抛物线练习附答案

1、抛物线练习及答案1、已知点 P在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P到点 Q( 2， 1)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点22、已知点 P 是抛物线 y2P的坐标为。( 1,1)2x 上的一个动点，则点4P 到点( 0，2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为17。23、直线 y x 3与抛物线 y2 4x交于 A, B两点，过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分 别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为 。 482 uuur4、设 O是坐标原点， F 是抛物线 y2 2px(p 0)的焦点， A是抛物线上的一点， FA 与x轴正 向的夹角为 60o ，

2、则 OuuAur 为。5、抛物线 y2 4x的焦点为 F ，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x轴上方的部 分相交于点 A， AK l ，垂足为 K，则 AKF 的面积是。4 36、已知抛物线 C : y 8x 的焦点为 F ，准线与 x轴的交点为 K ，点 A在C 上且 AK 2 AF ， 则 AFK 的面积为。 822xy7、已知双曲线1 ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程45为。8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA的垂直平分线过抛物线2y2 2px(p 0) 则该抛物线的方程是 。9、在平面直角坐标系 xoy中，

3、已知抛物线关于 x轴对称，顶点在原点 O，且过点 P(2，4)，则该抛物线的方程是。 y2 8x210、抛物线 y x2 上的点到直线 4x 3y 8 0 距离的最小值是11、已知抛物线 y 2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x 1,y1),B(x 2,y2)两点，则 y12+y22的最小 值是。 32212、若曲线 y2|x|1与直线 y kx b没有公共点，则 k 、 b分别应满足的条件是。 k =0,-1 b2.169uuur uuur则 CEgCF不平行于 y 轴） x2 时，点 P（ x,0）AB（ 1）证明：点 P（ x0,0）的所有 “相关弦 ”的中点的横坐标

4、相同； （2）试问：点 P（x0,0）的“相关弦 ”的弦长中是否存在最大值？若存在， 若不存在，请说明理由 .解 : （ 1）设 AB 为点 P（ x0,0）的任意一条 （x1 x2）,则 y2 1=4x 1, y22=4x2,两式相减得（设直线 AB 的斜率是 k ，弦 AB 的中点是 M从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为ym又点 P（x0,0）在直线 l 上，所以ym而 ym0, 于是 xm x0 2. 故点 Px0,0)（2）由（1） 知，弦 AB 所在直线的方程是整理得 k2x2 2k(ym kxm) 2x(ym则 x1、x2 是方程（ ）的两个实根，且x1设点P 的 “相关弦 ”

5、AB的弦长为 l ，则l2(x1 x2)2(y1y2 )2 (1 k2)(x1(12k2)( x1x2)24(1422 )xm ym(ym的最大值为 16 ，最小值为9的垂直平分线与 x 轴相交于存在无穷多条 “相关弦 ”给.定求其最大值 （用 x0 表示）：相关弦 ”，且点 A 、 B 的坐标分别是.因为 x1y1+y 2)( y1-y2)=4( x1-x2)x1,y1)、(x2,y2)x2,所以 y1+y2 0.xm, ym),则 k=m (x xm).2 ym (x0 xm).2x1 x2y1 y2ym的所有 “相关弦 ”的中点的横坐标都是ym k(x xm) ，代入 y2 4x中，kx

6、m)2 0.）x0-2.x2x2)2224x1x2 4(1 k2)(xm22ym)(4xm 4(xm 1)2 ym2 2(x(4ym2)22xm) ym42ymym 4ym(xm m 1)2 4(x01)1)22因为 0 ym 3,则 2(x 0-3)有最大值 2(x0-1).若 2x03,则 2(x0-3) 0,g(t) 在区间2(x0 3)2.(0,4x 0-8).2(0, 4x 0-8),所以当 t=2(x 0-3),即 ym =2(x 0-3)时,l0，4 x0-8）上是减函数，所以 0l 23 时，点 P 2 x0 3 时，点 P（ x0,0）的20、已知曲线 C 是到点 P（x0,

7、0）的“相关弦 ”的弦长中存在最大值，且最大值为 相关弦 ”的弦长中不存在最大值 .12（ x0-1）；当的直线，3 ）和到直线 y5 距离相等的点的轨迹。88M 是 C 上（不在 上）的动点；A 、 B 在 上， MA1）求曲线C 的方程；（ 2）求出直线 的方程，使得QQBA 为常数。是过点 Q（ -1，0）,MB x 轴（如图）1）解：设N（x， y） 为 C 上的点，则 |NP |21x223y8N 到直线 y58的距离为y 8 由题设得化简，得曲线C 的方程为12(x2 x) 22）解法一：x，x ，直线 l :ykxk ，则 B(x，kxk)，从而|QB|1 k2 |x 1| 在

8、Rt QMA 中，因为 |QM |2(x1)221 x2 ，4(x 1)2|MA |22kx21 k2所以 |QA|2 |QM |2 |MA|2(x1)224(1 k2)2(kx 2)2|QA| |x 1|g|kx 2|2 1 k2|QB|2|QA|y当k 2时， |QQBA|25 5 ，从而所求直线 l 方程为 2x解法二：设 M x，x ，直线 l : y kx k ，则 B(x，kxk） ，从而|QB| 1 k2 |x1|过 Q （ 1，0） 垂直于的直线 l1 : y1k1(x 1)10 / 12因为 |QA| |MH |，所以 |QA|x 1|g|kx 2|2 1 k2|QB|2 2

9、(1 k2) 1 k2 gx 1|QA| |k|gx 2k当k22时， |QB|2 |QA|5 5 ，从而所求直线 l 方程为 2x y 2 0 21、如图，已知点 F （1，0） ，直线 l:x1， P为平面上的动点，uuur uuur uuur uuur过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q ，且 QPgQF FPgFQ lyF1O1 x1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；uuur2）过点 F 的直线交轨迹 C于A， B两点，交直线 l于点 M ，已知 MAuuur uuur1 AF ， MBuuurBF ，求 1 2 的值；uuur uuur 解法一：（1）设点 P（x，y），则 Q（ 1，y），由 QPgQFuuur uuurFPgFQ 得：2（x 1，0）g（2， y） （x 1，y）g（ 2，y） ，化简得 C: y2 4x（2）设直线 AB 的方程为：x my 1（m 0） 联立方程组y2 4my2 y x44x， my0，消去 x 得：1，(24m)2 12 0 ，故y1 y24m，y1y24uuuruuuruuur