哈尔滨工程大学概率论历年考题综合

1、Ch1摸球问题、几何概型1. 袋中有 5 个白球和 3 个黑球，从中任取 2 个球，则取得的两球恰有一黑球的 概率为。(07)1、10 把钥匙中有 3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。(08)13. 在区间 (0,1) 中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率2为。( 07)22、在区间 0,1 之间随机地取两个数，则事件 两数的最大值大于 32 发生的概率3 为。( 08)1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而 接通电话的概率为。(09)1391(A) (B) (C) (D)10101081、在区间 0, L之间随机地投两点，则

2、两点间距离小于 L 的概率为 (09)1、设两事件 A ， B 满足条件 P(AB) P(AB) ，且 P(A) p (0 p 1) ，则P(B)=。(06)1. 10件产品中有 8件正品， 2件次品，任选两件产品， 则恰有一件为次品的概率 为.(10 )2. 在区间 0,1 中 随机 地取两个 数， 则事 件 两 数之 和大 于 4 的概 率为 5(10).1. 设 A, B为随机事件，且 P(B) 0, P(A|B) 1，则必有。(07)(A)P(A B) P(A)(B) P(A B) P(B)(C) P(A B) P(A)(D) P(A B) P(B)1. 设 A, B 为 两 个 随

3、机 事 件 ， 若 事 件 A, B 的 概 率 满 足0 P (A ) 1 , P0 B (， 且有 等 式 P(A B)= P(A B) 成 立， 则 事件A,B .(10)(A) 互斥(B) 对立(C) 相互独立(D) 不独立三、计算题1、设 A,B为两事件， P(A) 0.7,P(B) 0.6,P(B A) 0.4，求 P(A B) 。(06)(05)已知随机事件 A的概率 P(A) 0.5 ，随机事件 B的概率 P(B) 0.6 ，条件概率P(B A) 0.8，求 P(AB)。2(05)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2：1，货车中途停车修理 的概率为 0.02，客车为 0.

4、01，今有一辆汽车中途停车修理， 求该汽车是货车 的概率。1111. (07) 8分 已知P A 1，P(BA) 1，P AB 1，试求：342(1)P AB ； (2)P AB 。1. (10) 6 分 设 A,B 为 两 个 随 机 事 件 ， 且 有P(A) 0.4, P(B) 0.4, P(B A) 0.5，计算：(1)P(A)；(2)P(AB)；(3) P B (A B) .11、(088 分)设 A, B,C为三个事件，且 P A P B PC 1，P AB 0，31P AC 1 ，61P BC ，求：8(1) P(C A)； (2)P(C B)； (3) A,B,C至少有一个发

5、0生的概率。三 1. (098分)设 A, B为两个事件， P(A) 0.3，P(B) 0.4，P(AB) 0.5，求：1) P(A)； (2)P(AB)； (3)P B (A B) .五、应用题（06） （10 分）某人考公务员接连参加同一课程的笔试和口试，笔试及格的概率为 p ，若笔试及格则口试及格的概率也为 p ，若笔试不及格则口试及格的概率为 p。2（1）若笔试和口试中至少有一个及格，则他能取得某种资格，求他能取得 该资格的概率。（2）若已知他口试已经及格，求他笔试及格的概率。（07） （10 分）试卷中有一道选择题，共有 4个答案可供选择，其中只有一个 答案是正确的， 任一考生如果会

6、解这道题， 则一定能选出正确答案， 如果不会解 这道题，也可能通过试猜而选中正确答案， 其概率是 1 ，设考生会解这道题的概4率是 0.7，求：（1）考生选出正确答案的概率； （2）考生在选出正确答案的前提下，确实会解这道题的概率。Ch23. 设随机变量 X 服从正态分布 N（ 1, 12） ，Y 服从正态分布 N（ 2, 22） ，且P| X 1| 1 P|Y 2 | 1, 则必有。（07）（A） 1 2 （B） 1 2(C) 1 2(D) 1 211、已知随机变量 X服从参数 n 2， p 31的二项分布， F(x)为 X的分布函数，则 F (1.5)。( 08)(A) 19(B) 49(

