教学设计方案书直线与圆锥曲线

1、第六讲 直线与圆锥曲线的位置关系知识结构图：几何角度 适于直线与圆的位置关 系代数角度 适于所有直线与圆锥曲 线的位置关系直线与圆锥曲线弦长公式思路剖析：相交成弦问题两点间距离公式 中点弦问题 点差法最值问题1、从几何角度看： 要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线 与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点 . 注意当直线转动时斜率的变化规律2、从代数角度看： 设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 axby2 1(a 0,b 0)与直线 l相交于 A、 bx c 0.若 a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合

2、； 当圆锥曲线是抛物线时，直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合. 若a 0，设 b2 4ac.0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交 .0 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切 .0 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离 .注意：直线与双曲线有且只有一个公共点与 =0 不能形成充要关系 .一、常规几大题型：(一) 、中点弦问题：设曲线上两点为 (x1,y1) ，思想方法： 具有斜率的弦的中点问题，常用设而不求法(点差法)(x2,y2) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在情况的讨论)，利用斜率及中点坐标公式处理。2 如：(1) x2 aB，设弦 A

3、B 中点为 M(x 0,y0)，则有 x02 y20 a222y2 1(a b 0) 与直线相交于 A、b222) x2aby02 k 0B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)则有 x02 a1 / 20（3）y2=2px（p0）与直线 l相交于 A、B设弦 AB 中点为 M（x0,y0）,则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 注：以上结论可不记忆，但必能推导 .1、（） 推导以上三个结论中的某一个 .22、( ) 双曲线 x2 y 11）过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 P1 、 P2 ，则线段 P1 P2的中点 P的轨迹方程为 2）过 A（1，1）能否作一直线 L与此双曲线交于

4、 P1、 P2两点，且 A是线段 P1 P2的中点？说明理由3、（ ）如图,椭圆的焦点 F1（-4,0）,F 2（4,0）, 过 F2且垂直于 x 轴的直 线与椭圆的一个交点为 B，|F 1B|+|F 2B|=10，椭圆上两异点 A（x1,y 1）， C（x2,y 2）满足条件 |F 2A| ， |F 2B| ，|F 2C|成等差数列，（1）求此椭圆的方程，（2）求弦 AC中点的横坐标，（3）设弦 AC的中垂线的方程为 y=kx+m,求 m的取值范围 .（二）焦点弦、焦点三角形问题思想方法： 圆锥曲线上一点 P，与两个焦点 F1、 F2构成的三角形 （称为焦点三角形 ）问题，常结合定义,用正、

5、余弦定理搭桥2 / 20224、（） 点 F1，F2为椭圆 x3 y2 1 的左右焦点，直线 L 过焦点 F1与椭圆交天 A，B 两点，求三角形 AF2面积的最大值解： |F 1F2|=2SAF2B= 1| F 1F2|y 1-y 2| （其中 y1，y2为 A，B 的纵坐标）2 设直线 L：x=py-1 （过左焦点的直线），代入椭圆方程22 利用伟达定理得出 |y 1-y 2| ，|y 1-y 2| 2=（y1+y2）2-4y 1y2 p=0 时最大， Smax= 4 335、( ) 设 P(x,y)为椭圆2x2a2y2 1(a b 0) 上任一点， bF1( c,0) ， F2(c,0)

6、为焦点，PF1F2， PF2F11）求证：离心率 esin( ) sin sin2）求使得 F1PF2最大时 P 点的坐标4）求|PF1|2+|PF2|2 的最大值6）若存在动点 P，使得 F1PF2=900，求离心率的范围3）求|PF1|PF2|的最大值.5）求证 S=tan2（三）直线与圆锥曲线思想方法： 基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求 根公式等来处理 . 应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题 . 如果直线过椭圆 的焦点，结合三大曲线的定义去解 .此类问题的运算量较大，要注意强化自己的运算能力 .22x y3 / 2019

7、166、() 过点 P(3，5)与双曲线有且仅有一个公共点的直线有条.7、()直线 L : y kx 1与双曲线 C : x2 y2=4。(1) 若直线 L与双曲线 C无公共点， k的范围为；(2) 若直线 L与双曲线 C有两个公共点， k的范围为 ；(3) 若直线 L与双曲线 C的右支有两个公共点， k的范围为 ；8、( )两定点 F1(2 ，0 )、F2( 2 ，0)，满足 |PF2| |PF1| 2 的点 P的轨迹是曲线 E， 直线 y=kx-1与曲线 E交于 A、B两点，若 |AB|=6 3 ，且曲线 E上存在点 C，使 OA OB mOC ， 求 m 的值和三角形 ABC 的面积 .

