相似三角形难题集锦(含答-案)

1、相似三角形难题集锦（含答案） 、相似三角形中的 BQ 动点问题 1. 如图，在Rt ABC中， Z ACB=90 , AC=3 BC=4 过 点B作射线 BB1/ AC 动点 D 从点A出发沿射 线AC方向以每秒 5个单位的速度运动，同时动 点E从点C沿射线AC方向以 每秒3个单位的速度运动.过 点D作DHL AB于H,过点E 作EF丄AC交射线 BB1 于 F, G是 EF 中点，连接DG设 点D运动的时间为 t秒. (1) 当t为何值时，AD=AB 并求出此时DE的长度； (2) 当厶DEGA ACB相似时， 求t的值. 2. 如图，在 ABC中，二ABC =90, AB=6m BC=8m

2、 动 点P以2m/s的速度从A点 出发，沿AC向点C移动.同 时，动点Q以1m/s的速度 从C点出发，沿CB向点B 移动当其中有一点到达终 点时，它们都停止移动设 移动的时间为t秒. (1) 当t=2.5s 时，求 CPQ勺面积； 求 CPQ的面积S (平方 米)关于时间t (秒)的函 数解析式； (2) 在P，Q移动的过程中， 当厶CPQ为等腰三角形时， 求出t的值. 4. 如图所示，在 ABC中， BA= BC= 20cm, AC= 30cm, 点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运 动；同时点Q 从C点出发， 沿CA以每秒 3. 如图 1,在 Rt ABC中,ACB =90

3、, AC= 6, BC= 8,点 D 在边AB上运动，DE平分二CDB 交边BC于点E, EML BD垂足 为M EN! CD垂足为N. (1) 当AD= CD时，求证： DE/ AC (2) 探究：AD为何值时， BME 与厶CNE相似？ 3cm的速度向A点运动，当 P点到达B点时，Q点随之 停止运动.设运动的时间为 x. (1 )当x为何值时， PQ/ BC? C D M B Z1 (2) APQ CQB能否相 似？若能，求出AP的长； 若不能说明理由. 5. 如图，在矩形 ABCD中， AB=12cm BC=6cm 点 P 沿 AB 边从A开始向点B以2cm/s的 速度移动；点Q沿DA边

4、从点D 开始向点A以1cm/s的速度移 动.如果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(Ov t v 6)。 (1) 当t为何值时， QAP 为等腰直角三角形？ (2) 当t为何值时，以点Q A P为顶点的三角形与 ABC 相似？ 二、构造相似辅助线 双垂直模型 6. 在平面直角坐标系xOy 中，点A的坐标为(2，1)， 正比例函数y=kx的图象与 线段0A的夹角是45，求 这个正比例函数的表达式. 7. 在厶 ABC中, AB=，AC=4 BC=2以AB为边在C点的 异侧作 ABD使， ABD为等腰直 角三角形，求线 段CD的长. 8. 在 ABC 中,AC=BC, / ACB=90，点

5、M是AC上的 点，点N是 BC上的一点，“” 沿着直线Mr折-“ 叠，使得点C恰好落在边AB 上的P点求证：MC NC=AP PB. 9. 如图，在直角坐标系中， 矩形ABC啲边OA在 x轴上, 边0C在y轴上，点B的坐 标为（1，3），将矩形沿对 角线AC翻折B点落在D点 的位置，且AD交y轴于点 E.那么D点的坐标为（） 广2忖 A. 1卩 B. f 3 12= C. D. 10.已知，如图，直线 y= -2x+ 2与坐标轴交于 A、B 两点.以AB为短边在第一 象限做一个矩形ABCD使得 矩形的两边之比为1 : 2。 求C D两点的坐标。 A 三、构造相似辅助线 A X字型 11.如图：

6、 ABC中，D是AB 上一点，AD=AC BC边上的中 线 AE交 CD于 F。 、AE = CF 求证：.1. 13.在梯形 ABCD 中, AB/ CD AB= b, CD= a, E 为 AD边上的任意一点，EF/ AB 且EF交BC于点F,某同学在 研究这一问 * 题时，发现如 下事实： DE _a +Z? (1)当一时，EF=; (2)当 DC D百宀 : 时， DE=5t-(3t+3)=2t-3 若厶DEG与厶ACB相似，有 两种情况： 厶DEGA ACB ,此时 DE EG 二 二 21-3 _29 即：-,求得：t= ； 厶DEGA BCA ,此时 DE EG 二 _ 2-32

