博弈论基础及应用

1、博弈论 （对策论、游戏论）博弈论又名对策论、游戏论，是一门研究互动关系“游戏”的参与者各自选择策略的科学，博弈论把这些复杂关系理论化，以便分析其中的逻辑和规律，并对实际决策提供指导和借鉴。游戏三要素（博弈的规则、结构）：1、博弈、游戏参加者。博弈论分析，假定参与者都是机智而理性的。2、行为和策略空间。博弈参与者必须知道他自己及其对手伙伴的策略选择范围，并了解各种策略之间的因果关系。3、有可评价优劣高下的决策行为结果。博弈论用数字表示这类结果，并称之为支付。支付矩阵可以用支付矩阵（得益矩阵、收益矩阵、赢得矩阵）来描述一个博弈结构。厂商B支配策略：由于游戏参与者试图实现自身利益最大化并具有理性的决

2、策能力，加上信息方面的假定，所以上述支付矩阵表示的博弈具有一个简单而确定的结果。从厂商A角度来说，它采取策略“下”而得到的支付总是好于 “上”（2,1分别对1,0）。同样，对于厂商 B来说，选择策略“左”得到的利益总是优于“右”（1,2分别对0,1 ）。因此，我 们可以确定预期均衡选择策略是A选择“下”而B选择“左”的策略。囚徒困境：F面支付矩阵表示著名的“ 囚徒困境”游戏，从博弈论角度看，这是一个存在支配均衡的博弈；因为对囚犯A、B来说，无论对方如何选择，“坦白”都是各自的最优选择。虽然从两名囚犯共同利益看，最好的选择是合作，即同时选择保持沉默，然而，由于猜忌，试图获得更大好处（3个月刑期）

3、等竞争性动机阻碍了他们达到更好的互利选择，他们面临“囚徒困境”。我们将看到，寡头垄断厂 商经常面临类似的困境。囚犯B囚犯A纳什均衡：坦白坦白沉默5年，5年3个月，10年沉默10年，3个月1年，1年支配均衡是一个特例，并非每个博弈都存在支配均衡。下面修改的支配均衡表示博弈中，厂商A、B在选择做广告问题上存在的策略关系。其中厂商A没有支配策略，因为 A的最佳决策取决于 B的选择。例如，当B选择做广告时，A应当选择做广告，由此得到10而不是6的支付得益，然而，当 B选择不做广告时，A应当选择不做广告，从而得到 20而不是15的支付得益。假定两个厂商需要同时决策，A应当如何决策？厂商B左（做广告）右（

4、不做广告）上（做广告）10，515，0厂商 A下（不做广告）6, 820，2解答这个问题，A需要把自己放在 B的位置，从B的角度看什么是最好的选择，并在此基础上考虑自己的选择。支付矩阵表明 B有一个支配策略：不论 A选择如何，B选择做广告时利益较大（5，8对0, 2），因而A 可以判断B会选择做广告，而在 B做广告时，A应当选择做广告，因而。均衡结果是双方都做广告。上述均衡结果被称作纳什均衡。纳什均衡指给定一组对手行为前提下，各博弈方存在的最佳选择； 在纳什均衡状态下，只要其他参与者不变换策略选择，任何单个参与者不可能单方面通过变换策略来提高它的所获支付。美国数学家和统计学家纳什（Nash）5

5、0年代提出的折椅概念，所以称作纳什均衡。纳什均衡和支配策略均衡的区别是：在纳什均衡下,我（你）所做的是 给定你（我）的选择我（你）所能做的最好的”。而支配均衡下，“我（你）所做的是 不论你（我）的选择，我（你）所能做的更好的”。支配均衡 必然是纳什均衡，纳什均衡未必是支配均衡。，有时又可能不存在纳什均衡，下面左一个博弈可能有好几个纳什均衡（即几组稳定并且自我坚持的策略）表存在两个纳什均衡，右表则没有纳什均衡。左右上A2, 10, 0A下0, 01, 2I左B右上A0, 00,-1A下1, 0-1, 3重复博弈:上面讨论的“囚徒困境”暗含所几个假定是静态所一次性的博弈，结果陷入了个体理性决策导致

6、集体非理性结果的困境。现在我们改变条件，讨论博弈可以多次进行的重复博弈（Repeated Game），这时，囚犯同时选择沉默有可能成为纳什均衡。因为重复性博弈中，选择坦白的机会成本太高，可能成为不利的选择。例如：A有机会对B组成策略联盟,并对B宣布如下方针：我将选择沉默，并要求你也如此来增进各自利益；然而，如果你半途背叛选择坦白，我从下一阶段游戏开始一直选择坦白，这一方针跟A利益一致，因而是可信的。从 B角度来看，如和 A合作，可能每阶段得到1年监禁的较好结果；如中途变卦，固然当期可得3个月的更好结果，但此后便每次面临 5年监禁的结果，显然是不利的。因而重复博弈中，“沉默” + “沉默”点可能