8、解：x2-y2=1 与 y=kx-1 联立，得( 1-k2)x2+2kx-2=022 设：A(x1,y1),B(x2,y2)，故 x1+x2=2k/(k2-1),x1x2=2/(k2-1) 由弦长公式， |AB|=63，解得 k2=5/4或 5/7 由(1)得 k 的取值范围是( -2，-1) 所以 k= 5/2 点C是过原点 O和线段 AB 中点的直线与曲线 E的交点 线段 AB 中点坐标是 M (-25，4) 所以 C( -5，2),m=2，三角形 ABC 的面积为 S=5 3229、( ) 如图椭圆 x2 y2 1(a ab的直线 l 与 x 轴垂直，椭圆的离心率 e(1)求椭圆的标准方

9、程；(2) 设 P是椭圆上异于 A 、B的任意一点， PHx轴， H为垂足，延长 HP到点 Q使得 HPPQ. 连接4 / 20AQ并延长交直线 l于点M，N为MB 的中点，判定直线 QN与以 AB为直径的圆 O的位置关系（四）圆锥曲线的最值（范围）问题 思想方法： 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 . 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现 明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值 “最值问题，函数思想” .10、（）抛物线 y2 2x点 P到焦点 F与 P到点 A（3,2）的距离

10、之和最小时 P点的坐标为2211、（）直线 l：y=x+9，椭圆 C： 1x2 y3 1，求与 C有公共焦点，与直线 l 有公共点且长轴最短12 3 的椭圆 C的方程 .5 / 202y 1 上一点 P，点 A (2，1)，7212、( ) 左右焦点分别为 F1、F2 的椭圆 x 4 16(1)求 |PA|+ 4 |PF1| 的是小值3(2)求|PA|+ |PF1|的最大值13、( )抛物线 x2=2py,(p0)，点 P(0,m)，(m0),求使点 P到抛物线上的动点 Q的距离取得最小 值时 m 的值 .14、( )抛物线 y2=2px(p0)，过 M(a,0)且斜率为 1的直线 L 与抛物

11、线交于不同的两点A、B，|AB|2p.1)求 a的取值范围；2)若线段 AB 的垂直平分线交 x轴于点 N，求 NAB 面积的最大值 .(五) 求曲线的轨迹或轨迹方程问题 思想方法： 圆锥曲线的定义法，待定系数法、交轨法等 .记住特殊的轨迹类型 .15、( ) 动点 P，两定点 A、B，有|PA|=k|PB| ，(k0), 且|AB|=2 ，求三角形 ABC面积的最大值 .6 / 2016、（ ）定长线段 AB的中点为 O，平面上一动点 P满足： |PA|PB|+|PO2|=t2（定值），求点 P的轨迹.17、（ ）直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上。若点 A（-

12、1，0）和点 B（0，8）关于 L的对称点都在 C上，求直线 L 和抛物线 C的方程 .（六）对称性问题思想方法： 对称的思想方法：基本的对称关系 . 曲线上两点关于某直线对称问题，充分利用韦达定 理并结合判别式来解 .注意曲线本身的有界性 .18、（搞笑题 ）（） 直线型河流 l,同侧的两个村庄 A、B，APl,BQl,垂足分别为 P，Q， 且|AP|=1km，|BQ|=2km,，|PQ|=1km,现要在河流旁建一水站，将水供至两 个村庄，问水站应该建在什么位置，能使所用水管最短？说明理由，7 / 202219、( )椭圆 C的方程 x4 y3 1，试确定 m的取值范围，使得对于直线 y 4

