中考数学 辅助线

1、几何辅助线（图）作法探讨一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形 的分析，原问题顺利获解。有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。3

2、角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。4 边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，

3、内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形成，添加 辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。精选文库笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果（1）构

4、造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移 变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是基 本图形，

5、但我们后面把它们单独表述。典型例题：例 1.（2012 四川内江 3 分）如图，a / b , 1 = 650, 2 = 1400, 则 3 =【 】a.100 0b.105 0c.110 0d.115 0例 2.（2012 江苏宿迁 3 分）已知点 e，f，g，h 分别是四边形 abcd 的边 ab，bc，cd，da 的中点，若 acbd，且 acbd，则四边形 efgh 的形状是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】如图，连接 ac，bd。e，f，g，h 分别是 ab，bc，cd，da 的中点，根据三角形中位线定理，heabgf，h

6、gacef。又acbd，ehg=hgf=gfe=feh=900。四边形 efgh 是矩形。且acbd，四边形 efgh 邻边不相等。四边形 efgh 不可能是菱形。例 3.（2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）如图，线段 ac=n+1（其中 n 为正整数），点 b 在线段 ac 上，在线段 ac 同侧作正方形 abmn 及正方形 bcef，连接 am、me、ea 得到ame当 ab=1 时 ame 的面积记为 s ；当1ab=2 时，ame 的面积记为 s ；当 ab=3 时，ame 的面积记为 s ；当 ab=n 时 ame 的面积记为 s 当 n22 3 n时，s s = n

7、 n1【答案】2n -12。【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混- 2222 ( )( )( )2精选文库合运算。【分析】连接 be，在线段 ac 同侧作正方形 abmn 及正方形 bcef，beam。ame 与amb 同底等高。 ame 的面积=amb 的面积。当 ab=n 时，ame 的面积为 s =n12n ，当 ab=n1 时，ame 的面积为 s =n12(n-1)。当 n2 时，s -sn n -11 1 1 2n -1 = n - n -1 = n+n -1 n -n+1 =2 2 2 2。例 4.（2012 江苏镇江 6 分）如图，在四边形 a

8、bcd 中，adbc，e 是 ab 的中点，连接 de 并延长交 cb 的延长线于点 f，点 g 在 bc 边上，且gdf=adf。（1） 求证：adebfe；（2） 连接 eg，判断 eg 与 df 的位置关系，并说明理由。【答案】解：（1）证明：adbc，ade=bfe（两直线平行，内错角相等）。e 是 ab 的中点，ae=be。又aed=bef，adebfe（aas）。（2）eg 与 df 的位置关系是 egdf。理由如下：ade=bfe，gdf=adf，gdf=bfe（等量代换）。gd=gf（等角对等边）。又ade bfe，de=ef（全等三角形对应边相等）。egdf（等腰三角形三线合

9、一）。例 5.（2012 广西南宁 10 分）如图，已知矩形纸片 abcd，ad=2，ab=4将纸片折叠，使顶点 a 与边 cd 上的点 e 重 合，折痕 fg 分别与 ab，cd 交于点 g，f，ae 与 fg 交于点 o（1） 如图 1，求证：a，g，e，f 四点围成的四边形是菱形；（2） 如图 2，当aed 的外接圆与 bc 相切于点 n 时，求证：点 n 是线段 bc 的中点；（3） 如图 2，在（2）的条件下，求折痕 fg 的长【答案】解：（1）由折叠的性质可得，ga=ge，agf=egf，- 3精选文库dcab，efg=agf。efg=egf。ef=eg=ag。 四边形 agef

10、是平行四边形（efag，ef=ag）。又ag=ge，四边形 agef 是菱形。（2）连接 on，aed 是直角三角形，ae 是斜边，点 o 是 ae 的中点，aed 的外接圆与 bc 相切于点 n，onbc。点 o 是 ae 的中点，on 是梯形 abce 的中位线。点 n 是线段 bc 的中点。（3）oe、on 均是aed 的外接圆的半径，oe=oa=on=2。ae=ab=4。 在 rtade 中，ad=2，ae=4，aed=30。在 rtoef 中，oe=2，aed=30，of =2 3 4 3。fg= 2of =3 3。二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要

