大学高数三角函数公式大全

1、三角函数1. 与 （ 0360 ）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：终边在x 轴上的角的集合：终边在y 轴上的角的集合：终边在坐标轴上的角的集合：终边在y=x 轴上的角的集合：终边在轴上的角的集合：若角若角若角与角与角与角的终边关于x 轴对称，则角的终边关于y 轴对称，则角的终边在一条直线上，则角与角与角与角的关系：的关系：的关系：角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：2. 角度与弧度的互换关系：360 =2 180 = 1=0.017451=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad 57.30=57181 0.

2、01745（rad ）3 、弧长公式：. 扇形面积公式：ya的终边p（ x,y)rox4 、三角函数： 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点p （x,y ）p 与原点的距离为r ，则 ； ； ； ；. .5 、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） y；pto m a xy+ +o- -y- +ox - +xy- +o+ -x正弦、余割余弦、正割正切、余切6 、三角函数线正弦线：mp; 余弦线：om; 正切线：at. 7. 三角函数的定义域：三角函数sinxcosxtanxcotxsecxcscx定义域:8 、同角三角函数的基本关系式：16. 几个重要结论 (1) y(

3、2)y|sinx|cosx|sinxcosxox|cosx|sinx|o|cosx|sinx|xcosxsinx|sinx|cosx|(3) 若 ox ,则sinxx 比较两边的实部与虚 部 实部： cos(n)=c(n,0)*cn+c(n,2)*c(n -2)*(is)2+c(n,4)*c(n-4)*(is)4 +.i*( 虚部) ： i*sin(n )=c(n,1)*c(n -1)*(is)1+c(n,3)*c(n-3)*(is)3+ c(n,5)*c(n-5)*(is)5+. 对所有的 自然数n ， 1.cos(n) ： 公式中出现的s 都 是偶次方，而s2=1-c2( 平方关系) ，因

4、此全部都可以改成以c( 也就是 cos) 表 示。 2.sin(n) ：(1) 当n 是奇数时： 公式中出现的c 都是偶次方，而c2=1- s2( 平方关系) ，因此全部都可以改成以s( 也就是 sin) 表示。(2) 当n 是偶数 时： 公式中出现的c 都是奇次方，而c2=1-s2( 平方关系) ，因此即使再怎么换 成s ，都至少会剩c( 也就是 cos) 的一次方无法消掉。( 例.c3=c*c2=c*(1- s2) ，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1

5、+cosa)/sina.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)和差化积sin+sin=2sin( +)/2cos( - )/2sin -sin=2cos( +)/2sin( - )/2cos+cos=2cos(+)/2cos( - )/2cos -cos= -2sin(+)/2sin( - )/2 tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(

6、1+tanatanb)两角和公式tan(+)=(tan+tan)/(1 -tantan)tan( - )=(tan -tan)/(1+tantan)cos(+)=coscos -sinsincos( - )=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin( - )=sincos -cossin积化和差sinsin= -cos(+) -cos( - )/2coscos=cos(+)+cos( - )/2sincos=sin(+)+sin( - )/2cossin=sin(+) -sin( - )/2双曲函数sha=ea-e(-a)/2cha=ea+e(-a)/2tha=

7、sinh(a)/cosh(a)公式一：设 为 任意角 ，终边相同的角的同一 三角函数 的值相等：sin （ 2k+ ） =sincos （ 2k+ ） =costan （2 k+ ） =tancot （ 2k+ ） =cot公式二：设 为 任意角 ， + 的 三角函数值 与 的 三角函数值 之间的关系： sin （ + ）=- sincos （ + ）=- costan （ + ） =tancot （ + ） =cot公式三：任意角 与- 的 三角函数值 之间的关系：sin （- ）=- sincos （- ） =costan （- ）=- tancot （- ）=- cot公式四：利用公式二

8、和公式三可以得到 - 与 的 三角函数 值之间的关系： sin （ - ） =sincos （ - ）=- costan （ - ）=- tancot （ - ）=- cot公式五：利用公式- 和公式三可以得到 2 - 与 的 三角函数 值之间的关系： sin （ 2 - ）=- sincos （ 2 - ） =costan （ 2 - ）=- tancot （ 2 - ）=- cot公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2+ ） =coscos （ /2+ ）=- sintan （ /2+ ）=- cotcot （ /2+ ）=- tansin （ /2 - ）