13、x m，椭圆 C上 43有不同两点关于直线对称 。解一: 设椭圆 C上关于直线l 对称的两点为 P(x1,y 1) 、Q(x2,y 2), 其所在直线方程为 y=- x+b,代入椭圆2 2 2 2 方程 3x +4y =12. 整理得 13x -8bx+16b -48=0,2 x1x2, =-12(4b 2-13) 0.解得 -b.又而点()又在直线 y=4x+m上, m=. 把代入得 m的取值范围是 -m.解二 : 由解法一知 2x0=x1+x2= ,x 1x2= . 其中 PQ的中点坐标为 M(x0,y 0),由 消去 y0, 把 x0= b 代入可解得 m=- b,x 0=-m,根据中点

14、 M的位置,必有(x 1-x 0)(x 2-x 0) 0,即 x1x2-x0(x1+x2)+x020.由此解得-m8 / 20解三: 设椭圆上关于 l 对称的两点为 P(x1,y 1) 、Q(x2,y 2),PQ 的中点 M(x0,y 0). 则可求得 . 又点 M在 l 上, y0=4x0+m. 由联立解得 x0=-m,y 0=-3m.M(-m,-3m) 在椭圆的内部 , 3( -m)2+4(-3m) 212, 解得-m - = .l在 y 轴上截距的取值范围是 ( ,+ ).(七) 定点定值问题 思想方法： 充分利用圆锥曲线的定义进行等价转化 ,发现其中定的因素 ,21、( )A、B是抛物

15、线 y2=2px,(p0) 上的两个动点， O是原点， AOB=900，则直线 AB是否过定点？ 说明理由.9 / 2022、( ) 椭圆2x2a2y2 1（a b 0）与直线 x+y-1=0 交于 P、Q两点，原点为 O，且 OP bOQ 01）求证： 12 12 为定值a b 32）当椭圆的离心率 e 332 时，求椭圆长轴的取值范围22223、（ ）椭圆 C： x2 y2 1（a b 0）过定点（ 0，1），离心率 e= 3 ， a2 b2 2（1）求此椭圆 C 方程A 2的动点，（2）A1，A2为椭圆的左右顶点，直线 l ：x=2 2 与 x 轴交于点 D，点 P是椭圆上异于 A1，

16、直线 A1P，A2P分别交直线于 E， F两点，求证： |DE|DF|为定值 .224、（ ）已知椭圆 R： x2 a核心拓展传授高分策略by2 1 a b 0 的长轴长为 4，且过点 3，2）求椭圆 R 的方程；）设 A、 B 、M 是椭圆上的三点，若 OM3OA 4OB ，点 N 为线段 AB 的中点，55C、 D 两点10 / 20的坐标分别为 6 ,0 、 6,0 ，求证： NC ND 2 2分2a 4解:(1)由已知1 , 解得 a 2,b 1.:(1)a32 b42 1, 解得 a 2,b 1.2椭圆的方程为 x4 y2 1分2)设 A x1,y1 ,B x2,y2 ，M xM ,

17、yM ，则 4 y1x22 y216分由OM3OA545OB,34343434得 xMx1x2,yMy1y2 ,即 Mx1x2, y1y2515 2 M5152515251521，分342x1x251524即（2x12y12)324522得34255Q M 是椭圆 R 上点，所以2341，y1y251522x222 y22424534 x1x2y1y255434x1x2y1y25541，故x1x2y1y24分10 分又线段 AB的中点 N 的坐标为x1x2 , y1 y2 ， 10 分222x1 x222 y1 y21x122 1 x22 y122 y2x1x2 y1y2 1， 11 分222

18、41 2 44 1 2线段 AB的中点 N x1 x2 ,y1 y22 在椭圆 x2y21上 12分a1）求椭圆的离心率 e ；2 2 211 / 20uuuur uuuur(2)设直线 PF2与椭圆相交于 A,B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足 AM gBM 2， 解：( 1)设 F1( c,0), F2(c,0)( c 0)，由题意,可得 PF2 F1F2 ,即 (a c) 积为 1. b2 2c， 2分 整理得2(c)2c1 0，得c1(舍)或c 1，所以e1. 4分aa a a 225分(2)由( 1)知 a 2c,b3c ,可得椭圆方程为 3x2 4y2 12c2.直线 PF