11、补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等 腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。典型例题：例 1. （2012 浙江丽水、金华 4 分）如图，在等 abc 中，abac，bac50bac 的平分线与 ab 的中垂线交于点 o，点 c 沿 ef 折叠后与点 o 重合，则cef 的度数是 【答案】50。连接 bo，abac，ao 是bac 的平分线，ao 是 bc 的中垂线。boco。bac50，bac 的平分线与 ab 的中垂线交于点 o，oaboac25。等腰abc 中，abac，

12、bac50，abcacb65。 obc652540。obcocb40。点 c 沿 ef 折叠后与点 o 重合，eoec，ceffeo。ceffeo（18002400）250。例 2.（2012 甘肃白银 10 分）如图，已知abc 是等边三角形，点 d、f 分别在线段 bc、ab 上，efb=60，dc=ef （1）求证：四边形 efcd 是平行四边形；（2）若 bf=ef，求证：ae=ad- 4精选文库【答案】证明：（1）abc 是等边三角形，abc=60。efb=60，abc=efb。efdc（内错角相等，两直线平行）。dc=ef，四边形 efcd 是平行四边形。（2）连接 be。bf=e

13、f，efb=60，efb 是等边三角形。eb=ef，ebf=60。dc=ef，eb=dc。 abc是等边三角形，acb=60，ab=ac。ebf=acb。aebadc（sas）。ae=ad。例 3.（2011 上海 12 分）如图，在梯形 abcd 中，ad/bc，abdc，过点 d 作 debc，垂足为 e，并延长 de 至 f， 使 efde联结 bf、cd、ac（1） 求证：四边形 abfc 是平行四边形；（2） 如果 de2bece，求证四边形 abfc 是矩形【答案】解：（1）证明：连接 bd。梯形 abcd 中，adbc，ab=dc，ac=bd，acb=dbcdebc，ef=de，

14、bd=bf，dbc=fbc。ac=bf，acb=cbf。acbf。四边形 abfc 是平行四边形；（2）de2bece，de cebe de。deb=dec=90，bde dec。cde=dbe，bfc=bdc=bdecde=bdedbe=90。四边形 abfc 是矩形。三、构造直角三角形： 通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互 余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。典型例题：例 1.（2012 广西柳州 3 分）已知：在abc 中，ac=a，ab 与 bc 所在直线成 45角，ac 与 bc 所在直线形成的夹角的余弦值为2 25 （即 cosc=

15、5 ），则 ac 边上的中线长是 5 5【答案】85 5a 或 a。10 10-52 222251020 10 【分析】分两种情况：abc 为锐角三角形时，如图 1，be 为 ac 边的作abc 的高 ad，过点 e 作 efbc 于点 f。精选文库中线。在 rtacd 中，ac=a，cosc=255，cd=2555a，ad= a。5在 rtabd 中，abd=45，bd=ad=553 5a。bc=bd+cd= a。5点 e 是 ac 的中点，efad，ef 是acd 的中位线。fc=1 5 1 5 dc= a，ef= ad= a。2 5 2 10bf=255a。在 rtbef 中，由勾股定理

16、，得 be = bf +ef =2 5 17 85 5a + a = a = a 。abc 为钝角三角形时，如图 2，be 为 ac 边的中线。 作abc 的高 ad。在 rtacd 中，ac=a，cosc=255，cd=2555a，ad= a。5在 rtabd 中，abd=45，bd=ad=5 5 a。bc= bd= a。5 5点 e 是 ac 的中点，be 是acd 的中位线。be=1 5ad= a。2 10综上所述，ac 边上的中线长是85 5a 或 a。10 10例 2. （2012 广西河池 3 分）如图，在矩形 abcd 中，adab，将矩形 abcd 折叠，使点 c 与点 a 重

