2020年九年级数学中考三轮压轴每日一练：《二次函数与半角、倍角、等角问题》(解析版)

1、三轮压轴每日一练：二次函数与半角、倍角、等角问题1如图，抛物线 y（x3）（x2a）交 x 轴于 a、b 两点（点 a 在点 b 的左侧）， （1） 求抛物线的函数表达式；（2） 如图，连接 bc，点 p 在抛物线上，且bco pba求点 p 的坐标；（3） 如图，m 是抛物线上一点，n 为射线 cb 上的一点，且 m、n 两点均在第一象限内，b、n 是位于直线 am 同侧的不同两点，tanamn2，点 m 到 x 轴的距离为 2l，amn 的面积为 5l，且anbmbn，请问 mn 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果 不是，请说明理由12抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于

2、a、 b 两点（点 a 在 b 左边），与 y 轴交于点c（1）如图 1，已知 a（1，0），b（3，0）1 直接写出抛物线的解析式；2 点 h 在 x 轴上，m（1，0），连接 ac、mc、hc，若 cm 平分ach，求 h 的坐标；（2）如图 2，直线 y1 与抛物线 yx2+bx+c 交于抛物线对称轴右侧的点为点 d，点 e 与点 d 关于 x 轴对称试判断直线 db 与直线 ae 的位置关系，并证明你的结论3抛物线 yx+c 交 x 轴于 a、b 两点（b 在 a 左侧），交 y 轴于 c，ab10（1） 求抛物线的解析式；（2） 在 a 点右侧的 x 轴上取点 d，e 为抛物线上第二

3、象限内的点，连接 de 交抛物线另外 一点 f，tanbde ，df2ef，求 e 点坐标；（3） 在（2）的条件下，点 g 在 x 轴负半轴上，连接 eg，ehab 交抛物线另外一点 h，点 k 在第四象限的抛物线上，设 de 交 y 轴于 r，ehkegd+ord，当 hkeg，求 k 点坐标24已知抛物线 yax23ax+m 与 x 轴交于 a（1，0）、b（x ，0）两点，与 y 轴正半轴交2于点 c，且满足5abc（1） 求此抛物线的对称轴和解析式；（2） 点 d 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，在直线 bc 上找一点 q，使 qa+qd 最小，求 qa+qd 的最小值；（3） 在

4、第一象限的抛物线上是否存在点 p，使得pca+abc180？若存在，请你求 出 p 点的坐标；若不存在，请说明理由5如图，已知直线 ab：yx3 与 x、y 轴分别交于 a、b 两点；抛物线 yx22xm 与 y 轴交于 c 点，与线段 ab 交于 d、e 两点（d 在 e 左侧）（1） 若 d、e 重合，求 m 值；（2） 连接 cd、ce，若bcdbec，求 m 值；（3） 连接 od，若 odce，求 m 值36已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 a（2，0）和点 b，与 y 轴交于 c，对称轴为直线 x （1）求 a、b 满足的关系式；（2）若点 d 为抛物线的顶点

5、，连接 cd，db，bc，bcd1 求抛物线的解析式；2 点 m 是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点 m 作 mnx 轴，垂足为点 n，线段 mn 上有一点 h，若hba+mab90，求证：hn 的长为定值7如图，抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 a（1，0）、b（3，0）两点，交 y 轴于点 c，连接 bc（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 p 是抛物线上一点，设 p 点的横坐标为 m1 当点 p 在第一象限时，过点 p 作 pdx 轴，交 bc 于点 d，过点 d 作 dey 轴，垂足为 e，连接 pe，当pde 和boc 相似时，求点 p 的坐标；2 请直接写出使pba

6、abc 的点 p 的坐标48已知如图，抛物线 yax2+bx4（a0）交 x 轴于 a、b 两点（a 点在 b 点的左侧），交 y 轴于点 c已知 oaoc2ob（1） 求抛物线的解析式；（2） 已知直线 y2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点 e， ace 的面积；（3） 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 p，使pabeac，若存在，请直接写出 点 p 的坐标；若不存在，请说明理由9如图，已知：抛物线 ya（x+1）（x3）与 x 轴相交于 a、b 两点，与 y 轴的交于点 c （0，3）（1） 求抛物线的解析式的一般式（2） 若抛物线上有一点 p，满足acopcb，求 p 点坐标（