19、2 方程为 y 3(x c),2 2 2A, B两点的坐标满足方程组 3x2 4y2 12c2,消去 y并整理得 5x2 8cx 0,6分 y 3(x c)解得 x10,x2 58c,得方程组的解 xy11 0 3c,x1y18c53 3c y25x28分不妨设A(85c,3 3c5uuuur 8AM (x 8 c,y5), B(0, 3c),设 M 的坐标为 (x,y) 则 5uuuur3 3c), BM5 ),(x, y 3c) ，10分由 y 3(xc), 得 c于是 uuuur 8 3 3 8 于是 AM ( y x, y15 5 5 uuuur uuuur由 AM gBM2 得 (8

20、3. x y.3uuuur 3 3 x), BM(x, 3x)11分y 3 * *5x) x5(8y 3 3x) 3x55化简得 18x2 16 3xy 15 0 ，13分将y 18x2 15 代入c x 3 y得c16 3x 310x2 5 ，16x由c 0得x 0.因此,点 M 的轨迹方程是 18x2 16 3xy 15 0(x0) . 14 分26、( )直角坐标系 xOy ，已知点 A( 2,0) ，B( 2,0) ，E 为动点，直线 EA 与直线EB的斜率之PN ，求点解：()设动点E的坐标为 (x,y), y 2 ，依题意可知 y y1，x 2 x 2 22 整理得 x2y2 1(

21、x 2)分2所以动点 E的轨迹 C的方程为 x2 y2 1(x 2) .5分)当直线 l 的斜率不存在时，满足条件的点 P 的纵坐标为 0.分当直线 l的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x 1).2将 y k(x 1)代入 x2 y2 1并整理得，2 2 2 2(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0.8k2 8 0.分设M(x1,y1)，N(x2, y2)，则x1x24k2 ，2k2 1 ，yQ k(xQ 1)k，22k2 1设 MN 的中点为 Q ，则 xQ22k ，Q 2k2 1所以 Q( 22k2k2 12k2 1).分由题意可知 k0，k2k2 1又直线 MN 的垂直平

22、分线的方程为 y 212k2k1(x 2k22k 1).令x0 解得 yPk2k2 112k 1k1分当k0 时，因为2k2 2 ，所以 0 yP122 2 4当k0 时，因为2k2 2 ，所以 0 yP1223 1分综上所述，点P 纵坐标的取值范围是 2, 2.4414 分27( ) 如图，x2已知椭圆 C： x2aby2 1(a b 0)的离心率为 23 ，以椭圆 C的左顶点 T为圆心作13 / 20圆 T ： (x 2)2 y2 r 2(r 0) ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N (1)求椭圆 C 的方程；uuur uuur(2)求 TM TN 的最小值，并求此时圆 T 的方

23、程；(3) 设点 P 是椭圆 C 上异于 M ,N 的任意一点，且直线 MP ,NP 分别 与 x 轴交于点 R,S ， O 为坐标原点，求证： OR OS 为定值27.解：( 1)依题意，得 a 2， e c 3 ， c 3,b a2 c2 1；a22故椭圆 C 的方程为 x y2 1 3 分42)方法一：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 M (x1,y1) ， N(x1, y1) ， 不妨设y1 0 22x1y1由于点 M 在椭圆 C 上，所以 y1 14*)4分由已知 T( 2,0) ，则 TM (x1 2, y1) ，TNTM TN (x12, y1) (x1 2,y1)(x1(

24、x12)22,2y1y1) ，(x122)2 (1 x1 )452x144x154(x185)26分uuur uuur2 ，故当 x18 时， TM TN 取得最小值为53 ，故 M ( 8,3) ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 5 5 5故圆 T 的方程为： (x 2)2 y2 13 25方法二：点 M 与点 N 关于 x 轴对称，故设 M (2cos ,sin ), N (2cos , sin 不妨设 sin 0 ， TM TN (2cos (2cos故当 cos 4 时5由于 2 x1由(* )式， y1由已知 T( 2,0) ，则 2,sin ) (2cos 2, 2) 2

