实验四线性系统的根轨迹解析

1、姓名:学号:得分:实验四线性系统的根轨迹一. 实验目的1. 熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。2. 利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。二、基础知识及MATLAB函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在S平而上的变化轨迹。 这个参数一般选为开环系统的增益K。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨 迹草图。而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位宜的 影响。假设系统的对象模型可以表示为G(5)= KG=s) = K勺点+$心+方

2、+也”|列+$ + 系统的闭环特征方程可以写成l + KG)(s) = O对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K的数值，则可 以得到一系列这样的极点集合。若将这些K的取值下得岀的极点位巻按照各个分支连接起 来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。绘制系统的根轨迹rlocus ()NfATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为:rlocus (num, den) rlocus (num, den, k) rlocus (p, z) r=rlocus(num, den)Lr, k =rlocus (num, den) fik.开环增益k的范用自动

3、设左。开环增益k的范困人工设世。依据开环零极点绘制根轨迹。不作图，返回闭环根矩阵。不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益向英中，num, den分别为系统开环传递函数的分子.分母多项式系数，按s的降幕排列。 K为根轨迹增益，可设泄增益范羽。例3-1:已知系统的开环传递函数G($) = K一，绘制系统的根轨迹的mat labr +4$- 4-25 + 9的调用语句如下：num=ll 1;%定义分子多项式den=l 4 2 9;%泄义分母多项式rlocus (num;den)%绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线xlabel( *Real Axis* ), idabel(* Imaginary

4、 Axis)%给坐标轴加上说明title( Root Locus)%给图形加上标题需则该系统的根轨迹如图3-1 (a)所示。若上例要绘制K在(1, 10)的根轨迹图，则此时的matlab的调用格式如下，对应的根 轨迹如图3-1 (b)所示。num=.l 1J; den=Ll 4 2 9J; k=l:0. 5:10;rlocus (num;den;k)fM L0CU2血3(a)完整根轨迹图形(b)特立增益范用内的根轨迹图形k,r=rlocfind(G)G_c=fccdback(G 1 )；stcp(G_c)%绘制闭环系统的阶跃响应曲线图3系统的根轨迹图形1)确泄闭环根位置对应增益值K的函数rlo

5、cfind ()在MATLAB中，提供了 rlocfind函数获取与特左的复根对应的增益K的值。在求出的 根轨迹图上，可确圧选左点的增益值K和闭环根r (向呈：)的值。该函数的调用格式为：k.r=rlocfind(nuniden)执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus (num.den),作出根轨迹图。执行rlocfind命令 时，岀现提示语句Select a point in the graphics window即要求在根轨迹图上选立闭环极 点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确左，根轨迹图上出现“+”标记，即得到 了该点的增益K和闭环根r的返回变量值。例32系统的开环传递函数为G

6、($) = K+Z),试求：(1)系统的根轨迹；(2) F+8+3s + 25系统稳左的K的范帀：(3) K=1时闭坏系统阶跃响应曲线。则此时的matlab的调用格式为:G=tf(l,5,6; 1,8,3,25);rlocus (G);%绘制系统的根轨迹%确定临界稳圧时的增益值k和对应的极点r%形成单位负反馈闭环系统则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图32所示。其中，调用rlocfind ()函数，求岀系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为0.0264,故系统稳左的K的范用为A： g(0.0264.co) o7 u i 1助(a)根轨迹图形图3-2(b) K=1时的阶跃响应曲线 系

7、统的根轨迹和阶跃响应曲线三、实验内容1 请绘制下而系统的根轨迹曲线Ks(s2 + 2$ + 2)(.v2 +65 + 13)G(s)=K(s +(5 + l)(s2+ 125 + 100)(5 + 10)G(5)=K()0W)5(0.07145 +1)(0.012/ +0.15 + 1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。四、实验报告1 根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的结果。2. 记录显示的根轨迹图形，根据实验结果分析根轨迹的绘制规则。3. 根据实验结果分析闭环系统的性能，观察根轨迹上一些特殊点对应的K值，确定闭 环系统稳定的范围。4. 写出实验的心