7、3） 直线 l：ykxk+2 与抛物线交于 e、f 两点，当点 b 到直线 l 的距离最大时，求 bef 的面积510如图，抛物线yx2+bx+c 交 x 轴于 a，b 两点，交 y 轴于点 c，直线 y x+2 经过 点 b，c（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 p 是直线 bc 上方抛物线上一动点，设点 p 的横坐标为 m pbc 面积最大值和 此时 m 的值；（3） q 是抛物线上一点，若abccbq，直线 bq 与 y 轴的交点 m，请直接写出 m 的坐 标11抛物线 yax2+c 经过点（0，1），交 x 轴于 a（1，0），b 两点，点 p 是第一象限内抛物线上一动点（1） 直接

8、写出抛物线的解析式；（2） 如图 1 已知直线 l 的解析式为 yx2，过点 p 作直线 l 的垂线，垂足为 h，当 ph时，求点 p 的坐标；（3）如图 2，当apb45时，求点 p 的坐标612如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+x+c 交 x 轴于点 a、点 b，交 y 轴于点 c直线 y x+2 经过于点 c、点 b，（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 d 为第一象限抛物线上一动点，过点 d 作 y 轴的平行线交线段 bc 于点 e，交 x 轴于点 q，当 de5eq 时，求点 d 的坐标；（3） 在（2）的条件下，点 m 为第二象限抛物线上一动点，连接 dm，dm 交线段

9、oc 于点 h，点 f 在线段 ob 上，连接 hf、df、dc、db，当 hf ，cdb2mdf 时，求点 m 的坐标13如图 1，抛物线 c ：yax2+c 的顶点为 a，直线 l：ykx+b 与抛物线 c 交于 a，c 两点，1 1与 x 轴交于点 b（1，0），且 oa2ob，4oac（1） 求直线 l 的解析式；（2） 求抛物线 c 与 x 轴的交点坐标；1（3）如图 2，将抛物线 c 向下平移 m（m0）个单位得到抛物线 c，且抛物线 c 的顶点1为 p，交 x 轴负半轴于点 m，交射线 bc 于点 n，nqx 轴于点 q，当 np 平分mnq 时，求 m 的值714如图，抛物线

10、yx2（a+1）x+a 与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 位于点 b 的左侧）， 与 y 轴交于点 c已知abc 的面积为 6（1） 求这条抛物线相应的函数表达式；（2） 在抛物线上是否存在一点 p，使得pobcbo，若存在，请求出点 p 的坐标；若 不存在，请说明理由；（3） 如图，m 是抛物线上一点，n 是射线 ca 上的一点，且 m、n 两点均在第二象限内，a、n 是位于直线 bm 同侧的不同两点若点 m 到 x 轴的距离为 d，mnb 的面积为 2d，且 mananb，求点 n 的坐标815如图，已知二次函数 yax2+bx 的图象与 x 轴交于点 o（0，0）和点 b，抛物线的对

11、称轴是直线 x3点 a 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点 a 作 acx 轴，垂足为 cs3aob，ac2oc bc abc（1） 求该二次函数的解析式；（2） 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 m连接 am，点 n 是线段 oa 上的一点当amn aom 时，求点 n 的坐标；（3） 点 p 是抛物线上的一个动点点 q 是 y 轴上的一动点当以 a，b，p，q 四个点为 顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 p 坐标9参考答案与试题解析1如图，抛物线 y（x3）（x2a）交 x 轴于 a、b 两点（点 a 在点 b 的左侧）， （1） 求抛物线的函数表达式；（2） 如图，连接 bc，点

12、p 在抛物线上，且bco pba求点 p 的坐标；（3） 如图，m 是抛物线上一点，n 为射线 cb 上的一点，且 m、n 两点均在第一象限内，b、n 是位于直线 am 同侧的不同两点，tanamn2，点 m 到 x 轴的距离为 2l，amn 的面积为 5l，且anbmbn，请问 mn 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果 不是，请说明理由解：（1）把 y0 代入抛物线 y（x3）（x2a）， 得 x3 或 x2a，点 a 在点 b 的左侧，a（2a，0），b（3，0），a1抛物线的函数表达式为：yx2x6；10（2）如图，作线段 bc 的垂直平分线交 y 轴于点 d，此时 dcdbd

