振荡奇异积分算子在Herz型空间的有界性大论文2剖析

1、第一章振荡奇异积分算子在Herz型空间的有界性于湖波1,赵 凯，姜诺，席芳，张红俊(青岛大学数学科学学院，山东青岛266071)摘要：文章研究了振荡奇异积分算子T的有界性问题，当口 .二Llog L(Sn J)时,借助于T在LP空间和Herz型空间的有界性结果，得到了 T在Herz型Besov空间和Herz型Triebel- Lizorkin 空间的有界性.关键词：振荡奇异积分；Herz空间；Besov空间；Triebel-Lizorkin 空间；有界性中图分类号：O174.2文献标识码：A主题分类号：42B20用Snl表示Rn n_2上的单位球面，设门是Rn上的零次齐次函数，满足-L1(Sn

2、l)和(x)d；(x) =0,(1)这里 x=x/1xI, x = 0 .定义振荡奇异积分Tf(x)二 p.v. Rneip(x,y)K(x-y)f(y)dy,其中P(x, y)是Rn Rn上的实质多项式函数，K是Calder rZygmund核.如果K满足K(x) w；】(x)/|x|n ,对所有的 |x|=0 .(2)则说K是齐次CZK .近几十年来，振荡奇异积分算子受到很多学者的关注，在文献1中，Ricci和 Stein证明了如果| C1(SnJ)且满足(1), K满足条件(2),则T在Lp(Rn)上是有界 的,(1 ”： P -:),而且T只与P(x, y)的次数有关，跟它的系数无关.

3、接着,Chanillo和Christ在文献2里面证明算子T还是弱(1,1)型.1992年,陆善真在文献3中通过一 个更弱的条件门 Lr(Sn4) ,1 ： r _ ：，改善了上述结果.2000年,Ojanen在文献4作者简介：于湖波(1987-),男，山东人，硕士研究生，研究方向为调和分析及其应用资助项目：国家自然科学基金项目(11041004);山东省自然科学基金项目(ZR2010AM032).中证明了算子T在Lp()上是有界的，其中门满足一个更弱的条件 :三 L log L(SnJ1). 2005 年，Che n, Jia 和 Jia ng 证明了算子 T 在 Triebel-Lizork

4、i n 空 间上的有界性受这些研究启发，本文讨论了当Llog L(SnJ)时,振荡奇异积分 算子T在Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间的有界性.1.有关概念和主要结果定义 1 对于记 Bk=xERn:|x2k, Ak=Bk Bka 是 Ak的特征函数，令 f R,0 ： p,qG：,齐次Herz空间Kq p(Rn)定义为K；P(Rn) =f Lqoc(Rn 0) :| f |心(叭厂：,其中 |f |K)y 2k：p|f k|fq(Rn)P.k =30对于j ,设r Cc：(Rn), ?j( J二(2j ),且 满足下面条件:1 35(i)0 兰做x)兰1

5、; (ii) supp)ux :勻x 兰2; (iii) 0(x)c:0,当一 x .2 53Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间的定义如下：定义 2 对于 s R, 0 ： ： _ ： ,1 ： p,q ：:和:-n，定义qKq,pBs(Rn)二f S(Rn):|f 陥严一( 20j f |iKqJ*：q p j空q为Herz型Besov空间，记为K；pBs(Rn).定义K,pFs(Rn)=f S(Rn):|f 人亦旷|(爲2呷 j f $严岭 T为 Herz 型 Triebel-Lizorkin 空间，记为 Kq pF s(Rn).这里的主要结果是：定理

6、 1 设 1 ： -, p ： ： ,1 ： q ：:和一 1/q ： ： 1 -1/q .如果匚* L log L(Sn4)且满足条件(1), K(x)满足(2),多项式函数P(x)满足 P(0)=0.则振荡奇异积分积分算子在Herz型Triebel-Lizorkin空间有界且T的范数与P(x, y)的系数无关.满足条件(1), K (x)满足(2),多项式函数P(x)满足I P(0) = 0 .则振荡奇异积分积分算子在Herz型Besov空间有界，且T的范数与P(x,y)的系数无关.2引理为了证明结论，先看下面的几个引理：引理 1 设Tf (x) = pv. Rn eip(x,y)K(x