7、C) 59(D) 893、设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 PX DX=。(08)三、计算题 1x3( 05) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f (x) e ， x ( , )2a(a 0)(1) 确定常数 a12(2) 求Y X 2 的概率密度函数。452、(06) 设随机变量 X B(2, p)，随机变量 Y B(3,p)，若PX 1 9，求9PY 1 。3、(06)设随机变量 X N(0,1) ，求Y 2X2 1的概率密度函数。2、( 08 8分)已知连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 1F(x) a b arcsin x, 1 x 1 ，1, x

8、1求( 1)常数a和b ；(2) X的概率密度 f (x) ；(3)概率 P 2 X 0。0, x 02、( 098分)已知连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x) cx3, 0 x 1，1, x 11 求：( 1)常数 c； (2) X 的概率密度函数； (3)概率 P 1 X 1 。23、(098 分)设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0,1) ，求随机变量 Y X 2的概率密度函数 fY(y) 。2. (10) 6分设有三个盒子，第一个盒装有 4个红球， 1个黑球；第二个盒装有3个红球， 2 个黑球；第三个盒装有 2 个红球，3 个黑球. 若任取一盒，从中任取 3 个球。1）已知取

9、出的 3 个球中有 2 个红球，计算此 3 个球是取自第一箱的概率；2）以 X 表示所取到的红球数，求 X 的分布律；3）若Y sin X ，求 Y 的分布律 .24（ 05）设一个汽车站上，某路公共汽车每 5分钟有一辆车到达，乘客在 5 分 钟内任一时间到达汽车站是等可能的，求在汽车站候车的 5 个乘客中有 3 个 乘客等待时间超过 4 分钟的概率。（10 分）2. （07） 8 分 某仪器装有三支独立工作的同型号电子元件，其寿命 X （单位为小时）都服从同一指数分布，概率密度为1 f (x) 600e 600,x 00,x0求：（1） PX 200 ；2）在仪器使用的最初 200 小时内，

10、至少有一支电子元件损坏的概率3. （07） 8分 设随机变量 X 的概率密度为e x,x 0 fX（x）0, x 0求：（1） P 1 X 2； （2）随机变量 Y eX 的概率密度 fY（y） 3、（08 8 分）设随机变量 X 在区间 （1,2） 上服从均匀分布，求 Y e2X 的概率密度fY (y) 3. (10 ) 6 分 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,FX (x) a bx2, 0 x 1,1, x 1.1）求系数 a,b的值及 X 的概率密度函数 fX（x） ； （2）若随机变量 Y X2，求Y 的概率密度函数 fY（y） . 应用题(10)8分 某次抽样调查结果表

11、明， 考生的外语成绩 X (百分制)近似服从正态分 布XN(72, 2 ) ，并且分数在 60分至84分之间的考生人数占考生总数的 68.2%， 试求考生的外语成绩在 96 分以上的概率 .X01.02.03.0(x)0.5000.8410.9770.999五证明题1(05)设连续型随机变量 X 的概率密度函数 f (x) 是偶函数，其分布函数为F (x) 。证明对任意实数 x，有F(x) F( x) 1。6 分Ch32、设相互独立的两个随机变量 X ， Y的分布函数分别为 FX(x) ， FY(y) ，则Z max( X ,Y) 的分布函数是。(09)(A) FZ(z)max FX ( z)

12、, FY (z)(B)FZ(z) max FX ( z) ,FY(z)(C) FZ(z)FX (z)FY(z)(D)FZ(z) FX ( x)FY ( y)3、设随机变量 X N (1,4) ，Y N(0,1) ，且X与Y相互独立，则。(09)(A) X 2Y N (1,8)(B)X 2Y N (1,6)(C) X 2Y N (1,2)(D)X 2Y N (1,1)四、计算题 (每小题 8分，共 24分)1、(06)设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为f (x,y)Ae (2x y),Ae 0, ,x 0,y 0其他试求：(1)常数 A；2) fX Y(xy)1. 设随机变量 X 服从

13、 0,1 区间上的均匀分布，当已知 X x时，Y 服从 0,x 区间上的均匀分布，（1） X 与Y 是否独立 （2）求概率 P（X Y 1）1. (07) 9 分设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为求：（1）A；（2）A, 0 x 1, 0 y 2x, f (x,y) 0, 其他X，Y）的边缘概率密度 fX（x）；（3） fYX（yx）1、（08 10分）设二维随机变量 （X ,Y ）的联合概率密度函数为Ax,0 y x 1 f (x,y) 0Ax,0 其y 它x 1求（ 1）常数 A ；2）（X，Y）的边缘概率密度函数 fY（y）和条件概率密度函数 fXY（x y） ；3)概率 PX Y