7、17 即：41 ,求得：t= 39 综上，t的值为丄或或-或 17 : 3. 答案：解：（1）证明：I AD=CD 在 Rt ABC中，ACB= :丄 A=Z ACD DE平分-CD皎边BC于点E / CDEh BDE / CDB CDB勺一个外角 / CDBh A+Z ACD=Z ACD / CDBZ CDEZ BDE=Z CD E Z ACDZ CDE DE/ AC (2)Z NCEZ MBE EML BD EN! CD BMCNE如图 Z NCEZ MBE BD=CD 又 Z NCEZ ACDZ MBEZ A=9 0 Z ACDZA AD=CD AD=BD=AB 90, AC= 6, B

8、C= 8 AB=10 AD=5 Z NCEZ MEB EML BD EN! CD BMEA ENC如图 Z NCEZ MEB EM/ CD CDL AB 在 Rt ABC 中,匚 ACB= 90 , AC= 6 , BC= 8 AB=10 Z A=Z A Z ADCZ ACB ACDA ABC AD _ AC -一丄： AD = 18 综上：AD=5 或 时, BME 与厶CNE相似. 4. 答案：解(1)由题意：AP=4x CQ=3x AQ=30-3x, AP _AQ 当PQ/ BC时，一二，即： _ 30- 3a 20=30 _10 解得：r 40 （2）能，AP= cm或 AP=20cm

9、 AP_ AQ 厶APQ CBQ则莎二西, _ 30-3x 即一L 二- 解得：“:或；-（舍） 此时：AP= cm AP AQ 厶APQ CQB则元二乔, _ 30-3x 即”二 10 解得：（符合题意） 40 此时：AP= cm 40 故 AP= cm或 20cm时， APQ 与厶CQB能相似. 5. 答案：解：设运动时间为t , 则 DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t. （1）若AQAP为等腰直角三 角形，则 AQ=AP即：6-t=2t , t=2 （符合题意） t=2时， QAP为等腰直 角三角形. （2）Z B=Z QAP=90 当 QAMAABC时, AQ

10、AP6Y 色 = 二A ,即：丄-, 6 解得：二（符合题意）； 当 PAQ ABC 时, AP AQ ，即: 解得：心三（符合题意）. _6 当二或时，以点QA、 P为顶点的三角形与 ABC 相似. 6. 答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、 三象限 过点A作AB丄OA交待求直线 于点B,过点A作平行于y轴 的直线交x轴于点C,过点B 作 BDL AC 则由上可知：一匚上: :I = 90 由双垂直模型知： OCMA ADB 0C _ AC _ 0A 二二 . A （2, 1）,三=45 OC= 2, AC= 1, AO= AB AD= OC= 2, BD= AC= 1 D点坐标

11、为（2, 3） B点坐标为（1, 3） 此时正比例函数表达式为: y = 3x 第二种情况，图象经过第二、 四象限 于点B,过点A作平行于x 轴的直线交y轴于点C,过 点B作BDLAC 则由上可知：二壬二匸4二= 90 由双垂直模型知： OCAcA ADB 亠一二 A （2, 1）,应=45 OC= 1, AC= 2, AO= AB AD= OC= 1, BD= AC= 2 D点坐标为（3, 1） B点坐标为（3,- 1） 此时正比例函数表达式 j. 为：y= zx 过点A作AB丄OA交待求直线 7. 答案：解：情形一： 玮罔，.当Nd甘=90 时：r 逹除CD：过h D AC边上持良茨DE.

12、交CA箔廷民 AB=25 rCW* BC AC-BC QIT *.CB- 90r 又V DE-CE.丄.仍D为等接盲龟三定形 /, AD=AR .：ACB=.- E 9Ci ZZZ-HL= 90 * /jED.J J 幻圏+冷匚Q占=9时：” BTWft丽 iMaWllJh * 连接CD,过点J作R?边上的高线QP 交的 延民线于占P 过点卫沱雪纹PD边上眄罢戟吕2 交PD于点Q / 胡=2话、野g*， :.AC-BC-ABT，討7百=90= * 又丁 DE_CE, 水因口为等腰直角三幷形* :* ADRD* 一/一。- 90- * -QDA+Q-lD= 90，匚QDA_3DP=00 _UD生