25、 sin25cos2uuur uuur， TM TN 取得最小值为又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到8分故圆 T 的方程为： (x 2)22 13 y2 25sin )8cos1 ，此时 M (513258分4 2 13 5(cos)28,3)5， 55,5)，(3) 方法一：设 P(x0, y0) ，则直线 MP 的方程为： y y0y0 y1 (x x0) ，x0 x1r21325)，6分令y0，得 xRx1y0x0y1， 同理：x1 y0x0y1 ， 10 分xSy0 y1y0y12222故 xRxSx1 y0x0 y1( * ) 11 分22y0y1又点M 与点P在椭圆上，故x0

26、2 4(122 y0 ) ， x124(1 y12) ， 12 分xR xS2 2 2 2 4(1 y12)y02 4(1 y02)y12 22 y0 y1224(y02 y12)22 y0 y1代入(* )式，得：4所以 OR OS xR xSxR xS 4 为定值14 分方法设 M (2cos,sin ), N (2cos , sinsin 0 ， P(2cos ,sin ) ， 其 中sinsin 则直线 MP 的方程为： y sinsin sin(x 2cos ) ，2cos 2cos令y2(sin cos cos sin )0 ，得 xR，sin sin同理：12分故 xR xS22

27、22sinsinsinsin2(sin cos cos sin )xS，sin sin2 2 2 2 2 24(sin cos cos sin ) 4(sin sin ) 4xR xS 4 为定值所以 OR OS xR xS14 分课外练习 . 巩固学习成果、选择题1()y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围 ( )A 21，12B 2,2C 1,1D 4,422xy2 ( )椭圆a2b21( ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过 F1 作倾斜角为 30的直线与椭圆有一个交点 P，且 PF2x 轴，则此椭圆的离心率 e

28、为 ()15 / 20A.33B.C.D.22 xy 3() 已知 F1、F2是双曲线 a2b21(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2 为斜边作等腰直角三角形F1MF2，如果线段 MF1 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ( )A. 6 2 B.6 2 C.102 2 D. 102 24()斜率为 1的直线 l 与椭圆x4y21 相交于 A、B两点，则| AB|的最大值为 (A2B.455C.4 105D.8 105影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 6() 抛物线 y22px(p0)上一点 M(1 ，m)到其焦点的距离为 5，双曲线 x2ya1 的左顶点为 A， a22xy

29、7( ) 椭圆a2b21(ab0) 的一个顶点为A(0,1) ，且它的离心率与双曲线 x3 y21 的离心率互35() 若斜率为 22的直线 l22xy与椭圆 a2b21(ab0) 有两个不同的交点，且这两个交点在 x 轴上的射、填空题2若双曲线的一条渐近线与直线 AM垂直，则实数 a三、解答题为倒数(1) 求椭圆的方程；(2) 过点 A且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A、B两点，点 M在椭圆上，且满足16 / 20uuuur 1uuur3uuurOM 2OA 2 OB，求 k 的值228 ( ) xa2yb21( ab0)的长轴为短轴的 3倍，直线 yx 与椭圆交于 A、B 两点，C

30、 为椭圆的右顶 uuur uuur 3点， OA OC 2.(1) 求椭圆的方程；uuur uuur uuur(2) 若椭圆上两点 E、F使OE OF OA，(0,2) ，求 OEF面积的最大值9( ) 已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 (2, 0) ，右顶点为 ( 3，0)(1) 求双曲线 C的方程；(2) 若直线 ykxm(k0，m0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N，且线段 MN的垂直平分线过点 A(0 ， 1) ，求实数 m的取值范围17 / 20简易答案、1、C，2、A， 3、C， 4、 C，21、5， 2 ，6 ， 4三、 7，解：解： （1） 双曲线 x3 y21的离心率

31、为 2 3 3，椭圆的离心率为 23 x2 2又 b 1， a2. 椭圆的方程为 4 y21.（2） 设直线 l 的方程为 ykx1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）ykx1，2 x2 4y21，22得（1 4k2）x28kx0，8kx1x214k2，x1x2 0.8、解： （1） 根据题意，a 3b， C（a,0），设A（t，t），则t0，ta22tb221.uuur 1uuur3uuur 1 1OM 2OA 2 OB ，m2（x1 3x2），n2（y1 3y2），点 M在椭圆上， m2 4n24，4此时 （8k）24（14k2）064k2160k 的值为 2.（x1 3x2）2（y1 3y2） 2 41（ x124