17、合，折痕为 mn，连结 cn若cdn 的面积与cmn 的面积比为 14，则mnbm的值为【 】a2b4 c2 5d2 6【答案】d。 -62 222 20 0 0精选文库过点 n 作 ngbc 于 g，四边形 abcd 是矩形，四边形 cdng 是矩形，adbc。 cd=ng，cg=dn，anm=cmn。由折叠的性质可得：am=cm，amn=cmn，anm=amn。 am=an。 am=cm，四边形 amcn 是平行四边形。am=cm，四边形 amcn 是菱形。cdn 的面积与cmn 的面积比为 1：4，dn：cm=1：4。设 dn=x，则 an=am=cm=cn=4x，ad=bc=5x，cg

18、=x。bm=x，gm=3x。在 rtcgn 中， ng = cn -cg =(4x)-x2= 15x ，在 rtmng 中， mn = gm +ng =(3x)2+(15x)2=26x ，mn 2 6x= =2 6bm x。故选 d。例 3.（2012 北京市 5 分）如图，在四边形 abcd 中，对角线 ac，bd 交于点 e，bac=90 ，ced=45 ，dce=90 ，de= 2 ，be=2 2 求 cd 的长和四边形 abcd 的面积【答案】解：过点 d 作 dhac，ced=45，dhec，de= 2 ，eh=dh=1。又dce=30，dc=2，hc= 3 。aeb=45，bac=

19、90，be=2 2 ，ab=ae=2。ac=2+1+ 3 =3+3 。 s四边形abcd=1 1 9 +3 3 2 （3+ 3）+ 1（3+ 3）=2 2 2。【考点】勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。 典型例题：例 1. （2012 浙江绍兴 5 分）如图，在矩形 abcd 中，点 e，f 分别在 bc，cd 上，将abe 沿 ae 折叠，使点 b 落在 ac 上的点 b处，又将cef 沿 ef 折叠，使点 c 落在 eb与 ad 的交点 c处则 bc：ab 的值

20、为 。- 7精选文库例 2. （2012 山东泰安 3 分）如图，abcd，e，f 分别为 ac，bd 的中点，若 ab=5，cd=3，则 ef 的长是【 】a4 b3 c2 d1【答案】d。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接 de 并延长交 ab 于 h，cdab，c=a，cde=ahe。e 是 ac 中点，de=eh。dce hae（aas）。de=he，dc=ah。f 是 bd 中点，ef 是dhb 的中位线。ef= bh=abah=abdc=2。ef=1。故选 d。12bh。例 3.（2012 山东德州 12 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片

21、abcd，点 p 为正方形 ad 边上的一点（不与点 a、点 d 重合）将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交 dc 于 h，折痕为 ef，连接 bp、bh （1）求证：apb=bph；（2） 当点 p 在边 ad 上移动时，pdh 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3） 设 ap 为 x，四边形 efgp 的面积为 s，求出 s 与 x 的函数关系式，试问 s 是否存在最小值？若存在，求出这个 最小值；若不存在，请说明理由- 82 2 2222( )( )22精选文库【答案】解：（1）如图 1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephep

22、b=ebcebp，即pbc=bph。又adbc，apb=pbc。apb=bph。（2）phd 的周长不变为定值 8。证明如下：如图 2，过 b 作 bqph，垂足为 q。由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbp（aas）。ap=qp，ab=bq。又ab=bc，bc=bq。又c=bqh=90，bh=bh，bchbqh（hl）。ch=qh。 phd 的周长为：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如图 3，过 f 作 fmab，垂足为 m，则 fm=bc=ab。又ef 为折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90。efm=abp。又