13、cdb，dcbdbc，odbdcb+dbc2bco， bco pbapba2bco，odbpba，tanodbtanpba，设 p（m，m2m6），dcdbn，c（0，6），b（3，0）， oc6，ob3，od6n，在 bod 中，（6n）2+32m2，解得 ， ，tanodbtanpba11即 ，解得，点 p 的坐标为；（3）mn 的为定值，定值为 5a（2，0），b（3，0），点 m 到 x 轴的距离为 2l，5lamnabmamnabm 和amn 同底 am，点 b、n 到直线 am 的距离相等，ambn，mananb，ambmbn，abcmab anbmbnmanambtanabc 2

14、，tanamn2mabamn（asa），mnab5mn 的为定值，定值为 52抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 a、 b 两点（点 a 在 b 左边），与 y 轴交于点c（1）如图 1，已知 a（1，0），b（3，0）121 直接写出抛物线的解析式；2 点 h 在 x 轴上，m（1，0），连接 ac、mc、hc，若 cm 平分ach，求 h 的坐标；（2）如图 2，直线 y1 与抛物线 yx2+bx+c 交于抛物线对称轴右侧的点为点 d，点 e 与点 d 关于 x 轴对称试判断直线 db 与直线 ae 的位置关系，并证明你的结论解：（1）把 a（1，0），b（3，0）代入 yx2+b

15、x+c 中，得， ，抛物线的解析式为 yx2+2x+3；过 h 作 hnac 与 cm 的延长线交于点 n，如图 1acmhnm， ，acnn，cm 平分ach，hcnacncnh， chnh， ，c（0，3），ac ，am2， ，13 ，设 mh2a，则 cha，oc2+oh2ch2， ，解得，a1（舍去），或 a ，ohom+mh1+2a ， h（ ，0）；（3）当 y1 时，yx2+bx+c1，则 x2bxc10，x ，d（ ，1），当 y0 时，yx2+bx+c0，即 x2bxc0，则 x ， ， ， 设 de 与 x 轴交于点 k，则 bk ， ，14又 ak ，bdkeak，dea

16、k，eak+e90，bdk+e90，bdae ，3抛物线 yx+c 交 x 轴于 a、b 两点（b 在 a 左侧），交 y 轴于 c，ab10（1） 求抛物线的解析式；（2） 在 a 点右侧的 x 轴上取点 d，e 为抛物线上第二象限内的点，连接 de 交抛物线另外 一点 f，tanbde ，df2ef，求 e 点坐标；（3） 在（2）的条件下，点 g 在 x 轴负半轴上，连接 eg，ehab 交抛物线另外一点 h，点 k 在第四象限的抛物线上，设 de 交 y 轴于 r，ehkegd+ord，当 hkeg，求 k 点坐标解：（1）由 y x2 x+c，可得对称轴为 x4ab10，点 a 的坐

17、标为（1，0），点 b（9，0）15 12 1+c0， c3抛物线的解析式为 y x2 x+3；（2）如图 2，作 emx 轴，垂足为点 m，fnx 轴，垂足为点 n，ftem，垂足为点 ttmnfnmmtf90，四边形 ftmn 为矩形， emfn，ftbdbdeeft，tanbde ，taneft ，设 e（3m，y ），f（m，y ）e f y x2 x+3 过点 e、f，则 y y m（3m2+8m+3）（ m2 e f+ m+3），解得 m0（舍去）或 m1，当 m1 时，3m3，y （3） e2 （3）+38e（3，8）（3）如图 3，作 emx 轴，垂足为点 m，过点 k 作 k

18、red，与 ed 相交于点 r，与 x 轴相 交于点 q16ker+edh90，egm+gem90，edhegm， kergem，在egm 和ekr 中，egmekr（aas），emer8，tanbde ed10，dr2，dq ，q（ ，0），可求 r（ ， ）直线 rq 的解析式为：y x+ ，设点 k 的坐标为（x， x+ ）代入抛物线解析式可得 x11k（11，8）4已知抛物线 yax23ax+m 与 x 轴交于 a（1，0）、b（x ，0）两点，与 y 轴正半轴交2于点 c，且满足5abc（1） 求此抛物线的对称轴和解析式；（2） 点 d 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，在直线 bc

