点.请你在图3 中画出符合题意的图形，并探索 OA_OB的值（只写出OAOB的值，不必

13、证明）.AB图1图了北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学第24章圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明(证切线为主)和计算(线段长、面积、 三角函数值、最值等)1.如图，BD 为OO的直径，AC 为弦，AB=AC , AD 交 BC 于 E , AE=2 , ED =4 .(1)求证: ABEADB，并求 AB 的长;(2)延长DB到F，使BF = BO，连接FA，判断直线 由1 解：AB 二 AC , / ABC =Z C :/ C 二/ D , . / ABC 二/ D . 又；/ BAE 二/ DAB ,AB A E A D AB.AB2 二 ADLAE 二

14、AE ED JAE = 2 42 =12.AB -2-3 (舍负).(2)直线FA与L O相切.连接 OA . ?BD 为LI O 的直径，.Z BAD 二 90 .在Rt ABD中，由勾股定理，得BD = Jab2 + AD2 =12+( 2+ 4$ =74=473 .BF 二 BOBD 二丄 4、3 = 2 3 .2 2Tab =23 , BF 二 BO 二 AB.(或.BF 二 BO 二 AB=OA，.: AOB是等边三角形，.F 二.BAF . OBA=/OAB=60 , F =/BAF =30 .).Z OAF =90 . . OA 丄 AF)又：点A在圆上，.直线FA与L O相切.

15、2.已知：如图，以等边三角形ABC边AB为直径的OO与边AC BC分别交于点D E,过/ CF =1,. EF =1.S直角梯形FDOEefOD) DF3,32S扇形doe60二 22 2= Tl3603B-S直角梯形FDOE - S扇形DOE3-322- 3点D作DF丄BC垂足为F.(1) 求证：DF为O O的切线；(2) 若等边三角形 ABC的边长为4,求DF的长;(3) 求图中阴影部分的面积.2. (1)证明：连接DOv . ：ABC 是等边三角形 ，/ C=60 ,Z A=60 OA=OD A OAD 是等边三角形 Z ADO=60vDF丄 BC , Z CDF=30 Z FDO18O

16、 - Z ADOZ CDF 90 . DF为O O 的切线.1(2)v QAD 是等边三角形， CD=AD=AG丄 AB=2.2RtACDF 中，Z CDF=30 , CF=CD=1. DF= $CD2 CF 2 = J空2(3)连接OE由(2)同理可知E为CB中点， CE = 2.B3、如图，已知圆O的直径 AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交 AD于点F，且CF _ AD .(1 )请证明：E是OB的中点;(2)若AB =8，求CD的长.3、(1)证明：连接AC，如图：CF_AD , AE_CD 且 CF, AE 过圆心 O.AC =AD , AC =CD , ACD 是等边三角形.F

17、CD =3011在RtCOE中，OE OC， OE OB点E为OB的中点22(2)解：在 Rt OCE 中：AB =8， OC=42又;BE =OE，OE =2ABCE OC2 -OE2-4 =2.3. CD=2CE=4、34如图，AB是OO的直径，点 C在O O上，/ BAG 60 , P是OB上一点, 线与AC的延长线交于点 Q连结OC过点C作CD丄OC交PQ于点求证： CD僱等腰三角形；(1)(2)如果 CDA COB求BP PO的值.过P作AB的垂H4.(1)证明：由已知得/ ACB90。，/ ABC30，/ Q=30，Z BCO/ ABC30 ./ CDL OCDCQZ BCO30，

18、/ DCQZ Q,CDQ是等腰三角形.(2)解：设O O的半径为 1,则 AB=2, O(=1, A(=-AB =1 , BO .3 . 2等腰三角形 CDQf等腰三角形 CO雀等， CQBO、. 3.厂11 +V3 AQAOCQ1+ J3 , AF=AQ =,2 2 BP=AB-AP=2- 33 PQAP-A(= 1 3 _1 =1!,2 2 2 2BP： PO= . 3 .5.已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BCL AE交AE的延长线于点C交半圆O于点E,且E为DF的中点.(1)求证：AC是半圆O的切线；DO(2)若 AD =6, AE =6； 2，求 BC 的长.