23、a=emf=90，ab=me，efm bpa（asa）。 em=ap=x在 rtape 中，（4be） +x =be ，即 be =2+x8。 cf =be -em =2+x8-x 。又四边形 pefg 与四边形 befc 全等，1 1 x 1 1 s = be +cf bc= 4+ -x 4= x -2x+8= x -2 +6 。 2 2 4 2 2 0 12 4 ，当 x=2 时，s 有最小值 6。- 92精选文库例 4. （2011 广西南宁 3 分）如图，在abc 中，acb90，a15，ab8， 则 acbc 的值为【 】a14 b16 3 c4 15 d16【答案】d。【考点】全等

24、三角形的判定和性质，锐角三角函数。【分析】延长 bc 到点 d，使 cdcb，连接 ad，过点 d 作 deab，垂足为点 e。则知acdacb，从而由已知得cada15，adab。因此，在 rtade 中，1ad8，bad30，deadsin304。从而 s abde16，又 sadeade1 1bdac 2bcacacbc，即 acbc16。 2 2例 5. （2011 山东济南 3 分）如图，在abc 中，acb90，acbc，分别以 ab、bc 、ca 为一边向abc 外作正方形 abde、bcmn、cafg，连接 ef、gm、nd，设aef、bnd、cgm 的面积 分别为 s 、s

25、、s ，则下列结论正确的是【 】1 2 3as s s1 2 3cs s s1 3 2bs s s1 2 3ds s s2 3 1【答案】a。【分析】过点 d 作 dqmn 交 cb 的延长线于点 p，交 mn 的延长线于点 q；过点 e 作 ergf 交 ca 的延长线于点 s，交 gf 的延长线于点 r。易证cgmcab（sas），即 s ；2 abc易证pbdcab（aas），bp=ac，即 s 的底为 bn=bc，高为 bp=ac，s s ；3 2 abc易证seacab（aas），as=bc，即 s 的底为 fa=ca，高为 as=bc，s s 。1 2 abcs s s s 故选

26、a。1 2 3 abc例 6. （2011 山东德州 8 分）如图 ab=ac，cdab 于 d，beac 于 e，be 与 cd 相交于点 o（1） 求证 ad=ae；（2） 连接 oa，bc，试判断直线 oa，bc 的关系并说明理由【答案】解：（1）证明：在acd 与abe 中，- 10精选文库a=a，adc=aeb=90，ab=ac，acdabe（aas）。ad=ae。（2）在 rtado 与 rtaeo 中，oa=oa，ad=ae，adoaeo（hl）。dao=eao。即 oa 是bac 的平分线。又ab=ac，oabc。五、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等

27、、对应边成比例的性质，达到求证（解） 的目的。典型例题：例 1.（2012 湖北十堰 3 分）如图，矩形 abcd 中，ab=2，ad=4，ac 的垂直平分线 ef 交 ad于点 e、交 bc 于点 f，则 ef= 【答案】 5 。【分析】连接 ec，ac、ef 相交于点 o。ac 的垂直平分线 ef，ae=ec。四边形 abcd 是矩形，d=b=90，ab=cd=2，ad=bc=4，adbc。aoecof。ao oeoc of。oa=oc，oe=of，即 ef=2oe。在 rtced 中，由勾股定理得：ce2=cd2+ed2，即 ce2=（4ce）2+22，解得： ce=在 rtabc 中，

28、ab=2，bc=4，由勾股定理得：ac= 2 5 ，co= 5 。52。在 rtceo 中，co= 5 ，ce=525，由勾股定理得：eo= 。ef=2eo= 5 。2例 2.（2012 天津市 10 分）已知一个矩形纸片 oacb，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 a（11，0），点 b（0， 6），点 p 为 bc 边上的动点（点 p 不与点 b、c 重合），经过点 o、p 折叠该纸片，得点 b和折痕 op设 bp=t（）如图，当bop=300 时，求点 p 的坐标；（）如图，经过点 p 再次折叠纸片，使点 c 落在直线 pb上，得点 c和折痕 pq，若 aq=m，试用含有 t 的式子