19、 上找一点 q，使 qa+qd 最小，求 qa+qd 的最小值；（3） 在第一象限的抛物线上是否存在点 p，使得pca+abc180？若存在，请你求17出 p 点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线解析式为：yax23ax+m，对称轴为 x ，且点 a（1，0）， 点 b（4，0），ab5，5abc aboc5，oc2，点 c（0，2）设抛物线解析式 ya（x+1）（x4），且过点（0，2）24a，a抛物线解析式为：y （x+1）（x4） x2+ x+2；（2）如图，作点 d 关于直线 bc 的对称点 d（ ，2），连接 ad交 bc 于点 q，点 a（1，0），d（ ，2），18ad

20、qa+qd 的最小值为；，（3）如图，连接 ac，延长 pc 交 x 轴于 e，设 e（m，0）pca+abc180，pca+eca180， ecaebc，又ceaceb，ecaebc，ec2ea eb，m2+4（1m）（4m）， m ，点 e（ ，0），点 c（0，2），点 e（ ，0），直线 ec 解析式为：y x+2，联立方程组可得：或点 p（ ， ）5如图，已知直线 ab：yx3 与 x、y 轴分别交于 a、b 两点；抛物线 yx22xm 与 y轴交于 c 点，与线段 ab 交于 d、e 两点（d 在 e 左侧）19（1） 若 d、e 重合，求 m 值；（2） 连接 cd、ce，若bc

21、dbec，求 m 值； （3）连接 od，若 odce，求 m 值解：（1）把 yx3 代入抛物线 yx22xm 中，得 x23x+3m0，d、e 重合，94（3m）4m30，m ；（2）yx3 与 x、y 轴分别交于 a、b 两点；抛物线 yx22xm 与 y 轴交于 c 点， b（0，3），c（0，m），bc3m，解方程组得， ， ，bd ，bebcdbec，cbdebc，bcdbec，即 bc2bd be，解得，m1 或 3，当 m3 时，b 与 c 重合，不符合题意，舍去， m1；，20（3）odce，od2ce2，+ ，即，解得，m0，或 m5，当 m0 时，m5 ，无意义，应舍去，

22、6已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 a（2，0）和点 b，与 y 轴交于 c，对 称轴为直线 x （1）求 a、b 满足的关系式；（2）若点 d 为抛物线的顶点，连接 cd，db，bc，bcd1 求抛物线的解析式；2 点 m 是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点 m 作 mnx 轴，垂足为点 n，线段 mn 上有一点 h，若hba+mab90，求证：hn 的长为定值解：（1）抛物线的对称轴为直线 x ， ，即 ba，a、b 满足的关系式为 a+b0；（2）抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x ，且抛物线与 x 轴的一个交点 a 的坐标为（2，0），抛物

23、线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标为（3，0）设抛物线的解析式为 ya（x+2）（x3）， 即 yax2ax6a，当 x0 时，y6a，c（0，6a），设直线 bc 的解析式为 ykx+m（k0），21将 b（3，0），c（0，6a）代入直线 bc 的解析式得， ，解得 ， 直线 bc 的解析式为 y2ax6a，如图 1，设直线 bc 交抛物线的对称轴于点 e，e（ ，5a），d（ ， ），dea（5a） a，bcd+bdeced de （x x ） b c （ ）3 ， ，bcda1，抛物线的解析式为 yx2+x+6；如图 2，a（2，0），b （3，0），mnx 轴，22hnbanm90

24、，bhn+hbn90，又hba+mab90，bhnmab，bnhmna， ，设 m（t，t2+t+6），则 n（t，0）， ，hnhn 的长为定值，7如图，抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 a（1，0）、b（3，0）两点，交 y 轴于点 c，连 接 bc（1）求抛物线的解析式；23（2）点 p 是抛物线上一点，设 p 点的横坐标为 m1 当点 p 在第一象限时，过点 p 作 pdx 轴，交 bc 于点 d，过点 d 作 dey 轴，垂足为 e，连接 pe，当pde 和boc 相似时，求点 p 的坐标；2 请直接写出使pba abc 的点 p 的坐标解：（1）抛物线 yax2+bx+4