19、5.解：(1)连接 OE T E 为 DF 的中点， DE=EF . .OBE=/CBE./ OE =0B，乙OEB /OBE . /OEB ZCBE . OE/ BC./ BCLAC, / C=90 . / AEO/ C=90 .即 OEL AC又OE为半圆O的半径， AC是半圆O的切线(2 )设口 O的半径为x , OE 丄 AC , (x 6)2 一(6 2)2 =x2. x =3. AB = AD OD OB =12 .AO OE93OE/ BC, AOE ABC . . 即/. BC=4.AB BC12 BC6.如图， ABC内接于O O,过点A的直线交O O于点P，交BC的延长线于

20、点 D，且AB=AP AD(1)求证：AB = AC ;(2)如果/ABC =60 , O O的半径为1，且P为弧AC的中点,求AD的长.6.解：(1)证明：联结BP.AB=AP AD ,AB_ADAP = AB/ BAD/ PAB - ABD APB/ ABO/ APB / ACB=/ APB/ ABO/ ACB AB=AC.D / BAC=60 , P为弧AC的中点，1:ABP=/ PACZABC=3D, / BAP=9), BP是O O的直径，BP=2,1 AP=2 BP=1 ,在 Rt PAB 中，由勾股定理得aB= bp2AP=3, AD：aB=AP =3.(2)由(1)知 AB=A

21、C / ABC=60 , ABC 是等边三角形.7.如图，在 ABO中，/ C=90 , AD是/ BAC勺平分线，O是AB上一点，以OA为半径的O O经过点D.(1) 求证：BC是OO切线；(2) 若 BD=5, DO3,求 AC的长.DC7. ( 1)证明：如图1，连接0D/ OA=OD AD平分/ BAC / ODAZ OAD / OADZ CAD Z ODAZ CAD OD/ AC Z ODBZ C=90? BC是O O的切线.(2)解法一：如图2，过D作DEL AB于 E. Z AEDZ C=90.又 ADAD Z EADZ CAD AEDA ACD AEAC DE=D(=3.在Rt

22、 BED中, Z BED=90 ,由勾股定理，得图1BE= BD2 _DE2 =4 .2由勾股定理，得x设 ACx (x0),则 AE=x.在 Rt ABC中，Z C=90 , BGBBDG8, AB=x+4, 解得x=6. 即AC=6.解法二：如图3,延长AC到 E,使得AE=AB ADAD Z EAD= Z BAD AEDA ABD ED=BD=5.在Rt DCE中, Z DCE90：由勾股定理，得2 2+8 = ( x+4).CE= DE2 _DC2 =4.在Rt ABC中，Z AC咅90 , BC=BD-DO8,由勾股定理，得 即2 2 2AC+8=(AG4).解得 AG=6.&如图,

23、AB是OO的直径，CD是O 0的一条弦，且 CDL AB于E,(1)求证：/ ACOMBCD(2)若 BE=2,CD=8求AB和AC的长.8、证明:(1)连结BD, / AB是O 0的直径，CDLAB BC = BD/ A=Z 2.又 OA=OC Z 1=Z A. Z1=Z 2 .即：Z ACOZ BCD解：(2)由(1)问可知，Z A=Z 2,Z AECZ CE B.连结 AC OC BC.CE AE. cE=be AEBE CE又 CD=8 - CE=DE=4 AE=8 AB=10 AC=.、AE2 CE2 = . 80 = 4 5.9.如图，已知BC为O O的直径，点A、F在O O上，A

24、D _ BC ,垂足为D , BF交AD于 E，且 AE = BE .(1) 求证：AB 二 AF ；3(2) 如果 sin . FBC ，AB = 4一 5，求 AD 的长.59.解：(1)延长AD与O O交于点GA*ED 3BE 一 5 直径BC丄弦AG于点D, AB=GB . / AFB=Z BAE/ AE=BE / ABE=/ BAE / ABE：/ AFB ABAF.(2)在 Rt EDB中 sin / FBC=设 ED=3x, BE=5x，贝U AE=5x, AD=8x，在 RtA EDB中，由勾股定理得 BD=4x. 在RtAADB中，由勾股定理得 BD+AD=AB. AB=4

25、.5 , (4x)2 (8x)2 =(4、5)2. x=1 (负舍). AD=8x=8.10.如图，已知直径与等边ABC的高相等的圆 O分别与边AB BC相切于点D E,边AC过圆心O与圆O相交于点F、GGDOFC(3) 求证：deLIac ；(4) 若ABC的边长为a，求ECG的面积.10. (1): ABC是等边三角形， B=60 , A=60 ,TAB BC是圆O的切线，D E是切点，仁BD=BEBDE =60 , A =60 ,有 DE/AC.分别连结 OD OE,作EH丄AC于点HAB BC是圆O的切线，D E是切点，O是圆心，.ADO =. OEC =90，OD=O，AD=EC1