14、 1 。2、（08 10分）设二维随机变量（ X,Y ）的概率分布为X Y01PX xi-10.6400.04PY yj 0.811）请将上表空格处填全；2）求X ， Y的数学期望以及方差 EX 、EY、DX 、DY；3）求 X ， Y的协方差 cov（ X ,Y ）以及相关系数 XY ，并判断 X , Y是否不相关，是否独立；（4）记 Z X Y，求Z 的概率分布，并求 PX Z2、(09 10分)设随机变量 X1和 X 2的分布律为X1101p111424并且 P X1X2 0 1。(1)求 X1， X 2的数学期望以及方差；(2) 求 (X1,X2) 的联合分布律；(3) 求 X1， X

15、 2的协方差；(4) 判断 X1 ， X2是否不相关，是否独立1. (10) 10分 设二维随机变量 ( X,Y) 的联合概率密度函数为f (x,y) e0,x 0,y 0,其它.1)求关于 X 的边缘密度函数 f X (x)；2)试判断 X 与Y 是否相互独立？3) 计算 P X Y 1 .Ch42、下面四个随机变量的分布中，期望最大，方差最小的是。( 08)1(A) X服从正态分布 N(5,1)(B) Y服从均匀分布 U (5,7)21(C) Z 服从参数为 1指数分布 (D) T 服从参数为 3的泊松分布62、(06)设 X ，Y为随机变量， u (aX 3Y)2， E(X) E(Y)

16、0， D(X) 4，D(Y) 16， xy0.5。求常数 a使 E(u)最小，并求出 E(u)的最小值。12. 设 X 和 Y 为独 立 同分 布的随机变 量， X 的分布律为 P X 0 1 ，43P X 1 Z1 aX bY,Z2 aX bY ，求：1) E(Z1), E(Z2), D(Z1), D(Z2)； ，令随机变量 Z max( X , Y ) ，则数学期望 E(Z). (10)413115(A) 1 (B) 3 (C) 1 (D) 154416162、设随机变量 X 服从参数为 1的泊松分布，则P X E(X(07) 9 分 设随机变量 X,Y 相互独立，且都服从正态分布 N(

17、, 2)，又)。(09)3、设随机变量 X 和Y 的相关系数为 0.5， E( X ) E(Y) 0，E(X2) E(Y2) 2， 则 E(X Y)2。(09)011设随机变量 X ，0 p 1，当 p 时， D( X )取得最大值。1pp(05)222设X ,Y为随机变量，已知 E(X) E(Y) 0，E(X2) E(Y2) 2，X 与Y的1相关系数 XY 1 ，则 E(X Y)2 。(05)22、设随机变量 X ,Y相互独立，其中 X 在-2，4上服从均匀分布， Y服从参数为 3 的泊松分布，则 D(2X Y) =。 (06)2. 设随机变量 X 服从泊松分布 ,且 PX 1 PX 2,则

18、E(X) =(07)1设随机变量 X,Y 互不相关，则()(05)A.X,Y 相互独立B X,Y 不相互独立C.E(XY) E(X)E(Y) D.D(XY) D(X)D(Y)3. (05)袋中有 n张卡片，号码分别为 1,2, , n ，从中有放回地抽出 k 张卡片， 求这k 张卡片的号码之和的数学期望和方差。2) Z1,Z2的相关系数；(3) 当 Z1, Z2相互独立时，求 (Z1,Z2) 的联合密度函数。3、若二维随机变量 (X,Y) 的相关系数 XY 0，则以下结论正确的是。(08)(A) X 与Y 相互独立(B)D(X Y) D(X) D(Y)(C)X 与Y互不相容(D)D(XY) D

19、(X) D(Y)1、(09 10分)设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度函数为1 , x2 y2 1 f (x,y)0, 其他 求：(1)(X，Y)的边缘概率密度函数 fX (x)和条件概率密度 fYX(y x)； (2)概率 PY X ；(3) 随机变量 ZX2 Y2 的概率密度函数 fZ(z) 。4. (10) 6 分 设随机变量 X 与 Y 的相关系数 1/ 4， D(X) D(Y) 1，令 U X Y ， V X aY ，且 U 与 V 不相关，求常数 a.(08 80 分)已知甲、乙两箱中装有同种产品， 其中甲箱中装有 3件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品 .