25、交 x 轴于 a（1，0）、b（3，0）两点， ，解得， ，抛物线的解析式为： ；（2）令 x0，得 4，c（0，4），oc4，b（3，0），ob3，设直线 bc 的解析式为 ykx+n（k0），则 ，解得，直线 bc 的解析式为：y ，设 p（m， ），则 d（m， ）， dp ，dem， ，bocpde90，当pde 和boc 相似时，有两种情况：24当pdeboc 时，则，即 ，解得，m，p（ ，）；当pdecob 时，则，即 ，解得，m2，p（2，4）综上，当pde 和boc 相似时，点 p 的坐标（ ， ）或（2，4）；过 b 作 bp 平分abc，交抛物线于点 p，交 oc 于点

26、m，过 m 作 mnbc 于点 n，如图 1，则pba abc，ommn， 在 bom 和 bnm 中，rtbomrtbnm（hl），bnbo3，设 omt，则 mnmot，cm4t，cnbcbnmn2+cn2mc2，32，t2+22（4t）2，t ，m（0， ），25设 bm 的解析式为：ymx+ （m0）， 代入 b（3，0）得，m ，直线 bm 的解析式为：y，解方程组得， ， ，p（ ， ），取 m（0， ）关于 x 轴的对称点，k（0， ），连接 bk，延长 bk，交抛物线于点 p， 如图 2 所示，则abp abc，设直线 bk 的解析式为 ypx（p0），代入 b（3，0）得，p

27、 ，直线 bk 的解析式为：y ，解方程组p（ ， ），得 ， ，综上，使pba abc 的点 p 的坐标为（， ）或（ ， ）8已知如图，抛物线 yax2+bx4（a0）交 x 轴于 a、b 两点（a 点在 b 点的左侧），交26y 轴于点 c已知 oaoc2ob（1） 求抛物线的解析式；（2） 已知直线 y2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点 e， ace 的面积；（3） 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 p，使pabeac，若存在，请直接写出 点 p 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对于抛物线 yax2+bx4， 令 x0，则 y4，c（0，4），oc4，oaoc2ob，o

28、a4，ob2，a（4，0），b（2，0），点 a，b 在抛物线 yax2+bx4 上， ， ，抛物线的解析式为 y x2+x4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y x2+x4，直线 y2x+m与抛物线有且只有一个交点 e，联立得， ， x2x（4+m）0，271+4 （4+m）0， m ， x2x 0，x x 1，1 2e（1， ），直线 ae 的解析式为 y x2如图 1，记直线 ae 与 y 轴的交点为 f，则 f（0，2）， cf|x x | 2|1（4）|5； ace e a（3）由（2）知，e（1， ），、当点 p 在 x 轴上方时，如图 2，将线段 ae 以点 e 为旋转中心顺

29、时针旋转 90得到线段 eg，连接 ag，则eag45， 在 aoc 中，oaoc，oac45eag，caeoag，点 p 是 ag 与抛物线的交点，过点 e 作 mnx，过点 a 作 ammn 于 m，过点 g 作 gnmn 于 g，a（4，0），e（1， ），am ，me5，ameeng90，mae+aem90，由旋转知，aeeg，aeg90，aem+neg90，maeneg，ameeng（aas），enam ，gnme5，28n（ ， ），g（ ， ），直线 ag 的解析式为 y x+ ，抛物线的解析式为 y x2+x4，联立解得，p（ ， ），或 ，、由知，点 g 的坐标为 g（ ，

30、），n（ ， ）， 点 g 与点 n 关于 x 轴对称，点 p 是直线 an 与抛物线的交点，a（4，0），直线 an 的解析式为 y x ，联立，解得，或 ，p（ ， ），即满足条件的点 p 的坐标为 p（ ， ）或（ ， ）299如图，已知：抛物线 ya（x+1）（x3）与 x 轴相交于 a、b 两点，与 y 轴的交于点 c （0，3）（1） 求抛物线的解析式的一般式（2） 若抛物线上有一点 p，满足acopcb，求 p 点坐标（3） 直线 l：ykxk+2 与抛物线交于 e、f 两点，当点 b 到直线 l 的距离最大时，求 bef 的面积解：（1）把 c（0，3）代入 ya（x+1）（x