29、表示 m；（）在（）的条件下，当点 c恰好落在边 oa 上时，求点 p 的坐标（直接写出结果即可）- 1122精选文库【答案】解：（）根据题意，obp=90，ob=6。在 rtobp 中，由bop=30，bp=t，得 op=2t。op2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t = 2 3 ，t = 2 3 （舍去）1 2点 p 的坐标为（ 2 3 ，6）。（）obp、qcp 分别是由obp、qcp 折叠得到的，ob obp qcpqcpopb=opb，qpc=qpc。opb+opb+qpc+qpc=180，opb+qpc=90。 bop+opb=90，bop=cpq。又obp=c=

30、90，obp pcq。ob bp= 。pc cq由题意设 bp=t，aq=m，bc =11，ac=6，则 pc=11t，cq=6m6 t 1 11= 。 m = t - t +6 （0t11）。 11 -t 6 -m 6 6（）点 p 的坐标为（11 - 13 11+ 13，6）或（ ，6）。 3 3【分析】（）首先过点 p 作 peoa 于 e，易证得ecqa，由勾股定理可求得 cq 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 m =1 11t - t +6 ，即可求得 t 的值： 6 6过点 p 作 peoa 于 e，pea=qac=90。 pce+epc=90。pce+qca=90，epc

31、=qca。pcecqa。pe pc= 。 ac cqpc=pc=11t，pe=ob=6，aq=m，cq=cq=6m，- 122 2222522 22 2sdf44 dadf dabc9精选文库 ac=cq -aq =36 -12m 。6 =36 -12m11 -t6 -m。6 t 6 11 -t 6 6 = ，即 = ， = ，即 36 -12m=t 。 11 -t 6 -m t 6 -m 36 -12m tt =11 11将 m =t - t +6 代 入 ， 并 化 简 ， 得 3t 6 611 - 13 11+ 13，t = 。3 32-22 t +36=0 。 解 得 ：11 - 13

32、 11+ 13点 p 的坐标为（，6）或（ ，6）。3 3例 3.（2012 湖南岳阳 3 分）如图，abc 中，ab=ac，d 是 ab 上的一点，且 ad= efac，bc=6，则四边形 dbcf 的面积为 【答案】15。【分析】如图，过 d 点作 dgac，垂足为 g，过 a 点作 ahbc，垂足为 h，23ab，dfbc，e 为 bd 的中点若ab=ac，点 e 为 bd 的 中点，且 ad=23ab，设 be=de=x，则 ad=af=4x。dgac，efac，dgef，ae de 5x x 4 = ，即 = ，解得 gf= x 。af gf 4x gf 5dfbc，adfabc 又

33、dfbc，dfg=c，df ad df 4x= ，即 = ，解得 df=4。 bc ab 6 6x4xrtdfgrtach df gf 4 5 = ，即 = ，解得 x = 。ac hc 6x 3 2在 rtabh 中，由勾股定理，得ah= ab -bh = 36x -3 = 36 1 1 s= bc ah = 6 9 =27 。dabc2 252-9=9 。又adfabc 2 2= = = s bc 6 94， s = 27=12 dadf s四边形dbcf=sdabc-sdadf=27 -12 =15 。例 4. （2011 山东淄博 4 分）如图，正方体的棱长为 3，点 m，n 分别在

34、cd，he 上，cm= hc 与 nm 的延长线交于点 p，则 tannph 的值为 12dm，hn=2ne，- 132 2 2 2精选文库1【答案】 。3【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。1 1 2 2【分析】cm dm，hn2ne，cm cd，hn he cd，2 3 3 3pc cm 1又pcm phn， = = ，即 ph2ch2cd。ph hn 2hn 1tannph = 。ph 3六、构造特殊四边形： 通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对 角线、中位线的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：例 1. （2012 贵州