20、从甲箱中任取 2件产品放入乙箱后，求： (1) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率；(2) 乙箱中次品件数的数学期望。 应用题(098分)设某企业生产线上产品的合格率为 0.96 ，不合格品中只有 3 的4 产品可进行再加工，且再加工的合格率为 0.8 ，其余均为废品。已知每件合格品 可获利 80 元，每件废品亏损 20 元，为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元， 问该企业每天至少应生产多少产品？Ch53、设随机变量 X 服从参数为 2的指数分布，用契比雪夫不等式估计P X 1 2 . (06 )2设随机变量 X 的数学期望为 12，方差为 9，利用契比雪夫不等式估计 P6 X 18 ( )

21、。(05)A.1B.3C. 1D. 1122. 设随机变量 X 的方差为 16，根据契比雪夫不等式有 P X E(X) 1007)(A) 0.16(B) 0.16(C) 0.84(D) 0.844、已知随机变量 X 的数学期望 EX 5，方差 DX 4 ，则由契比雪夫不等式可知概率 P 2 X 8。(08)4(A) 494(B) 49(C) 59(D). (10 )( A) lnim PnXini1x(x) ( B) lim PnXini1x(x)E(X) ， D(X) 8，4、设 X1, X2, , X10为来自总体 X 的简单随机样本，且1 10X 1 Xi ，利用契比雪夫不等式估计 P

22、4 X 4 10 i 1(09)X i nXi( C) lim P i1 x (x) ( D)limP i 1 x (x)n n n n1、( 08) 4分 设 X 为连续型随机变量，且数学期望 E(eX2 ) 存在，X2证明：对于任意正数 ，有 P XE(e 2 ) 。eCh63设总体 X N( , 2)， X1, , Xn为样本， X , S分别为样本均值和标准差， 则下列正确的是()(05)A. X N( , 2)B.nX N( , 2)C.n(Xi)2 2(n)i1n(X )S t(n)4. X1,X2, , X 6为来自正态总体 N ( 0,1) 的简单随机样本，设22Y (X1 X

23、2 X 3)2 (X4 X5 X6)2若使随机变量 CY 服从 2 分布，则常数 C。(07)4、设 X1,X2, ,Xn(n 2 )为来自总体 N (0,1)的简单随机样本， X 为样本均值，S 为样本方差，则。( 09)(A) nX N(0,1)(C) (n S1)X t(n 1)22(B) nS2 2(n)(D)2(n 1)X12nXi2i2 F(1,n 1)4. 设总体 X服从二项分布 B(n,p)，X1,X2, , X n是来自总体 X 的简单随机样本， X 为样本均值，则 D(X)为. (10)5. 设总体 X 服从参数为 的泊松分布， X1,X2,X3是来自总体 X 的简单随机样

24、 本 ， 且统 计 量 ? aX1 12X2 31X3 是 的一 个 无 偏 估 计 量， 则 常 数a. (10 ) 4、设(X1,X2,X3,X4) 是来自正态总体 N(0, 2) 的简单随机样本，若统计量Z X32 X42 服从t分布，则常数 C 。(08) 六、证明题：(06)设总体 X N(0,1)，X1,X2, , X n为样本， 2 X12 X22Xn2 ，则 2 2(n)。(7 分)证明：(1) E( 2) n。(2) D( 2) 2n。07)设 X1,X2, ,Xn 1为来自正态总体 N( , 2) 的简单随机样本，记n n X XXn 1 Xi ，Sn21(Xi X n )

25、 2 ，证明：U Xn Xn 1 服从自由度为 n 1n i 1 n 1i 1 n 1Snn的 t 分布。11、(094分)设随机变量 X 服从t(n) 分布，求证： 12 服从F (n,1)分布。X1. (10) 4 分设 X1,X2, ,X8 和 Y1,Y2, ,Y10 为分别来自两个正态分布总体 N( 1,22)及 N(2,5 2) 的简单随机样本，且相互独立， S12 与 S22 分别为两个样 本方差，试证明：统计量 25S21 服从 F (7,9) 分布.4S22Ch7区间估计(对均值的区间估计) (小题) 会求矩估计和极大似然估计 判断无偏性3设总体 X N( ,0.92) ，样本