31、3），得3a3，解得 a1，所以抛物线解析式为 y（x+1）（x3），即 yx22x3；（2）当点 p 在直线 bc 的下方时，如图 1，过点 b 作 bebc 交 cp 的延长线于点 e，过点 e 作 emx 轴于点 m，y（x+1）（x3），y0 时，x1 或 x3，a（1，0），b（3，0），30 ，oboc3，abc45，bc3 ，acopcb，tan ，be ，cbe90，mbe45，bmme1，e（4，1），设直线 ce 的解析式为 ykx+b， ，解得： ，直线 ce 的解析式为 ， ，解得 ， ，当点 p 在直线 bc 的上方时，过点 b 作 bfbc 交 cp 于点 f，如图

32、 2，同理求出 bf ，fnbn1，31f（2，1），求出直线 cf 的解析式为 y2x3， ，解得：x 0，x 4，1 2p（4，5）综合以上可得点 p 的坐标为（4，5）或（）；（3）直线 l：ykxk+2，y2k（x1），x10，y20，直线 ykxk+2 恒过定点 h（1，2），如图 3，连结 bh，当 bh直线 l 时，点 b 到直 线 l 的距离最大时，求出直线 bh 的解析式为 yx+3，k1，直线 l 的解析式为 yx+1， ，解得： ， ，e（1，0），f（4，5）， 1010如图，抛物线yx2+bx+c 交 x 轴于 a，b 两点，交 y 轴于点 c，直线 y x+2 经过

33、 点 b，c32（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 p 是直线 bc 上方抛物线上一动点，设点 p 的横坐标为 m pbc 面积最大值和 此时 m 的值；（3） q 是抛物线上一点，若abccbq，直线 bq 与 y 轴的交点 m，请直接写出 m 的坐 标解：（1）针对于直线 y x+2， 令 x0，则 y2，c（0，2），令 y0，则 x+20，x4，b（4，0），抛物线 yx2+bx+c 过点 b，点 c， ， ，抛物线的解析式为 yx2+ x+2；（2）如图 1，过点 p 作 pdy 轴交直线 bc 于 d， 点 p 的横坐标为 m，p（m，m2+ m+2），d（m， m+2），33p

34、dm2+ m+2（ m+2）m2+4m， pd（x x ） （m2 pbc b c+4m）42（m2）2+8，当 m2 时，pbc最大，其值为 8（3）如图 2，过点 c 作 cnbm 于 n，mnc90boc，abccbq，cnoc2，cmnbmo，cnmbom90， mncmob， ， ，om2mn，cmomoc2mn2，在 rtcnm 中，根据勾股定理得，mn2+cn2cm2， mn2+4（2mn2）2，mn0（舍）或 mn ，om2mn ，m（0， ）3411抛物线 yax2+c 经过点（0，1），交 x 轴于 a（1，0），b 两点，点 p 是第一象限 内抛物线上一动点（1） 直接写

35、出抛物线的解析式；（2） 如图 1 已知直线 l 的解析式为 yx2，过点 p 作直线 l 的垂线，垂足为 h，当 ph时，求点 p 的坐标；（3）如图 2，当apb45时，求点 p 的坐标解：（1）抛物线 yax2+c 经过点（0，1），a（1，0），抛物线的解析式的解析式为 yx21；（2）过点 p 作 y 轴的平行线交直线 l 于点 m，35直线 l 的解析式为 yx2，直线与 y 轴的夹角为 45， pmh45，phmh，ph ，pm7，设 p（a，a21），则 m（a，a2），pma21a+27，a 3，a 2（舍去），1 2p（3，8）；（3）如图 2，在 y 轴上取点 d（0，1