35、遵义 3 分）如图，矩形 abcd 中，e 是 ad 的中点， abe 沿 be 折叠后得到gbe，延长 bg 交 cd 于 f 点，若 cf=1，fd=2，则 bc 的长为【 】a 3 2b 2 6c 2 5d 2 3【答案】b。【分析】过点 e 作 embc 于 m，交 bf 于 n。四边形 abcd 是矩形，a=abc=90，ad=bc， emb=90，四边形 abme 是矩形。ae=bm， 由折叠的性质得：ae=ge，egn=a=90，eg=bm。 eng=bnm，eng bnm（aas）。ng=nm。 e 是 ad 的中点，cm=de，ae=ed=bm=cm。emcd，bn：nf=b

36、m：cm。bn=nf。nm=1 1 1cf= 。ng= 。2 2 2bg=ab=cd=cf+df=3，bn=bgng=31 5= 。bf=2bn=52 2 bc = bf -cf = 5 -1 =2 6 。故选 b。例 2. （2012 四川德阳 3 分） 如图，点 d 是abc 的边 ab 的延长线上一点，点 f 是边 bc 上的一个动- 14精选文库点（不与点 b 重合）.以 bd、bf 为邻边作平行四边形 bdef，又 apbe（点 p、e 在直线 ab 的同侧），如果 bd14ab ，那么pbc 的面积 abc 面积之比为【 】a.14b.3 1c.5 5d.34【答案】d。【分析】过

37、点 p 作 phbc 交 ab 于 h，连接 ch，pf，pe。ap be，四边形 apeb- 15精选文库是平行四边形。pe ab。，四边形 bdef 是平行四边形，ef efab。p，e，f 共线。bd。设 bd=a， bd14ab ，pe=ab=4a。pf =peef=3a。phbc， =shbc pbcpfab，四边形 bfph 是平行四边形。bh=pf=3a。：s =bh：ab=3a：4a=3：4， =3：4。故选 d。hbc abc pbc abc例 3.（2012 安徽省 5 分）如图，p 是矩形 abcd 内的任意一点，连接 pa、pb、pc、pd，得到pab pbc pcd、

38、 pda，设它们的面积分别是 s 、s 、s 、s ，给出如下结论：1 2 3 4s +s =s +s1 2 3 4若 s =2 s ，则 s =2 s 3 1 4 2 s +s = s + s2 4 1 3若 s = s ，则 p 点在矩形的对角线上 1 2其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）.- 16精选文库【答案】。【分析】如图，过点 p 分别作四个三角形的高，apd 以 ad 为底边，pbc 以 bc 为底边，此时两三角形的高的和为 ab，s +s =1 312s ；矩形 abcd同理可得出 s +s =2 412s 。矩形 abcds +s = s + s 正

39、确，则s +s =s +s 错误。2 4 1 3 1 2 3 4若 s =2 s ，只能得出apd 与pbc 高度之比，s 不一定等于 2s ；故 3 1 4 2结论错误。如图，若 s =s ，则 1 21 1pfad= peab，2 2apd 与pba 高度之比为：pf：pe =ab：ad 。dae=pea=pfa=90，四边形 aepf 是矩形，矩形 aepf矩形 abcd。连接 ac。pf：cd =pe ：bc=ap：ac，即 pf：cd =af ：ad=ap：ac。 apfacd paf=cad。点 a、p、c 共线。p 点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例 4.（

40、2012 广西贵港 8 分）如图，在abcd 中，延长 cd 到 e，使 decd，连接 be 交 ad 于点 f，交 ac 于点 g。（1） 求证：afdf；（2） 若 bc2ab，de1，abc60，求 fg 的长。【答案】解：（1）证明：如图 1，连接 bd、ae，四边形 abcd 是平行四边形，abcd，abcd。decd，abde，abde。四边形 abde 是平行四边形。afdf。（2）如图 2，在 bc 上截取 bnab1，连接 an，abc60，anb 是等边三角形。an1bn，anbban60。bc2ab2，cn1an。1acncan 6030。2bac90。由勾股定理得：a