7、y) f ( y)dy，如果 O w LloL(S)且满足条 件(1), K(x)满足(2),则振荡奇异积分算子T在Lp(Rn)上有界,(1 ： p ： ：),T的范 数与P(x, y)的系数无关.引理 2设 1 ： p ： ： ,1 ： q ：-和-1/q ： ： ： 1 -1/q .如果:：三 Llog L(SnJ)且满足条件(1), K(x)满足(2),多项式函数P(x)满足 P(0)=0,则振荡奇异积分积分算子T在Kq p(Rn)上有界,T的范数与P(x, y)的系数无关.引理 3 设 1 ： ：, p ：二，1 ： q ：:和-1/q 八：1 -1/q .如果* Llog L(SnJ

8、)且满足条件(1), K(x)满足(2),多项式函数P(x)满足 P(0)=0,存在一个与f无关的常数C,使得|Tf(x)rcR|x(lyy)|f(y)|dy.则振荡奇异积分积分算子T在Kq,p (l )上有界，这里K；,p(l ：) -fLqoc(l：):|f|K；,p(lr：,|f|K：,p(l|e |fir)1/：|K：,p(Rn)q. qID且T的范数与P(x, y)的系数无关.为了证明引理3,先看下面这个引理： 引理 4设 1 p 氏,1 q 氏, 严 Lp(lq)(| f |)=|(弓 | fi |q)1/q |Lp ),iz-1 - L(Sn4),T同上面的引理3,定义粗糙核极大

9、算子1Mgp吓/(y)|fgy)|dy.则有(1)|( |Tfi|q)1/q|LP g|(、|fi |q)1/q|b;i :-zi Wz(2)nr |Mfi |q)1/q|餐 c|(、|fi |q)1/q |lP .引理3的证明：记i .zi .zfi(x)fi* ) jX(二尸 fj iX ,(j Jj :则 |(TTfim .2| |Tfi|j|Pq(Rn)i:-zKq(R) k -i wz002住 R2k：P| kC |Tr fij)| )1/ |Pq(Rn) - k 1Q 2k：p| kC |T( fij)|J1/ |L)q(Rn) k =Hizj =k J2k：p| k(、|T(二)

10、臥理)k -i zzj =k 2=DiD2D3.对于D2,由引理4中(1)得:- k 1D2k：p| k(Tfij)|jj|：q(Rn)k-i zzj -1乞八2k：p| kCTfi| J1/|Pq(Rn)=C| fi T)1/：|k 二；HzzHzz对于 0，当 x，Ak,厂 Aj,j k-2,所以 2kJ |x2k,2jJ |y2j,则 2|y|_|x|,|T fij)(x)|fij(y)|dyjR |x-y| j-k-2x-y | x|1(x-y ) | fij y(dy |j-：k-2cMC fij)(x).因此,由引理4中(2)得D1 2 J 2k：P| kC |Mdj)|)1/J|

11、Pq(Rn) ki 二zjCdk _2心 2| f |(fj| 厂 ih(Rn)k -.： ：i :-zj =2k：p| kCTfil )|仏尺)二 c|CT fi| J|K“ k_.：i eziezq对于 D3,当 j _k-2 时,x Ak,y Aj,有2|x|_| y |,所以、鳥ij)(x)哄丿计 咕/血向C2|xUy|Q(x-y)|y|n| 二 fij(y)|dy = cT(| 二”j=k 2j =k 2|)(x).则由H?lder不等式和引理4得qQ|C |T(i 旦j =k -2fij)|即甘sup|gij|心泸|、小(| J fiji Wzj =k 2|)9ij (x)dx |

