江苏省常州市武进区2013届高三数学上学期期中考试试题文苏教版VIP

1、武进区教育学会20122013 学年度第一学期期中高 三 文 科 数 学 试 题一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合Mx x24 ， Nx x ln x0 ，则集合 MN =2 已 知 向 量 a(cos35 ,sin 35 ),b(cos 65 ,sin 65 ) ， 则 向 量 a 与 b 的 夹 角 为3设直线 l 是曲线 f (x)x33x2 上的一条切线，则切线l 斜率最小时对应的倾斜角为4 ysin 2 x2sin x cos x 的周期是5公比为 2 的等比数列 an 的各项都是正数，且a4a10 16 ，则 a

2、106若实数 x 满足 log 2 xcos2 ，则 x8x 2 =7已知向量 a, b 满足 | a |5,| b |13 ， cos65. 若 kab 与 a3b 垂直，a,b65则 k8一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上 . 如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为cm2 9等差数列an 中，已知 a27 ， a69 ，则 a10 的取值范围是10 已 知A 、 B 、 C是 直 线l上 的三 点 ， 向 量OA, OB,OC满 足O A f x 2 f ( 1 ) x O B l n x O Cf ( x) 的表达式为，则函数 y11 已知 f ( x)

3、log3 (x 3)，若实数m, n 满足 f ( m)f (3 n) 2,则 mn 的最小值为12过点 C(2 ，5) 且与 x 轴， y 轴都相切的两个圆的半径分别为r1, r2 ，则 r1r2 =13给出以下命题：用心爱心专心1（1）在 ABC中， sin Asin B 是 A B 的必要不充分条件；（2）在 ABC中，若 tan Atan BtanC0 ，则 ABC一定为锐角三角形；（3）函数 yx 11x 与函数 ysinx, x 1 是同一个函数；（4）函数 yf (2 x 1) 的图象可以由函数yf (2 x) 的图象按向量 a(1,0) 平移得到 .则其中正确命题的序号是（把所

4、有正确的命题序号都填上）14数列 an 满足 an 1(1)n ann ，则 a n 的前 40 项和为二、解答题：（本大题共6 道题，计90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分14 分）设函数 f ( x)sin(2x) (0) . yf ( x) 图像的一条对称轴是直线（1）求函数f (x) 的解析式；（2）若 f ()3 ,(0,) ，试求 f (5) 的值 .25816（本题满分14 分）长方体 ABCDA1 B1C1D1 中， AD1 ， AB2， P 、 Q 分别是 CD1 和求证：（ 1） PQ面 ABCD ；（ 2）面 DPQ面 BB1D1D .D1

5、A1QDx 8A1 A 的中点，C1B1PCAB用心爱心专心217（本题满分14 分）已知 fxaxln x, x0,e ，其中 e是自然常数，aR.(1) 当 a 1 时，求 f ( x) 的单调区间和极值；(2)若 f ( x)3 恒成立，求 a 的取值范围 .18（本题满分16 分）已知曲线 C： x2y22ax2(a-1)y1 2a0 .（ 1）证明：不论 a 取何实数，曲线 C必过定点；（ 2）当 a 1时，若曲线 C与直线 y2x 1 相切，求 a 的值 . ；（ 3）对所有的aR且a 1，是否存在直线l与曲线 总相切？如果存在，求出l的方程；C如果不存在，请说明理由.用心爱心专心

6、319（本题满分16 分）2各项均为正数的数列an 中，前 n 项和 Snan 1 .2(1) 求数列 an 的通项公式；111k 恒成立，求 k 的取值范围；（2）若a2a3anan 1a1a2(3) 对任意 mN *，将数列 an中落入区间 (2 m , 22 m ) 内的项的个数记为bm ，求数列 bm的前 m 项和 Sm .20（本题满分16 分）设函数 f (x) ax3bx2cxd 是奇函数，且当x3 时， f ( x) 取得极小值23 .（1）求函数 f (x) 的解析式；39（2）求使得方程1 f ( x)nx 4n10 仅有整数根的所有正实数n 的值；33（3）设 g( x)

7、 |f ( x)(3t1) x | ，（ x 1,1），求 g(x) 的最大值 F (t) 用心爱心专心4武 区 2012 2013 学年度第一学期期中 研 高三文科数学试 分 准一、填空 （本大 共14 小 ，每小 5 分，共 70 分）1 1,22 303 12045 32 6 107 198 16 289 11,10 f xln x2x 1311 2 3412 1413（ 2）、（ 3）14 420二、解答 ：（本大 共6 道 ， 90 分）15（本小 分14 分）解：（ 1） x是函数 yf (x) 的 象的 称 ，8 sin(28)1，k, k Z ， 2 分420 ，3 4 分，3

8、4故 f ( x) 6 分sin(2 x3 ,4（2）因 f ( )(0,) ，253334所以 sin()， cos(4)4558 分故 sinsin(3)3 sin(3 )cos 3cos(3) sin 34444442 (43)2 11 分25510而 f (5sin2(5)3sin(2)cos2)8842 12sin 212(2) 224.10255)24 14 分所以， f (.825用心爱心专心516（本 分 14 分） 明：取 CD 中点 M ， 接 AM 、 PM .P 、 Q 分 是 CD1 和 A1 A 的中点，PM1 D1D ， PM1 D1 D ， 222分PMAQ ，