13、二CB .- AE=BC=2. DE=AC=4 二F 艮DEC 丰 CZ?= EDCE = 2/k3 情形二: 巨汇豈-M力加-为：， 嗨潢8，迥占。胃旳上肋宴零OFf (?由鸽芒三逹于占F V .5=25. JC-4. BCR DQ=BP- 8.答案：证明：方法一: APB :.ACBC-lSr 畑 W ” XV DF丄CF 詁加为等整E审三島形* /. 乩 一WeF=9W * -A3C-.fBD= _h3JC-_.45C90 /. _ 且 M-FED. 二 一=_CBH 情形三: A DF-BC-1- BF=AC=4- 连接PC过点P作PD AC 于 DPD/BC 根据折叠可知MNL CP

14、 / 2+Z PCN=90, / PCN# CNM=9 / 2=Z CNM / CDPh NCM=9 PDS MCN MC CN=PD DC PD=DA MC CN=DA DC PD/BC DA DC=PA PB MC CN=PA PB 方法二：如图， I- M/K A t)P E B 过M作MDL AB于D过N作 NE! AB 于 E 由双垂直模型，可以推知 MD _FD _ PM PMNPE则耳二旋二莎， 根据等比性质可知 MDPD _PM 匸匸二,而 MD=D,NE=EB PM=CMPN=CN MC CN=PA PB 过点D作AB的平行线交BC的 延长线于点M交x轴于点N, 则/ M=/

15、 DNA=90 , 由于折叠，可以得至U ABCA ADC 又由B (1, 3) BC=DC=1 AB=AD=MN=3 / CDA/ B=90 / 1+/ 2=90 / DNA=90 / 3+/ 2=90 /. / 仁/3 DMOA AND CM _DM _CD 亠厂上=j丄=- 设 CM=x 则 DN=3x AN=1+ l-bc x，DM= l-Hr - 3x+ 二=3 过点C作x轴的平行线交y 轴于G过点D作y轴的平行 线交x轴于F,交GC的延长线 于E。 直线y= - 2x+ 2与坐标轴交 于A B两点 A（ 1,0），B（ 0,2 ） OA=1 OB=2 AB=- AB: BC=1:2

16、 bc=ad= / ABO# CBG=90, / ABO# BAO=90 / CBG# BAO 又# CGB# BOA=90 延长AE到M使得EM=AE连 接CM BE=CE# AEB# MEC BEAA CEM CM=AB # 1=#B AB/ CM # M=/ MAD# MCF#ADF MCF ADF CF _ CM GBC OA GB / CM=AB AD=AC CF CM AB u 土二一二 - GB=2 GC=4 GO=4 - C （4,4 ） 同理可得厶ADFA BAO得 OA _DF 二:DF=2 , AF=4 OF=5 D （5,2 ） 11.答案：证明：（方法一）如 图 过D

17、作DG/ BC交AE于G 则 ABEA ADG CEFA DGF AB _ BE CF _ CE AD=AC BE=CE CF BE AB 57 匚二 ACDA ABC AD AC _ CD .?_： .iT77 12.答案：证明： 13.答案：解: AB AD B? _AS AC /.三 Al AD BC? _ BE /. TF7 ZF E l l D O a-b/c BF= i+l 过点D作DF/ AB交AC的延长 线于点F,则/ 2=Z3 AC平分/ DAB 二/ 1=/2 /Z 1=Z3 AD=DF Z DEFZ BEA Z 2=Z3 BEAA DEF BE _ AB - 亠 二 AD

18、=DF BE _ AB AC为AB AD的比例中项 AD _ AC 即 证明： 过点E作PQ/ BC分别交BA 延长线和DC于点P和点Q AB/ CD PQ/ BC 四边形PQCB和四边形 EQCF是平行四边形 PB= EF= CQ丄丄 又 AB= b, CD= a AP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EF ct EF t = 曲b 14.答案：解: E 连接MF M是AC的中点，EF= FC MF/ AE且 MF = AE/.A BENA BFM， BN BM =BE: BF= NE: MFBE = EF BN : BM= NE : MF = 1:2 BN NMh 1