26、ADO 二 CEO,有 AO=OC a.2圆O的直径等于 心ABC的高，得半径O(=3a二CG=OC+OGa+3a424” EH _OC,. C =60 , . . COE =307SECG #CGEH=la +-S ecg 3 a264Pa2=a2.3264BCA=90。，以BC为直径的O11.如图，在 ABC中，/(1)请你判断直线 PQ与O O的位置关系，并说明理由;O交AB于点(2)若/ A= 30, AF=2.,3，求O O半径的长.P, Q是AC的中点.11、解：(1)直线PQ与O O相切.连结OP CP/ BC是O O的直径，/ BPC= 90又 Q是 AC的中点， PQ=CQA

27、Q. - / 3 =Z 4./ / BCA=90 ,/ 2+Z 4=90 ./ / 1 = / 2 , / 1+Z 3=90 .即 / OPQ90 .直线PQ与O O相切.(2)T / A= 30,AF=2.3 ,可求AC=4.在 Rt APC中,在 Rt ABC中，可求 BC=4、3.32 _ 备3.2 _。半径的长为3七12如图，已知点 A是O O上一点，直线 MN过点A,点B是MN上的另一点，点 C是0B勺中1点，AC OB ,2若点P是OO上的一个动点，且/ OBAAB=2、3时，求 APC的面积的最大值.12、解：连结OA由C是 OB的中点，且,可证得/ OAB9002贝U / O=

28、60. 可求得 OA=AC=过点O作O吐AC于 E,且延长EC交圆于点F. 贝U P(F)E是厶PAC的AC边上的最大的高.在厶 OA冲,OA2, / AOE300 ,POCMB NA解得 OE h；3.11故 S PAC AC PE 2 (2、. 3) 22即 S PAC =23 13.如图，等腰 ABC中, ABAO13, BC=10，以AC为直径作O G过点D作O O的切线交 AB于点E,交AC的延长线与点 F.(1)求证：EF丄AB(2 )求cos / F的值.13.证明：(1)联结OD/ OCOD又 AB=AC/ ODC/ OCD/ OCD/ B/ ODC/ B OD/ AB ED是

29、O O的切线，OD是O O的半径 ODL EF ABL EF(2)联结 AD CG/ AD是O O的直径 / ADC/ AGC90/ AEL EF.DE/ CGO交BC于点D,交AB于点F/ F=/ GCA ABAC DC1 BC=52Rt ADC中, AD =AC2 _CD212 AD BCAB CG. cg：adLbc 120AB - 13120169GCRt CGA中, cos/ GCA巴AC cos/ F=12016914.(应用性问题)已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30的直角三角尺按图示的方式测量(1) 若OO分别与AE AF交于

30、点 B C,且AB=AC若o O与AF相切. 求证：O O与AE相切；(2) 在满足(1)的情况下，当E、C分别为AE AF的三分之一点时，且AF=3,求BC的弧长.14.解：(1)证明：连结OB OA OC根据题意,/ OCA90 .在厶 ABOW ACC中 ,AB=AC OA=OAOB=O,C所以 ABOA ACO所以 / OCA/ OBA=90.贝U AE是圆的切线.(2) 因/ OCA/ OBA=90,且/ EA=/ FAG=30贝U / BAC=120 .1又 ACAF =1 , / OAC=60 ,故oc八33所以BC的长为二、圆与相似综合15.已知：如图，O O的内接 ABC中,

31、/ BAC45,/ ABC=15, AD/ OC并交 BC的延长线于D,OC交 AB于 E.(1) 求/ D的度数；(2) 求证：AC2 =AD CE ;(3 )求BC的值.CDA图315. (1 )解：如图3,连结0B/ O0的内接 ABC中，/ BA(=45 / B0C=2/ BAC =90 ./ OB=OC / OBC=Z OCB=45 / AD/ OC , / D = / OCB=45(2) 证明：T / BAC =45,/ D =45 , / BAC=/ D ./ AD/ OC , / ACE=/ DAC. ACE DAC.(3)AC CEAC2 =AD CE .DA AC解法一：如