36、），则abd 为等腰直角三角形，aobo1，adb90， ，以点 d 为圆心、ad 长为半径画圆，则点 p 在优弧 ab 上时总有apb45，36连结 pd，设 p 点坐标为（m，m21），pdm2+（m22）22， ，解得：p（，1）（舍去），m 1（舍去），m 1（舍去），3 412如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+x+c 交 x 轴于点 a、点 b，交 y 轴于点 c直线 y x+2 经过于点 c、点 b，（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 d 为第一象限抛物线上一动点，过点 d 作 y 轴的平行线交线段 bc 于点 e，交 x 轴于点 q，当 de5eq 时，求点 d 的坐

37、标；（3） 在（2）的条件下，点 m 为第二象限抛物线上一动点，连接 dm，dm 交线段 oc 于点 h，点 f 在线段 ob 上，连接 hf、df、dc、db，当 hf ，cdb2mdf 时，求点 m 的坐标解：（1）针对于直线 y x+2，令 x0，则 y2， c（0，2），令 y0，则 0 x+2，x4，b（4，0），将点 b，c 坐标代入抛物线 yax2+x+c 中，得 ，37抛物线的解析式为 y x2+x+2；（2）如图 1，由（1）知，抛物线的解析式为 y x2+x+2，设点 d 坐标为（m， m2+m+2），dex 轴交 bc 于 e，直线 bc 的解析式为 y x+2， d（m

38、， m+2），de m2+m+2（ m+2） m2+m，dq m+2，de5eq， m2+m5（ m+2），m3 或 m4（点 b 的横坐标，舍去）， d（3，3）；（3）如图 2，由（2）知，d（3，3），由（1）知，b（4，0），c（0，2），db ，dc ，bc2 ，dcdb，db2+dc2bc2，bdc 是等腰直角三角形，bdc90，bdc2fdm90，fdm45，过点 d 作 dpy 轴于 p，则 dqdp，op3， cp1bq，dpcdqb（sas），在 cp 的延长线取一点 g，使 pgqfn， of3n，og3+n，dpgdqf（sas），dgdf，pdgqdf，38fdgpd

39、g+pdfqdf+pdgpdq90 gdm90fdm45gdm，dhdh，gdhfdh（sas），ghfh ，ohoggh3+n n+ ，在 rthof 中，根据勾股定理得，（n+ ）2+（3n）2 ，n1 或 n （此时，ohn+ 2，所以点 h 与点 c 重合，舍去）， h（0， ），c（3，3），直线 ch 的解析式为 y x+ ，抛物线的解析式为 y x2+x+2，联立解得，m（ ， ）或 （由于点 m 在第二象限，所以舍去），3913如图 1，抛物线 c ：yax2+c 的顶点为 a，直线 l：ykx+b 与抛物线 c 交于 a，c 两点，1 1与 x 轴交于点 b（1，0），且 o

40、a2ob，4oac（1） 求直线 l 的解析式；（2） 求抛物线 c 与 x 轴的交点坐标；1（3）如图 2，将抛物线 c 向下平移 m（m0）个单位得到抛物线 c，且抛物线 c 的顶点1为 p，交 x 轴负半轴于点 m，交射线 bc 于点 n，nqx 轴于点 q，当 np 平分mnq 时，求 m 的值解：（1）b（1，0），ob1，oa2ob，oa2，40a（0，2），设直线 l 的解析式为 ykx+b， ，解得 ，直线 l 的解析式为 y2x2；（2）4，oac ，x 4，cy826，c（4，6），将 a（0，2），c（4，6）代入 yax2+c， ，解得 ，抛物线 c 与的解析式为 y

41、；1令 y0， ，解得 x2，抛物线 c 与 x 轴的交点坐标为（2，0），（2，0） 1（3）设抛物线 c 表达式为：y x22m，设点 m（n，0），则 n22m0，抛物线 c 表达式为：y x2 n2，联立并解得：x2n 或 2+n，则点 n（2n，22n）， 则 nq22n，mq22n，mnq 为等腰直角三角形，则mnq45，又点 p（0， n2），即点 m（n，0），设直线 mn 与 y 轴的交点为 h，则 ohom，则点 h（0，n）， 作 nky 轴于点 k，在nkh 中，nkkh，41则 nh （2n），又 hpoh+op n2n，pn 为角平分线，则mnppnq22.5， 故 nhhp，