圆与圆锥曲线的交汇性问题例析

1、圆与圆锥曲线的交汇性问题例析随着新课程标准的不断推进与深入，高考对解析几何 的要求也随之发生了很大的变化，对圆的要求大大提高，对 圆锥曲线的要求则相对降低 .因此，近几年圆与圆锥曲线的交 汇性问题渐渐成为高考的命题热点，此类问题不仅将圆的内 容及性质纳于其中，也将对圆锥曲线的要求体现出来，是当 前一种新的命题趋势 .下面精选 2014 年高考中的部分试题并 予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法 .1. 圆与椭圆的交汇性问题图 1 例 1( 2014 年陕西卷文 20)如图 1，已知椭圆 x2a2+y2b2=1 (ab0)经过点(0, 3),离心率为 12,左、 右焦点分别为 F1(-c

2、， 0)、F2(c， 0) .( 1 )求椭圆的方程；(2)若直线 l：y=-12x+m 与椭圆交于 A, B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C, D 两点,且满足 |AB|CD|=534 ,求 直线 l 的方程 .分析( 1 )构造关于 a, b, c 的方程组求解；(2)利用直线与圆的位置关系得|CD|，将直线方程与椭 圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得|AB|，构造关于m的方程求m，进而得出直线I的方程.解析( 1 )由题设知 b=3,ca=12，b2=a2-c2,解得 a=2,b=3，c=1 ,椭圆的方程为 x24+y23=1.（2）由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程

3、为 x2+y2=1 ， 圆心到直线I的距离d=2|m|5,由db0）的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A, 上顶点为B，已知|AB|=32|F仆2|.（1 ）求椭圆的离心率；（2）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直 径的圆经过点 F1 ，经过原点 O 的直线 I 与该圆相切 . 求直线 I 的斜率 .分析（ 1 ）直接利用 |AB|=32|F1F2| 及椭圆中 a， b， c 之间 的关系得到 a， c 的关系，进而求得离心率；（2）利用 F1P?F1B=0 求出 P 点坐标满足的条件，再由 P 点坐标满足椭圆的方程， 求出 P 点坐标， 设出直线的方程， 利用圆心到

4、直线的距离等于圆的半径求解 .解析（ 1 ）设椭圆右焦点 F2 的坐标为（ c， 0） .由 |AB|=32|F1F2| ，可得 a2+b2=3c2.又b2=a2-c2，贝U c2a2=12，所以，椭圆的离心率 e=22.（2）由（1）知，a2=2c2, b2=c2，故椭圆方程为 x22c2+y2c2=1.设 P( x0 , y0),由 F1 (-c, 0), B (0, c),有 F1P=( xO+c ,y0)， F1B=(c， c) . 由已知,有 F1P?F1B=0, 即( x0+c) c+y0c=0.又cz0,故有x0+y0+c=0 又因为点 P 在椭圆上,故 x202c2+y20c2

5、=1 由和可得 3x20+4cx0=0 ,而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=-43c,代入得y0=c3，即点P的坐标为(-43c, c3). 设圆的圆心为T (x1, y1),贝U x1=-43c+02=-23c ，y1=c3+c2=23c ，进而圆的半径r= ( x1-0 ) 2+ ( y1-c) 2=53c.设直线I的斜率为k，依题意，直线I的方程为y=kx. 由 l 与圆相切，可得 |kx1-y1|k2+1=r ，即|k23c+23c|k2+1=53c, 整理得 k2-8k+1=0 ,解得 k=415.所以,直线 I 的斜率为 4+15 或 4-15.命题立意知识：本题主要考查椭圆的标

6、准方程和几何性 质、直线的方程、圆的方程等基础知识.能力：通过用代数方 法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及运用方程思 想解决问题的能力 .试题难度：较大 .2. 圆与双曲线的交汇性问题例 3（ 2014 年江西卷文 9）过双曲线 C：x2a2-y2b2=1 的 右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点（ O 为坐标 原点），则双曲线 C 的方程为（ ）.A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1 解析先求出交点坐标，再结合已知条件求出双曲线的方程.由 x=a ，y=bax，

7、解得 x=a,y=b , A （a, b）.由题意知右焦点到原点的距离为c=4,右焦点坐标为（4,0），由题意有（a-4） 2+b2=4，即（a-4） 2+b2=16.又 a2+b2=c2=16，由解得a=2, b=23.双曲线 C 的方程为 x24-y212=1.故选 A.能命题立意知识：双曲线的标准方程和渐近线的确定 力： 结合双曲线方程的求解， 考查运算求解能力和应用意识 . 试题难度：中等 .图 2 例 4（ 2014 年辽宁卷理 20）圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最 小时，切点为 P （如图2）.双曲线C1: x2a2-y2

8、b2=1过点P 且离心率为 3.（ 1 ）求 C1 的方程；（ 2）椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A ， B 两点，若以线段 AB 为直径 的圆过点P,求I的方程.分析（ 1 ）先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母 a、b 的值；（ 2）利用题设关系设出椭圆方程，再利用直线与椭圆 的位置关系求解 .解析（1）设切点坐标为（x0 , y0） （x00 , y00）,则 切线斜率为-x0y0，切线方程为y-yO=-xOyO （ x-x0），即 x0x+y0y=4 ，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角 形面积为 S=12?4

9、x0?4y0=8x0y0.由 x20+y20=4 2x0y0 知当且仅当 x0=y0=2 时，xOyO 有 最大值，即S有最小值，因此点 P的坐标为（2, 2）.由题意知 2a2-2b2=1 ，a2+b2=3a2，解得 a2=1, b2=2.故 C1 的方程为 x2-y22=1.（2）由（ 1）知 C2 的焦点坐标为（ -3，0），（ 3，0）， 由此设 C2 的方程为 x23+b21+y2b21=1 ，其中 b10.由 P（ 2，2）在 C2 上，得 23+b21+2b21=1.解得b21=3，因此C2的方程为x26+y23=1.显然，I不是 直线 y=0.设 I 的方程为 x=my+3 ，