12、兰 sup|T(| 总 fij|)|g/ |dx|廻叮(&巴R j*OQ-sup nr |t fij r)1/:|Lp|c |g/触 | gij |Lp i旦j 土七i旦92 |fi|)|LP.i三所以 D3 乞八 2心 | k|(fi)| 厂 |fq(Rn厂 C|(Tfi)|Kq,p.k 二 ： ：Hzzz综上所述，引理3得到证明.3定理的证明定理1的证明：由引理3得|Tf |K卄|( 2同丁 j Tf厂九厂|(、|T(2叽竹|丁厂|外|(、2jj 门丁/人厂 c|f|K严定理2的证明：由引理2得|丁讥严厂( 2j|j Tf 吩)1/，C |T(2jj f)吩)H jjCj 2 j|j f

13、|k：，p)1 二C|f 呢吋.定理得证.4结论由定理的结论可知,当-Llog L(SnJ)时，振荡奇异积分算子T在Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间上是有界的.第二章CRV型交换子在Herz型空间的有界性2.1引言和主要结果用Snl表示Rn n_2上的单位球面，设门是Rn上的零次齐次函数，满足J - L1(Snl)和(2.1)(2.2)SnJ(X)drX)=0,这里 X： =x/1XI, X = 0 .定义奇异积分算子如下Tf(x)二 p.v. Rn 1(X_yn) f(y)dyR |X y|设BMO(Rn)，由振荡奇异积分算子T和b生成的交换子定义阴f

14、(x)=p.v.翼刁皿-b(y)f(y)dy (2.3)1976年，Coifman，Rochberg和 Weiss首先在文献9里面证明了当11 Lip.(Sn4)时b,T为LP(Rn)有界的充要条件是b BMO(Rn)，因此又称为Coifman-Rochberg-Weiss型交换子，并注意到了奇异积分交换子的 Lp有界性可以 刻划BMO空间.后来Jansor10和Paluszynskf11等的研究表明奇异积分交换子的 有界性可以用来刻划包括 BMO，Besov-Lipschitz类等在内的各种函数空间。1978 年 Coifman 和 Meyer12发现当：:-C1(Sn4)时，Coifman

15、-Rochberg-Weiss型交换子Lp(Rn)的有界性可以从算子T的Ap权模估计中得到，其中Ap表示Muckenhoupt 权函数类。1993年 Alverez， Bagby， Kurtz 和 Pere13发展了 Coifman 和 Meyer 的思想，建立了线性算子交换子 LP(Rn)有界性的判别准则。此外，交换子是另一类与奇异积分算子关联的算子。由于它与偏微分方程，Cauchy型积分的密切关系，同时其本身也是很典型的非卷积型的CZ算子，所以研究这些交换子在Lp(Rn)空间上的有界性是一个有意义的问题。奇异积分交 换子在偏微分方程研究也起着举足轻重的作用，这些都使得交换子的研究得到了重视

16、和发展，并取得了丰硕成果。本章讨论了当 J L log L(SnJ)时,CRW 型交换子b,T在Herz型Triebel-Lizorkin空间的有界性。定理 2.1 设BMO(Rn) , s0,1P,po,1vqo 和一 1/qvot c1 1/q.b,T如(2.3)所定义.如果Llog丄(Sn)且满足条件(2.1),则CRW型交换子b,T是K；,pFs(Rn)上的有界算子。定理 2.2 设BMO(Rn) , sa0,10,po,1vqa 和一 1/qva 1 1/q.b,T如(2.3)所定义.如果11 Llog L(SnJ)且满足条件(2.1),则CRW型交换子b,T是Kq pBs(Rn)上

17、的有界算子。2.2引理为了证明结论，先看下面的几个引理：引 理 2. 114设b,Tf(x)二 p.v. n 凶屮(b(x)-b(y)f (y)dy ,如 果R |x-y|11 Llog L(Sn4)且满足条件(2.1),贝U CRW 型交换子b,T在Lp(Rn)上有界,(1 ： p ：一)且b,T在 K；p(Rn)上有界.引理 2.2 设b BMO(Rn), s 0，1，p ： ： ,1 ： q ：-和一 1/q ： ： ： 1 -1/q .b,T如(2.3)所定义.如果11 Llog L(Sn4)且满足条件(2.1),则CRW型交换子b,T在Kqp(l )上有界，这里K；p(l ：) =f