9、 PMAQ ， 四 形 AMPQ 是平行四 形，PQAM ， 5分又AM面 ABCD， PQ面 ABCD . 7PQ面ABCD分 AD1， AB2 ， DM2，AD 2AB DM ，2ADM BAD ，DAMABD ，AMBD ，PQAM ， PQBD ，10 分又 方体 ABCD A1B1C1D1 ，B1B 面 ABCD ，AM面 ABCD ，B1 BAM ，A1AMPQ ， PQB1 B ，12 分BD B1 B BQ又BD面 BB1D1D ，PQ面 BB1D1 D ，B1B面 BB1D1DAPQ面 DPQD1C1B1PDMCB面 DPQ面 BB1D1D . 14 分17（本 分14 分）

10、解： (1)fxxln xf ( x) 11x1 2 分1 ， f xxx当 0x0 ，此 f x 减；当 1xe ， f x0 ，此 fx 增 . 4 分当 f ( x) 的极小 f11， f ( x) 无极大 6 分（2）法一：fxaxln x,x0,e， axln x3在 x0,e 上恒成立，用心爱心专心6即 a3ln x 在 x0, e 上恒成立，8 分xx令 g( x)3ln x0,e，xx， x g ( x)31ln x2ln x 10 分x2x2x 2令 g( x)0， x1，2e当 0x1 ， fx0 ，此 fx 增，e2当 1xe ， f x0 ，此 fx 减， 12 分e2

11、 g (x)maxg( 1 )3e22e2e2 ，e2 ae2 . 14 分法二：由条件：axln x30 在 x0,e上恒成立令 g( x)axln x3 ， x0,e ， g ( x)a1ax 1， 8 分xx1a1 ， g ( x)0恒成立， g ( x) 在0,e上 减，e g( x)ming(e)ae4 ；由条件知ae40 a4与 a1矛盾 . 10ee分2a1 ，令 g ( x)0 ， x1ea当 0x1 ， f x0 ，此 fx 增，a当 1xe ， f x0 ，此 fx 减，ag (x)maxg(1ln a2 ，)a ln a 20, 12 分即 ae2 . 14 分18（本

12、分 16 分）解： (1) 明 : 曲 C的方程可 形 x2y22 y12 x2y2 a 0 ，x2y22 y 10 2 分由2x2 y20，解得x 1，点 1,0 足 C的方程，y0用心爱心专心7故曲 C 定点 1,0 . 4 分(2) 原方程配方得xa2ya22 a21，所以 220 ，11; 由于 aa 1所以 C的方程表示 心是a, a1，半径是2 a1的 . 6 分由 意得 心到直 距离da 8 分，5 2a1a，解得 a1010 10 分59.（ 3）法一：由（2）知曲 C表示 心坐 x, y ， 有xa ，y a1消去 a 得 yx1，故 心必在直 yx1 上 .又曲 C 定点1

13、,0，所以存在直 l与曲 C 相切， 12 分直 l 点 1,0且与直 yx1垂直； l 方程 y( x1) 即 yx1. 16 分法二：假 存在直 l 足条件， 然l不垂直于 x ， l : y kxb ， 心到直 距离dkaba11k 2， kaba12 a1 所有的 aR 且 a1 都成立，12 分1k 2即 (k1)2 a22(2 k 2kkb b 1)a2( k1)2(b1)20 恒成立(k1)20k12k 2kkbb10b12(k1)2(b1)20存在直 l： y( x1) 即 yx1与曲 C 相切 .16 分19（本 分 16 分）an2an-12解：(1)S1，S1, n2 ，

14、n2n -12用心爱心专心8an2an -12两式相减得 an11, n2， 2 分22整理得 aaaa20 ，nn -1nn-1数列 an的各 均 正数，anan-12, n 2 ，an是公差 2 的等差数列， 4 分a112又 S1得 a11，an2n1. 5 分2（2）由 意得 k111，a1 a2a2a3an an 1max11111，an an 12n 1 2n 1 2 2n 1 2n 11111111111a1a2a2a3anan 1233 52n 1 2n 11111 8 分22n12k1 10 分2122 m 11(3) 任意 mN ， 2m2n122 m ， 2m 1n，22

15、而 nN * ，由 意可知 bm22 m 12m 1， 12 分于是 Smb1b2bm212322m 1(2 0212m 1)2 22 m 11 2m22m 122m122m 13 2m 1 ，1221233即 Sm22 m 13 2m1 16 分3.20（本 分16 分）解：（ 1）f (x) 奇函数，bd0 ， 2 分又由 f(3 )0 及 f (3 )23，得 a1,c1，339f ( x)x3x ； 4 分用心爱心专心9当 x30 ，当3x3 ， f ( x)3时 f (x) 0 ，33f (x) 在 x3 取得极小 ，f ( x)x3x 所求 5 分131（2）方程f (x)nx4n

16、0 化 得： x2nx 4n0 ，33因 方程 有整数解，故n 整数，又由 x2n( x4) 及 n0 知， x40 . 7 分x2(x4)168 ，故 x4为 16的正 数， 9 分又 n4( x4)x所以 x 4 1,2,4,8,16， 而得到 n16,18,25 . 10 分（3）因 g( x)| x33tx |, x1,1是偶函数，所以只要求出g ( x) 在 0,1 上的最大 即可. 记 h( x) x33tx ，h (x)3x23t3(x2t ) ，（1） t0 ， h ( x)0， h( x)在0,1上 增且 h( x) h(0) 0. g (x)h( x) ，故 F (t)h(1)13t ； 12 分（2） t0 ，由h (x)0得，xt , 和 xt ，当 t1即 t1