7、成为双方的最佳选择，因而成为纳什均衡。由于博弈条件由一次性变为重复性，均衡状态随之发生变化。序列博弈前面讨论的博弈是参与者同时选择。在序列博弈（Sequential Game）中，各博弈方先后依次行动。F面的支付矩阵描述了一个博弈，如果同时行动，它有两个纳什均衡（“甜，咸”或“咸，甜”）。假定A可以先推出甜饼干（假如较快投入生产），就有了序列博弈：A先作决策，B随后选择。A决策是必须考虑竞争厂商B左（咸饼干）右（甜饼干）| A上（咸饼干）-5,- 510, 20丿商A下（甜饼干）20, 10-5,- 5者的理性反应；A知道不论自己推出哪种饼干， B处于自身利益会推出另一种；因而 A推出甜饼干，

8、B在给定A 决策时选择咸饼干；给定 B的选择，A的选择仍然最佳。结果两个纳什均衡点收敛为一个（下，左） 。其中A由 于具有先行者优势（First Mover Advantege）而得到较大利益。中国电信、中国联通的价格竞争模型：A （中国电信）是老牌企业，实力雄厚，占据了绝大多数的市场份额；B （中国联通）刚成立不久，翅膀没有长硬，是政府为打破垄断鼓励竞争而筹建的，B得到了政府的一些优惠，其中就有B的价格可以比A低10%。这一举动，还不会对 A产生多大的影响，因为A的根基实在是太牢固了。在这样的市场分配下,B可以达到平衡，但由于 B在价格方面的优势，市场份额逐步壮大，到了一定程度，对A造成了影

9、响。这时候,A该怎么办?B （中国联通）A （中国电信）降价、维持、维持、降价、维持降价维持5, 10-10, 15降价15, -5-5,- 5B损失5,整体获利A获利15,10；B维持，则B维持，则B降价，则B降价，则A获利A损失A损失5,10,5,从A角度看，显然降价要比维持好,B获利10，整体获利B获利15,整体获利B损失5，整体损失降价至少可以保证比15；5；10。B好，在概率均等的情况下，A降价的收益为15 X50 %5 X50%= 5，维持的收益为550 %- 10 X50% = - 2.5，为了自身利益的最大化，A就不可避免地选择了降价。从B角度看，降价也比维持好，其降价收益为5

10、,维持收益为2.5 , B也会选择降价。在这轮博弈中,都将降价作为策略，因此各损失5，整体损失 10 ，整体收益是最差的。这就是此博弈最终所出现的纳什均衡。电信业价格战博弈模型是典型的囚徒困境现象， 各个局部都寻求利益的最大化， 而整体利益却不是最优， 甚至是 最差。许多其他行业的价格竞争都是典型的囚徒困境现象， 如可口可乐公司和百事可乐公司之间的竞争、 各大航空 公司之间的价格竞争等等。OPEC 组织成员国之间的合作与背叛“囚徒困境” 告诉我们，个人理性和集体理性之间存在矛盾，基于个人理性的正确选择会降低大家的福利， 也就是说，基于个人利益最大化的前提下，帕累托改进得不到进行，帕累托最优得不

11、到实现。上述我们在对电信价格竞争的博弈分析中，只是一次性的“ 囚徒困境” 博弈，因此得到了互相降价的纳什均 衡。而在现实生活当中，信任与合作很少达到如此两难的境地，无论在自然界还是在人类社会， “ 合作” 都是一 种随处可见的现象。比如中东石油输出国组织(Organizationg of Petroleum Expoting Countries 简称OPEC)的成立，本身就是要限制各石油生产国的产量，以保持石油价格，以便获取利润，是合作的产物。OPEC 之所以能够成立，各组织成员国之间之所以能够合作，是因为囚徒困境如果是一次性博弈(One shot game) 的话，基于个人利益最大化，得到纳

12、什均衡解，但如果是多次博弈，人们就有了合作的可能性，囚徒困境就有可能破解，合作就 有可能达成。连续的合作有可能成为重复的囚徒困境的均衡解，这也是博弈论上著名的“大众定理”(Folk Theorem)的含义。但合作的可能性不是必然性。博弈论的研究表明，要想使合作成为多次博弈的均衡解，博弈的一方(最好是 实力更强的一方)必须主动通过可信的承诺 (Credible commitment) ，向另一方表示合作的善意，努力把这个善意 表达清楚，并传达出去。如果该困境同时涉及多个对手，则要在博弈对手中形成声誉，并用心地维护这个声誉。 这里“ 可信的承诺” 是一个很牵强的翻译， “ Credible com

13、mitment 并”不是什么空口诺言，而是实实在在的付出。 所以合作是非常困难的。 所以 OPEC 组织经常会有成员国不遵守组织的协定，私自增加石油产量。每个成员国 都这样想，只要他们不增加产量，我增加一点点产量对价格没什么影响，结果每个国家都增加产量，造成石油价 格下跌，大家的利润都受到损失。当然，一些产量增加较少的国家损失更多，于是也更加大量生产，造成价格进 一步下降-结果，陷入一个困境：大家都增加产量，价格下跌，大家再增加产量，价格再下跌。理论上，几乎所有的卡特尔（正是串谋在一起的厂商称作Cartel）都会遭到失败，原因就在于卡特尔的协定（类似囚犯的攻守同盟） 不是一个纳什均衡， 没有成员有兴趣遵守。 那么是不是不