32、图 4,延长BO交DA的延长线于 F,连结OA ./ AD/ OC , / F=/ BOC=90 ./ / ABC=15 , / OBA=/ OBC/ ABC=30 . OA = OB , / FOAf/ OBAF/ OAB=60 ，/ OAF=301 OF OA.2OC,. BOCs BFD .BOBF图4/ AD/BCBDBC BO CD OF解法二：作OML BA于M设O O的半径为壬2，即BCOFCDr,可得BM仝r ,2的值为2.OM , MOE =30 ,2ME =OM tan30 36r , BE=士 r, AE=r，所以些33CDOA的中点G作弦CE _ AB，在F、M .D

33、,S.EA求证：FDM s ：COM ;-16.如图，O O的直径为 AB，过半径 分别作直线CD、ED，交直线AB于点求.COA和.FDM的度数；如图，若将垂足G改取为半径 OB上任意一点，点 D改取在B上，仍作直线CD、ED ,分别交直线 AB于点F、M 试判断:若成立请证明你的结论16.解：(1)T AB 为直径，CEAB , AC =AE , CG=EG.1在 Rt COG 中， OGOC,. OCG =30 .二.COA=60 .21 cc又： CDE的度数=-CAE的度数=AC的度数=/COA的度数=60,2 . FDM =180 -/CDE =120 .(2)证明： . COM

34、=180 COA =120 , . COM 二.FDM .在 Rt ：CGM 和 Rt ：EGM 中,GM =GMCG = EG， Rt. CGM 也 Rt =EGM . . GMC GME. 又 . DMF - GME OMC - DMF . . FDM COM(3) 结论仍成立.证明如下：:匚FDM =180 ZCDE ,1 cc又： CDE的度数二 CAE的度数二CA的度数=/COA的度数,2 . FDM =180 -/COA COM AB 为直径，CE_AB ,在 Rt CGM 和 Rt EGM 中，；GM =GM、CG =EG， Rt CGM 也 Rt EGM . GMC =/GME

35、. FDM COM .三、圆与三角函数综合17.已知O O过点D（ 4, 3），点H与点D关于y轴对称，过H作O O的切线交y轴于点A （如 图1）。求OO半径；求sin HAO的值；如图2，设OO与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合）， 联结并延长DE DF交OO于点B C,直线BC交y轴于点G,若 DEF是以EF为底的等腰 三角形，试探索sin. CGO的大小怎样变化？请说明理由。17. (1)点D 4,3在O O上， O O的半径r(2) 如图1,联结 HD交OA于Q贝U HDL OA 联结 OH则OHL AH/OQ 3-/ HAOHOHQ- - sin HAO

36、二 sin OHQOH 5(3) 如图2,设点D关于y轴的对称点为 H,联结HD交OP于 Q贝U HDL OP BH =CH。联结 OH 则OHL BG / CGOWOHQGH EQP7D(4,3) sin CGO =si n OH-OQOH 5四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，O M的圆心在 x轴上，与坐标轴交于A( 0，V3 )、B (- 1 , 0),抛物线又 DE=DF DH 平分/ BDC32 2yx bx c经过A、B两点.求抛物线的函数解析式;(5)(6)的面积是多少?18.解:(1)：抛物线经过点A B,= c,0 晋 b C.3c =、3.- yx .3.设抛物线的

37、顶点为 P试判断点P与O M的位置关系，并说明理由;若O M与y轴的另一交点为 D,则由线段PA线段PD及弧ABD围成的封闭图形 PABD120-4:3(2)由 “3得 y三(x_1)2 W3顶点P的坐标为(1,在 Rt AOM中 ,MA2 mO=OA2,OA=J3 ,OB=1,MA2 (MA 1) 2 =3, MA=2. MB=2, MO=1,即点O的坐标为(1 , 0). MP=- 2.顶点P在圆外;(3)连结OD点M在抛物线的对称轴上， MP/ y 轴,由线段PA线段PD及弧ABD形成的封闭图形 PABD勺面积=扇形OAD勺面积.在 Rt AOM中 ,sin / AMO-3 , / AM

38、O=60 .2封闭图形PABD的面积=MA2二360B(1. 3,0).(3)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1, 3).19. 如图，在平面直角坐标系中，0是原点，以点 C( 1,1 )为圆心，2为半径作圆，交 x轴于A B两点，开口向下的抛物线经过点 A，B,且其顶点P在O C上.(1) 求/ ACB的大小；(2) 写出A, B两点的坐标；(3) 试确定此抛物线的解析式；(4) 在该抛物线上是否存在一点D,使线段0P与CD互相平分？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.19 .解：(1)作CHL x轴，H为垂足./ CH=1,半径 CB=2, / HBC30 /