10、点 A（x1， y1）， B（x2， y2）， 由 x=my+3 ，x26+y23=1 ，得（ m2+2）y2+23my-3=0. 又 y1， y2 是方 程的根，因此 y1+y2=-23mm2+2 ，y1y2=-3m2+2. 由 x1=my1+3 ， x2=my2+3 ，得x1+x2=m （y1+y2 ） +23=43m2+2， x1x2=m2y1y2+3m （ y1+y2 ） +3=6-6m2m2+2. 因为 AP=（ 2-x1 ， 2-y1 ）， BP= （2-x2， 2-y2），由题意知 AP?BP=0 ，所以 x1x2-2 （x1+x2 ） +y1y2-2 （y1+y2 ） +4=0

11、， 将代入并整理得 2m2-26m+46-11=0 ， 解得 m=362-1 或 m=-62+1.因此直线 I 的方程为 x（- 362-1 ）y-3=0 或 x+（ 62-1 ）y-3=0.命题立意知识：考查圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系 .能力：考查运算求解能 力和应用知识的能力 .试题难度：较大 .3. 圆与抛物线的交汇性问题例 5(2014 年全国大纲卷理 21 文 22)已知抛物线 C： y2=2px ( p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为 P,与 C的交点为 Q,且|QF|=54|PQ|.( 1 )求 C 的方程；( 2)过 F 的直线 l

12、与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂 直平分线I与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点 在同一圆上，求 l 的方程 .分析( 1)由条件列式直接求出；( 2)由直线方程与抛物线方程联立求AB 的长， 利用四点共圆寻找关系，列式求解 .解析( 1)设 Q( x0， 4)，代入 y2=2px 得 x0=8p.所以 |PQ|=8p， |QF|=p2+x0=p2+8p.由题设得p2+8p=54 X 8p,解得p=-2 (舍去)或p=2. 所以 C 的方程为 y2=4x.( 2)依题意知 I 与坐标轴不垂直，故可设 I 的方程为x=my+1 ( m 工 0).代入 y2=4x，得 y2-4m

13、y-4=0.设 A (x1 , y1), B (x2 , y2),贝 U y1+y2=4m , y1?y2=-4.故 AB 的中点为 D( 2m2+1 ， 2m)， |AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又I的斜率为-m,所以I的方程为x=-1my+2m2+3. 将上式代入 y2=4x，并整理得 y2+4my-4 (2m2+3) =0.设 M( x3，y3)，N ( x4，y4)，贝U y3+y4=-4m，y3?y4=-4 (2m2+3) .故 MN 的中点为 E(2m2+2m2+3， -2m)， |MN|=1+1m2|y3-y4|=4 (m2+1) 2m2+1m2.由于MN垂直平

14、分AB，故A、M、B、N四点在同一圆 上等价于 |AE|=|BE|=12|MN| ，从而 14|AB|2+|DE|2=14|MN|2 ， 即 4(m2+1) 2+(2m+2m) 2+(2m2+2) 2=4(m2+1) 2(2m2+1) m4，化简得 m2-1=0，解得 m=1或m=-1. 所求直线 I 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.命题立意知识：抛物线的定义与方程、直线与抛物线的 位置关系以及两直线的位置关系、 圆的性质等 .能力：考查转 化与化归、函数与方程、数形结合的数学思想，考查考生的 逻辑推理能力与运算求解能力 .试题难度：较大 .例 6(2014年福建卷文21)已知曲

15、线r上的点到点F( 0, 1 )的 距离比它到直线 y=-3 的距离小 2.(1) 求曲线r的方程；(2) 曲线r在点P处的切线I与x轴交于点A，直线y=3分别与直线I及y轴交于点M , N.以MN为直径作圆C, 过点A作圆C的切线，切点为 B.试探究：当点P在曲线r 上运动(点 P 与原点不重合)时，线段 AB 的长度是否发生 变化？证明你的结论 .分析( 1)由题意判断曲线是抛物线，用定义求曲线方 程或用直接法求曲线方程；(2)先求出切线方程，联立相关方程得出A， M 的坐标，用勾股定理表示 AB 的长度 .解析(1)解法一：设S(x, y)为曲线r上任意一点， 依题意，点 S 到 F(

16、0， 1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相 等，所以曲线r是以点F (0, 1)为焦点、直线y=-1为准线 的抛物线，所以曲线 r的方程为x2=4y.解法二：设S (x, y)为曲线r上任意一点，则|y- (-3) 卜(x-0) 2+ (y-1) 2=2，依题意，点 S (x, y)只能在直线 y=-3 的上方，所以 y-3，所以(x-0) 2+ (y-1) 2=y+1 ,化简，得曲线r的方程为x2=4y.图3 (2)当点P在曲线r上运动时，线段 AB的长度不 变.证明如下：如图 3，由( 1)知抛物线的方程为 y=14x2 ， 设 P (x0, y0) (x0工 0),贝 y0=14x20 ,由 y =12x，得切线 l的斜率k=y |x=x0=12x0 ,所以切线I的方程为y-y0=12x0( x-x0 )，即 y=12x0x-14x20.由 y=12x0x-14x20 ，y=0 ，解得 A( 12x0 ，0).由 y=12x0x-14x20 ，y=3 ，解得 M (12x0+6x0 ，3).又 N (0, 3),所以圆心 C (14x0+3x0, 3),半径 r=12|MN|=|14x0+3x0| ，|AB|=|AC|2-r2=12x0- ( 14x0+3x0 ) 2+32-( 14x0+3x