8、得与体会。五、预习要求1. 预习实验中的基础知识,运行编制好的MATLAB语句，熟悉根轨迹的绘制函数rlocus0 及分析函数 rlocfindO, sgridO 02. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法，思考当系统参数K变化时，对系统稳左性 的影响。四：1. G(s) = ；5(5* + 2$ + 2)(5- +65 + 13)(1) 程序代码：G=tf(1,1,8,27,38,26);rlocus (G);kf r=rlocfind(G)G_c=feedback(Gz1);step(G_c)(2) 实验结果：Root LocusReal Axisselectedpoint =-8. 88

9、15 + 9. 4658ik =1.8560e+04r =-10.2089 + 8.3108i-10.2089 - 8.3108i6.2089 + 8.2888i6. 2089 - 8. 2888iselectedpoint =-9 5640 - 7.6273ik =1.3262e+04-9. 5400 + 7. 6518i-9.5400 - 7.6518i5. 5400 + 7. 6258i5. 5400 - 7. 6258iselected_point =0.8436 + 1. 11801 k =3. 6752-3.1044 + 2.01941-3.1044 - 2.0194i-0. 89

10、56 + 1.1669i-0. 8956 - 1.1669i selected_point0.0095 + 2.1118i73. 9872-3.9617 + 2.4724i-3.9617 - 2.4724i-0.0383 + 2.1409i-0.0383 - 2.14091(3)结果分析：根轨迹与虚轴有交点，所以在K从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。由根 轨迹图和运行结果知，当0Kr=rlocfind(G)G_c=f eedback(G, 1);step(G_c)(2) 实验结果：selectedpoint =-11.9076 + 2.6398i k =1.3433e+03r =0.4

11、698 +10. 6207i0.4698 -10. 6207i-11.9698 + 2. 8634i-11.9698 - 2. 8634i selected_point =0. 0355 + 9. 7826ik =1.0505e+03-11.3838 + 2. 9674i-11.3838 - 2. 9674i-0.1162 + 9. 9146i-0.1162 - 9.9146i(3) 结果分析：根轨迹与虚轴有交点，所以在K从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。由 根轨迹图和运行结果知，当0K r=rlocfind(G) G_c=f eedback(G, 1); step(G_c)(2) 实

12、验结果： selected_point =-27. 6540 + 0.1863i k =521. 8293r =13.9393 +27. 9598113.9393 -27. 9598i-27.6515-22.5660 selectcdpoint =0. 0711 + 8. 3851i k =7. 8321r =-0.0336 + & 5173i-0 0336 - & 5173i-11.1359 + 1.41311-11.1359 - 1.4131i(3) 结果分析：根轨迹与虚轴有交点，所以在K从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。由 根轨迹图和运行结果知，当0K7. 832时，系统总是稳定

13、的.2.由以上根轨迹图知，根轨迹起于开环极点，终于开环零点。在复平而上标出系统的开环 零极点后，可以根据苴零极点数之和是否为奇数确左其在实轴上的分布。根轨迹的分支数等 于开环传递函数分子分母中的最高阶次，根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的。当开 环传递函数的分子阶次高于分母阶次时，根轨迹有n-m条沿着英渐近线趋于无穷远处。根轨 迹位于实轴上两个相邻的开环极点或者相邻零点之间存在分离点，两条根轨迹分支在复平面 上相遇在分离点以某一分离角分开，不在实轴上的部分，根轨迹以起始角离开开环复极点，以 终止角进入开环复零点。有的根轨迹随着K的变化会与虚轴有交点。在画图时，确左了以上 的各个参数或者特殊点后，就可得系统的根轨迹概略图。4. 本次实验我们首先熟悉了 MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式