森林灭火模型

1、 3森林灭火模型问题的提出森林失火，消防部门接到报警后派出消防队员前去灭火.一般来说，派出的队员越多,灭火越快，森林损失越小，但救援的开支将越大.已知森林燃烧的损失费正比于森林烧毁面积，其比例系数为 Ci.而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数救援费分为两部分：每个消防队员单位时间的费用，设为c2 ；每个队员的一次性支出，.试建立一个数设为C3 .又假定火势蔓延程度及平均每个消防队员的灭火能力与火势有关学模型，解决派出消防队员多少时总费用（即损失费、救援费之和）最小问题的分析记失火时刻为t =0,开始灭火时刻为t =t1 ,火被扑灭时刻为t二t2.设在时刻t森林烧毁面积为B

2、t ,则森林最终烧毁面积为Bt2 ,并且B01=0.考虑单位时间烧毁面积 dB Bt 氏-B to，它表示火势蔓延程度一般来说，dtAtdB在消防队员到达之前，即 0三t三鮎，火势越来越大，即 随t的增加而增加；开始灭火 dtdB后，即ti : t乞t2.如果消防队员灭火能力足够强，火势将越来越小，即应减小，并dtdB且当t二t2时-0 .dt对于火势可抽象为：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓22dB延的半径r与时间t成正比又因为烧毁面积B与r2成正比，故B与t2成正比，从而乂- dt与t成正比总费用=损失费+救援费每队员单位时间内费用 每队员一次性支出模型的假设1. 假

3、设森林面积无限大，火势以失火点为中心，均匀速度向四周呈圆形蔓延，且时刻t的森林烧毁面积为 Bt .2. 设失火时刻为t =0，开始灭火时刻为t =t,，火被扑灭时刻为t = t2，又设在0空t空鮎dR内，火势蔓延程度 与时间t成正比，比例系数 ：称为火势蔓延速度dt3. 设派出消防队员X名，开始灭火后t _鮎火势蔓延速度降为- x.这里可视为 每个队员的平均灭火速度模型的建立由于每个消防队员单位时间的费用为c2，而每个队员的一次性支出为c3，于是救援费=C2Xt2-h C3X由条件知：损失费=c1Rt2又由假设2、3知:旦t, dtB(t )y = 01空=:-x t c,t t t24 2d

4、B 1B(t )= = Pt,話厂，2G 二-X t2求解上述两微分方程，得B t = 1 -t20 罕 ti2Bt- xLxt2t ct| 三tt22t 2c - xxt1t2ti22.1-：, - -.xt1t22-t2-Bt2=: - x - - x t；+ x2又由、当t = tl时，有-扎xti - xt-ti - t2是 B t2=12ti2故总费用为二 G : ti2-22(hx-P)c2x t2鮎c3x问题归结为:已知Cl,C2,C3, ,ti ,求x使C x取最小值.模型的求解将x连续化dCdxCiti22 x - - 2C3c2: ti x - ： i； - c ：- ti

5、x(0 - 扎xf令些=0,解得dx722 仏x_B)2-2c2 : 2t1c2ti2 2c/2ti1 I 2C3 2结果分析1.关于Bt的几何求解dBdt t图形为:t dBB td .是图中0 dT阴影部分面积0dB dtt2而B t2dt是图中三角形的面积令dBdtt =t1，容易求得Bt2弓b22. 最后的X要取整（这是由于离散的 X连续化之故）3. 结果表明：队员人数 X由两部分组成：BB小一部分是灭火人数的最低限度：， X 二 X ：,此时斜率为X - 1的直线才会与t轴有交点t2.另一部分是最低限度之上的人数，它与问题的各个参数有关，且可看出其变化规律4. 实际应用中，Ci,C2,C3是已知常数，是森林类型有关的量，是队员素质有关的量，火势b = -115. 实际上，消防队员的灭火速度与开始灭火时的火势 b = t1有关，可以合理地假豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有 效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球 各地的文档拥有者