39、BCH60。. / ACB=120.(2)T CH=1，半径 CB=2, HB =，故 A(1- .3,0),p设抛物线解析式为y二a(x-1)2，把点B(1 .3,0)代入解析式,解得a - -1 .所以目二-x2 2x 2 .(4) 假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形 OCPD是平行四边形.所以，.PC / OD 且 PC =OD .T PC / y轴，.点D在y轴上./ PC =2 , OD =2，即 D(0,2). D(0,2)满足 y = -x2 2x 2 ,点D在抛物线上.存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.20. (以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题)如图，半

40、径为1的O O1与x轴交于A、B2两点，圆心Oi的坐标为(2,0)，二次函数y=-x bx c的图象经过 A、B两点，其顶点为F (1 )求b, c的值及二次函数顶点 F的坐标；(2)将二次函数y - -X直线CA 的解析式为bx C的图象先向下平移 1个单位，再向左平移2个单位，设平P，使 PAC 的移后图象的顶点为C，在经过点B和点D 0, -3的直线|上是否存在一点周长最小，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由20.解：(1)由题意得,A(1 , 0),B(3,0).解得b = 4,c - -3.则有-10，厂9 + 3b + c = 0.二次函数的解析式为2-x 4x -3

41、- - x - 2 T .顶点F的坐标为(2, 1).2(2)将 y - - x - 2 1平移后的抛物线解析式为y - -xo，其顶点为C (0,0).直线l经过点B (3,0)和点D (0, - 3 ), 直线I的解析式为y=x-3 .作点A关于直线I的对称点A ,连接BA I CA , AA 直线I，设垂足为E，则有AE = AE , 由题意可知，ABE =45 , AB = 2 , EBA =45 ,过点A作CD的垂线，AB 二 AB =2 CBA =90 .垂足为 F , 四边形CFA B为矩形.FA =OB =3 . A 3,-2 .2y = _x3 的解为y = x _3.9x

42、,56y6直线CA与直线I的交点为点P -U 5丿五、以圆为背景的探究性问题21. 下图中，图(1)是一个扇形OAB将其作如下划分：第一次划分： 如图 所示，以0A的一半OA的长为半径画弧交 OA于点A,交0B于 点B,再作/ AOB的平分线，交 AB于点C,交AB,于点Ci,得到扇形的总数为6个，分 别为： 扇形OAB扇形OAC扇形OCB扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB ;第二次划分： 如图 所示，在扇形 OCBi中， 按上述划分方式继续划分，即以OC的一半OA的长为半径画弧交 OC于点A,交OB于点再作/ BOC的平分线，交 B1C1于点D，交A2B2于点D,可以得到扇形的总数为 11个

43、;第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分;0團第二次划分0图第1钦划分0图(4)第三次划分依次划分下去划次数扇光总个数1621134 * B! * n(4) 根据题意，完成右边的表格；(5) 根据右边的表格，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形 的总数为2008个？为什么？(6) 若图(1)中的扇形的圆心角/ AOB=m，且扇形的半径 OA的长为R我们把图 第一次划分的图形中，扇形 OAC1 (或扇形OC1B1)称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S;把图第二次划分的最小扇形面积记为S2；,把第n次划分的最小扇形面积记为Sn.求呈的值.5 121解：(1)划分次数扇形总个数1621

44、1316421n5n+1（2）不能得到2008个扇形，因为满足 5n+仁2008的正整数n不存在;(3)SnSn360m f R 了 ,尹尹36022. 圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作/AOBL AB （如图）；圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，1记作.AOB （AB CD）（如图）请回答下列问题：（1）如图，猜测.APB与AB、CD有怎样的等量关系,并说明理由；（2）如图，猜测.APB与AB、CD有怎样的等量关系，并说明理由（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）B理由如下:122.( 1) . PAB (A

45、B CD)OBPOAB过O点分别作EFLAC,MN_BD交o于E、F、APBEOMAE 二CF,BM 二 DN, AB CD =EM NFV EOM L 1(EM NF)1PAB (AB CD)(2) . PABL g(AB_CD)，理由如下：过O点分别作EF UAC,MNBD交_ o于E、F、M N,APB 二 EOMAE =CF,BM =DN,1.PAB (AB _CD).AB -CD =EM NF; . EOM L *(EM NF)23. 已知：半径为 R的O O 经过半径为r的O O圆心，O O与O O交于M N两点.（1）如图i,连接oo交O O于点C,过点C作OO的切线交O O于点A、B,求oaob 的值；（2）若