9、 =coscos （ /2 - ） =sintan （ /2 - ） =cotcot （ /2 - ） =tansin （ 3/2+ ）=- coscos （ 3/2+ ） =sintan （ 3/2+ ）=- cotcot （ 3/2+ ）=- tansin （ 3/2 - ）=- coscos （ 3/2 - ）=- sintan （ 3/2 - ） =cotcot （ 3/2 - ） =tan( 以上 kz)asin(t+)+bsin(t+)=(a+b+2abcos( - )sint+arcsin(asin+bsin)/ a2+b2; +2abcos( - ) 表示根号, 包括 中的内容

10、三角函数的 诱导公式 （六公式）公式一 sin(- )= -sincos(- )=costan(- )= -tan公式二 sin(/2 - )=coscos(/2 - )=sin公式三 sin(/2+)=cos cos(/2+)= -sin公式四sin( - )=sincos( - )= -cos公式五 sin(+)= -sincos(+)= -cos公式六tana=sina/cosatan （ /2+ ）= cottan （ /2 ） =cottan （ ）= tantan （ + ） =tan诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式si n=2tan(/2)/1+(tan(/2)

11、 cos=1 -(tan(/2)/1+(tan(/2)tan=2tan(/2)/1 -(tan(/2)其它公式(1) (sin)2+(cos)2=1 （ 平方和公式 ）(2) 1+(tan)2=(sec)2(3) 1+(cot)2=(csc )2证明下面两式，只需将一式, 左右同除 (sin)2 ，第二个除 (cos)2 即可 (4) 对于任意非直角三角形，总有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc证：a+b= -ctan(a+b)=tan( -c)(tana+tanb)/(1- tanatanb)=(tan -tanc)/(1+tantanc)整理可得tana+tanb+ta

12、nc=tanatanbtanc得证同样可以得证, 当 x+y+z=n(n z) 时，该关系式也成立由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 可得出以下结论 (5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1(6) cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)(7) (cosa)2;+(cosb)2+(cosc)2=1-2cosacosbcosc(6) （sina)2+(sinb)2+(sinc)2=2+2cosacosbcosc其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)(s

13、eca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2幂级数 展开式sinx=x-x3/3!+x5/5!- +( -1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+ 。(- x )cosx=1-x2/2!+x4/4!- +( -1)k*(x(2k)/(2k)!+( - x)arc sinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+(|x|1)arccosx= - (x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+)(|x|1) arctanx=x-x3/3+x5/5- (x1)无限公式sinx=x(1- x2/2)(1 -x2/42)(1 -x2/92)cosx=(1- 4

14、x2/2)(1 -4x2/92)(1 -4x2/252)tanx=8x1/(2 -4x2)+1/(92 -4x2)+1/(252 -4x2)+secx=41/( 2 -4x2)-1/(92 -4x2)+1/(252 -4x2)-+ (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8(1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/ arctanx=x-x3/3+x5/5- (x1)和 自变量 数列求和 有关的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+cosnx=co

15、s(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2) tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin(2n -1)x=(sinnx)2/sinxcosx+cos3x+cos5x+cos(2n -1)x=sin(2nx)/(2sinx)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发 现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学 好三角函数的关键所在。1 三角函数本质：1 根据右图，有sin=y/r;cos=x/r

16、;tan =y/x;cot=x/y 。深刻理解了这一点，下面所有的 三角公式 都可以从这里出发推导出来，比如 以推导sin(a+b)=sinacosb+cosasinb 为例：推导：首先画 单位圆 交x 轴于c ，d ，在 单位圆 上有任意a ，b 点。角aod 为 ， bod 为 ，旋转aob 使ob 与od 重合，形成新aod 。a(cos,sin),b(cos ， sin),a(cos( - ),sin( - ) oa=oa=ob=od=1,d(1,0)cos( - ) -12+sin( - )2=(cos -cos)2+(sin -sin)2和差化积 及 积化和差 用还原法结合上面公式

17、可推出（换(a+b)/2 与(a-b)/2 ） 单位圆 定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在 实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定 义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股 定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时 针的度量是负角。设一个过原点的线，同x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位 圆相交。这个交点的x 和y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图象中的三

18、角形确保 了这个公式；半径等于斜边且长度为1 ，所以有 sin=y/1 和 cos=x/1 。单 位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1 的一种查看无 限个三角形的方式。两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinbcos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)c