19、:1 设 NE= x, 则 MF= 2x , AE= 4x AN= 3XT MF/ AE/.A NAQA MFQ NQ QMh AN MF= 3:2 / BN NMh 1:1 , NQ QMh 3:2 / BN NQ QMh 5:3:2 15. 答案：证明：（1 ） 丄 F 国1 如图1，AD BE为 ABC的中 线，且AD BE交于点O 过点C作CF/ BE交AD的 延长线于点F CF/ BE且E为AC中点 / AEO=Z ACF / OBD= /FCD AC=2AE / EAO=Z CAF / AE3A ACF SO AS A /：- D为BC的中点，/ ODB= / FDC /. BOD

20、A CFD / BO= CF so /二 i BO 2 同理，可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离 等于该顶点对边上中线长的 2 如图2,ABC的角平分 线 过点C作AB的平行线CE交AD 的延长线于E 则/ BADME TABC的角平分线 / BADM CAD / E=M CAD AC= CE CE/ AB BADA CED AB _BD .匚 :？ AB _ BD .J?二 16. 答案：证明： A 如图，作 DP/ AB DQ/ AC 则四边形MDP和四边形NDQC 均为平行四边形且 DPC是等 边三角形 BP+CQ MN DP= DQ= PQ M N分别是边AB AC的 中占 I

21、八、 MN= BC= PQ DP/ AB DQ/ AC CDPA CFB, BDQ BEC DP _ CP DQ BQ DP DQ CP BQ EG+PQ 3 _ 2 丄 DP= DQ= PQ=二 BC=二 AB 1113 二AB （工）=匸 l l _ 3 17. 答案：证明： EF/AB, AB/DC EF/DC AO0A ACD, DO DBA SO AS EQ DE .石盘 ABAD 竺+竺坐+坐1 I 1 _ 1 一工工 18. 答案：证明：I EF/ CD EH/ AB .厶吃三厶QC ZCEH=A _L-_S 工=_J 二七 ? AFEA ADC, CEHhA CAB AE _

22、EF CS _ EH EF= EH EH. EF EF EF CS AE d + + + 1 1 _ 1 19. 答案：证明： EF/ AC, DE/ BC _2 * ? BFEA BCA, AEDA ABC BE EF DE _AE 二一 亦十站朋十血肋+财1 EF= DE= a i _ i 丄?一二-丄 20. 答案：(1)证明：在平行 四边形 ABCD中 , AD/ BC / DRPh S,/ RDBh DBS DRPA BSP PR _ DP 二匚厂 同理由 AB/ CD可证 PTDA PQB PT _ DP 匸二 PR _ PT 二二 .： (2)证明：成立，理由如下： 在平行四边形

23、ABCD中， AD/ BC / PRD/ S?Z RDP/ DBS DRPA BSP PR DP 同理由 AB/ CD可证 PTDA PQB PT _ DP .二二 PR _ PT .厂二 21. 答 案： 证 BD C AB= AC AD是中线， ADL BC,BP=CP / 1=Z2 又/ ABC=/ ACB ./ 3=Z4 CF/ AB / 3=Z F, / 4=/F 又/ EPCM CPF EPCA CPF BP _ PC I.I BP= PE- PF即证所求 22. 答案：证明： DEL AB 90 .三qu二90 -_匸三二 ADEA DBE AE _ DE 二匸二 BFL AC

24、.一乂 审一90 . _匸匚三十_三匸丨 90且 ._? 一门 BE9A HEA BE _ EG 匸二二 二住= 厂壬. DE2=EGEH 23. 答案：证明： 四边形ABCD为平行四边 形 AB/ CD AD/ BC / 1=/2 , / G=/H , / 5=/6 PAHhA PCG PH _ PA I兀 PC 二DE2=王三 又/ 3=/4 APEA CPF PE _ PA :.lfJ- = ic PE _ PH .pr - rc 24. 答案：证明：如图，连接 BH交AC于点E, TH为垂心 BE! AC / EBCk BCA=90 AD! BC于 D / DAC BCA=90 / EBCM DAC 又/ BDHh ADC=90 BDHhA ADC BD _ AD 厉一更 ,即 i_：i ./ BPC 为直 角 , ADL BC PD2 = BDDU PD2= ADDH 25. 答案：证明： CD是 Rt ABC斜边AB上的高，E 为BC的中点 CE=EB=DE / B=Z BDE=/ FDA / B+Z CAB=90, / ACDZ CAB=90 Z B=Z ACD Z FDAZ ACD Z F=ZF FD