26、容量为 9，样本均值 x 5 ，则未知参数 的 95%的置信区间是 。(05)4、设总体 X N( , 2) ， 2已知，要使 的置信度为 1 (01)且置信区间的长度不大于 l ，则样本容量 n。 (06)4. 设一批零件的长度服从正态分布 N( , 2) ，其中 , 2均未知，现从中随机抽 取 16 个零件，测得样本均值 x 20(cm) ，样本标准差 s 1(cm) ，则 的置信度为 0.90 的置信区间是。( 07)11(B) (20t0.1(16), 20 t0.1(16)4411(D)(20t0.1(15),20 t0.1(15)4411(A) (20 t0.05 (16), 20

27、 t0.05(16)44 11(C) (20 t0.05(15),20t0.05(15)445、已知一批零件的 长度 X (单位： cm)服从正态分布 N( ,1) ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则 的置信度为 0.95的置信区间 为。( 08)(已知 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95 ，其中 (x) 为标准正态分布的分布函数 )5、设总体 X 服从正态分布 N( ,1) ，从中随机地抽取 25 个样本，则 的置信度 为 0.95 的置信区间的长度 L。( 09)(已知 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95 ，其中 (x)

28、为标准正态分布的分布函数 )4若总体 X N( , 2)，其中 2 已知，当样本容量 n保持不变时，如果置信度 1 变小，则 的置信区间( )( 05)A .长度变大B. 长 度 变 小C. 长度不变D. 长度不一定不变4. 设 X1,X2, Xn是来自正态总体 N , 2 的简单随机样本， 其中 2已知， 为. (10 )1n未知参数，记 X 1 Xi ，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 ni1(A) X 1.96 ,X 1.96 nn(B) X 0.975 ,X 0.975 nn(C) X 1.28 ,X 1.28 nn(D) X 0.90 ,X 0.90 nn其中 x 为标准正态分

29、布的分布函数，1.96 0.975, 1.28 0.900)3、(06)设总体 X 的概率密度函数为f (x)e (x )0,x 其他为未知参数， X1,X2, ,Xn是来自 X 的样本。1)求 的矩估计量 ?1，并验证 ?1 是 的无偏估计量。2)求 的极大似然估计 ?2 ，并验证 ?2 不是 的无偏估计量。1x2. (05)设总体 X 的概率密度函数为 f(x) e ,x 0 X1,X2是样本， (1)0,x 0求参数的极大似然估计 ?，(2) ?是否为无偏估计。3. (07)9 分 设总体 X 的密度函数为f (x)(a 1)xa ,0 x 1,0, 其它 ,其中 a 1是未知参数， (

30、 X1 ,., X n )是一个来自总体 X 的简单随机样本，试求：1)参数 a 的矩估计量；(2)参数 a 的最大似然估计量。3、(08 10分)设随机变量 X 的概率密度函数为f(x, ) x 10，x 1，x 1，其中 1为未知参数 . 设X1,X2, , X n为来自总体 X 的简单随机样本，求 的 矩估计量以及极大似然估计量。3、(0910 分)已知总体 X 的概率密度函数为 x1 f(x; , ) x0,其中 0,1为未知参数， X1,X2, , X n为来自总体 X 的简单随机样本。求：1) 当 1 时， 的矩估计量；2) 当 2 时， 的极大似然估计量2. (10) 10 分

31、已知总体 X 的概率密度函数为x 1, 0 x 1,f (x; )其它0,其它 .其中 0为未知参数，设 X1,X2, ,Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，试求：(1) 的矩估计量；( 2) 的极大似然估计量 .五证明题(05)设总体 X 服从参数为 的泊松分布， X1,X2, , Xn是样本， X , S2分别是 样本均值和样本方差。证明：对于任意常数 c(0 c 1) ，cX (1 c)S2是 的 无偏估计量。 6 分2、(08)4 分 设随机变量 X 的数学期望为 ，方差为 2， X1,X2, ,Xn 是来自 1 n 2总体 X 的简单随机样本，证明： S2 1Xi X 是 2 的无偏估计。n 1 i1Ch8 假设检验对单个正态总体均值和方差的检验方法：明确用什么检验量，拒绝域是什么均值已知未知U t(n 1)已知(2 n-1)未