含有加减运算未定式中的等价代换

1、含有加减运算未定式中的等价代换杨玉华、预备知识我们以 x x0 为例，对其它的极限过程仍成立。1)无穷小：若 lim (x) 0，则称当 x x0时 (x) 为无穷小。x x 02)等价无穷小：若lim(x) 0 ， lim(x) 0 且 lim(x)1，则称当 x x0时x x0 x x0 x x0( x)(x) 与 ( x) 为等价无穷小，记为(x) (x) 。3)无穷小等价代换定理：当x x0时 (x) ， (x) ， 1(x)， 1 (x)均为无穷小，且(x) 1(x) ，(x) 1( x) 。如果lim 1( x)存在，则 lim (x) 存在且有 x x0 1(x)x x0 ( x

2、)limx x0( x) xlimx( x) x x01(x)1(x)使用无穷小等价代换定理，可使极限运算简化，例如：求 limx022 2 cos x22x sin x22解：当 x 0 时， sin x2 x241 cosx2 x 由无穷小等价代换定理可知22 2 cos x 2 lxim0 x2sin x24x2lim42x 0 x 4此极限亦可借助于罗比塔法则求解，但麻烦多了。再如xarctgx2ln(1 x 3)解：当 x 0时， ln(1 x3) x3, arcgtx 2 x2lxim0lxna(1rctgxx32)3lxim0 xx3上述求极限过程使用等价的因子之间是乘积或相除的

3、关系， 等价代换可以任意使用， 不会出现什么问题。 但若这些因子间是相加或相减的关系， 使用等价代换就会出现问题。 例如，tgx x 求 lim3 。x 0 x 3 此题正确解法是使用罗比塔法则，如下：itgx xsec2 x 1tg 2 xm3lim 2lim 2x 0 x3x 0 3x 2x 0 3x2若直接使用无穷小等价代换，就会出现如下情况：lim tgx 3 x lim x 3x 0x 0 x3 x 0 x 3为什么会出现这种情况呢？因为当 x 0时 x x与tgx x不等价，所以不能利用等 价代换定理。 对含有加减运算的不定式， 何时可以用无穷小等价代换定理呢？下面的讨论就 回答了

4、这个问题。、形如 000 00 0 的不定式以下我们用到的(x), (x), (x)均为 xx0时的无穷小量。 以 0 0 型为例给出使0用条件。结 论 1： 当1( x) 1( x) lim 1 1 存在， x x01 ( x) 1 (x) 1(x) 。 lim 。x x01 (x)x0 时 ， ( x) 1(x) ， ( x) 1 (x) ， ( x) 1 (x)lim 1 a 1，则 limx x0 1 (x)x x01 (x) 且 ( x) (x) ( x) (x) 也存在且 lim( x) x x0( x)证明：由(x) 1lim (x) ( x) lim ( x) x x0 1 (

5、x) 1 (x) x x0 1(x)aa111(x) 11(x) 11( x) 1 知 (x) (x) 1(x) 1(x), 1(x) 1(x) (x) (x) 由无穷小等价代换定理可 知，结论 1 成立。注意，结论 1 中的条件 lim 1 (x) a 1是不能少的，否则结论不成立。 x x0 1(x)有了结论 1，再求含有加减运算未定式的极限就简便多了。 tg2x sin x例 3 ：求 lim x 0 x解： lim tg2x 2 1 x 0 sin x tg2x sin x 2x x lim lim 1x 0x x 0 x例 4 ：求 limx0ln(1 5x ) 5解： lim 1x

6、 0 ln(1 2x) 2ln(1 5 x ) ln(1 2 x) sin xsin x解： lim2 sin x零。时，limx x0limx x0(x) n(x) o1 (x x0 )n(x) n( x) o2 (x x0)nln( 1 5x) ln(1 2x) 5x 2x lim 3 x 0 sin x例 5：求极限 lim 2sin x2 3sin x3 x0x 0 3 sin x2x2 3x 3lxim0 2x x23x2若 lim 1(x) 1，则结论 1 不能直接用，需要选取适当的1(x) 和 1(x) 。x x0 1( x)结论 2：设 (x)， (x)在 x0的某个领域 U(

7、x0, )内具有 n+1阶连续导数，且不恒为 n(x)， n (x)分别为 (x)， (x)的 n次泰勒多项式，且 n(x) n (x) 0。当x x0(x) (x)， (x) 1(x)，则( 1)当 x x0时， n(x) n(x) ；(2)若n (x)n (x) 存 在 ， 则 (x) (x) 存 在 ， 且( x) (x) 存 在 ， 则 l i m 存 在 ， 且 lim 1 (x) x x0(x) x x0(x)n(x)n(x) 。1(x)证明：( 1)由泰勒公式有从而有lim (x) lim 1 o1(x x0)n1x x0 n(x) x x0n (x)limx x 0(x)n(x

8、)limx x0即 x x0时， (x) n(x)， (x) n(x)。又 (x) (x) ，所以 n(x) n(x) 。2) limx x0(x) ( x)(x)lim 1(x) n(x) n(x) o (x x0)n xlimx0 (x) 1(x)lim n(x) n(x) 1 o (x x0)n xlimx01(x)1 n (x) n (x)其中 o (x x0 )n o1 (x x0)n o2 (x x0 )nlimx x 0n (x) n (x)1(x)所以结论成立。此结论的使用， 需要掌握泰勒公式，和罗比塔法则相比， 优点不是很突出。所以当我们(x)(x)(x)，首先考虑用罗比塔法，而结论2 只是遇到