41、c 2212 3。-173ag精选文库四边形 abcd 是平行四边形，abcd。bg ab ag 1 agagbcge 。 ge ce cg 11，解得 ag33。在bga 中，由勾股定理得：bg 3 2 312 2 。 3 3bg 1 ，ge 24 3 4 3 2 3ge ，be 2 3。3 3 31 2 3 3四边形 abde 是平行四边形，bf be 3。fg 3 。2 3 3例 5.（2012 江苏常州 7 分）如图，在四边形 abcd 中，adbc，对角线 ac 的中点为 o，过点 o 作 ac 的垂直平分线 分别与 ad、bc 相交于点 e、f，连接 af。求证：ae=af。【答案

42、】证明：连接 ce。adbc，aeo=cfo，eao=fco，。又ao=co，aeo cfo（aas）。ae=cf。四边形 aecf 是平行四边形。又efac，平行四边形 aecf 是菱形。ae=af。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。例 6.（2012 海南省 11 分）如图（1），在矩形 abcd 中，把b、d 分别翻折，使点 b、d 分别落在对角线 bc 上的点 e、f 处，折痕分别为 cm、an.（1） 求证：andcbm.（2） 请连接 mf、ne，证明四边形 mfne 是平行四边形，四边形 mfne 是菱形吗？请说明理由？（3） p、q 是矩形的边 cd

43、、ab 上的两点，连结 pq、cq、mn，如图（2）所示，若 pq=cq，pqmn。且 ab=4，bc=3，求 pc 的长度.- 18精选文库【答案】（1）证明：四边形 abcd 是矩形，d=b，ad=bc，adbc。 dac=bca。又由翻折的性质，得dan=naf，ecm=bcm，dan=bcm。 andcbm（asa）。（2）证明：and cbm，dn=bm。又由翻折的性质，得 dn=fn，bm=em，fn=em。又nfa=acdcnf=bacema=mec，fnem。四边形 mfne 是平行四边形。四边形 mfne 不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得cem=b=900，在emf 中，

44、femefm。fmem。四边形 mfne 不是菱形。（3）解：ab=4，bc=3，ac=5。设 dn=x，则由 s 得adc and nac3 x5 x=12，解得 x=3 3，即 dn=bm= 。2 2过点 n 作 nhab 于 h，则 hm=43=1。在nhm 中，nh=3，hm=1，由勾股定理，得 nm= 10 。pqmn，dcab，四边形 nmqp 是平行四边形。np=mq，pq= nm= 10 。又pq=cq，cq= 10 。在cbq 中，cq= 10 ，cb=3，由勾股定理，得 bq=1。np=mq=1 3 1。pc=4 =2。 2 2 2【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，

45、平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 菱形的判定，勾股定理。七、构造圆的特殊图形：通过构造圆的特殊图形，应用圆周角定理、垂径定理、切线与过切点的半（直）径的 关系、两圆相切公切线的性质、两圆相交公共弦的性质等，达到求证（解）的目的。典型例题：- 19精选文库例 3.（2012 山东日照 4 分）如图，过 a、c 、d 三点的圆的圆心为 e，过 b、f、e 三点的圆的圆心为 d，如果a=63， 那么= 来源【答案】180。【分析】如图，连接 ce，de，过 a、c 、d 三点的圆的圆心为 e，过 b、f、e 三点的圆的圆心为 d，ae=ce=de=db。a=ace，ecd=cde，deb=dbe=。a=63，aec=18002630=540。又 ecd=cde=2 ， aec= ecd dbe=3 ， 即3=540。=180。例 4.（2012 湖北鄂州 3 分）如下图 oa=ob=oc 且acb=30，则aob 的大小是【 】-20精选文库a.40b.50 c.60 d.70【答案】c。【考点】圆周角定理。【分析】oa