18、 Lqoc(l ：):| f |k：,p(|： ,| f IlydTICT fi r)1/：|K：-p(Rn), iz为了证明引理2.2,先看下面几个引理：引理2.315设:R和仁P,q_:，则对于任意的g Kq；p(Rn)，f Kq,p(Rn)当且仅当| Rn f (x)g(x)dx| ：:,其中在这种情况下 r找r 0 f |K；，p(RnsuP| ,Rn f (x)g(x)dx|：|g 山尹理)叮 .(2.4)引理2.416设1 ：q ：:，令Tjj.z是一列线性算子，如果对于权函数A和j z ,存在和j z无关的常数C ,使得l|TjfjllLP()|fjllLP()和 l|Tjfjl

19、lLP ()|fjllLP ()成立，则对任意的1 ： P ：:，有1 1lie |Tjfjf)q|p勻IC |fj|q)G|pj zj ：-z引理 2.517 设 bBMO(Rn)，Z +,定义算子 Mabk :1k Mbkf(x)=supp J x |b(x)b(y)| |0(x y)| f ( y) | dy如果 L:(SnJ)，则对于 1 =p -，有|M ；ib,k f(x)|flk|b|UOf |其中门k 二inf八0: logk(2 | |1_：庄 r 、Muf(x)=sup|f(xtu)|dt.(参考文献18) _ 1 *由 M;b,k在 lP(r )上的有界性，类似于M Kp

20、(Rn)上有界性，可以证明Mb,k在K严(R0上有界.引理 2.6 设b BMO(Rn)，1 ： p ： ： ,1 ：q ： ： Q Llog L(Sn)， Lp(lq)(|f |Lp(lq)=|Q | fi |q)1/q |Lp),则存在与。和fj无关的常数 c有 i吕nc |M.,b,kfi|q)1/q|Lc|ri|Me | fi |q)1/qHp. i Wzi Wz证明：在给出引理2.6的证明前，我们先给出下面这个事实。对UwSn，存在一个与门和fj无关的常数c 0有(2.5)IIC |Mufi|q)1/q|Lp|C |fi|q)1/q|LpH (b, f )(x)二 sup r爭r(”

21、聲宀十向，i zi z1则已知H(b, f)(x)在Lp(Rn)上有界，(仁：p类似于第一章引理4的证明，可以得到|(、|H(b, fi)|q)1/q|Lp H|C |fi|q)1/q|Lp.(2.6)i ezi Ez当,k / 时，|h(sni)iogk2|Lpi)叮，对于t 0记 k(t)=tlogk(2 t)， 则|k()|L1(Sn 丄)叮 当 0 讥,t2 ：:由不等式 t1tk 巴31 2.啓巴輻2.4俞8 k* Q fl p讥 CM 2_J一严R一(M5一5_r) k=joO iflljkA zcw 2JFM三飞)4=r) HC=M二 N)r k =JOQ i q DIMxfll

22、AIynlAl.lAk2 F 2IIAXIA2 厂 2匸JAyIA2WJ 2 一 yJAX 一Tb(w5(x)- _o(x) 一一 b(x)b(y) = 7 工(y)一 dy I R -xy- I -X -n 一i 辰 x_-D(x y 二-b(xv5(w)-V dy (kb讥 cmbm5(x).s. k -2 R Rp讥 CM 2J?M一 MPM5_P)J_k Hus i 3 j HV8pLq(Rn)8 k-2 R R讥 CM 2JFP1一M5r)6rn) k U8 -J j U8讥 CM 2J?M三飞)4=rn)n_-u8 ifllF D3Mjlvk2xmArymAj*2xjAy淳壬W(x

23、y)|心1| y|n=C sup |.e |TboO； fij)|-)1/-|g|K-：，pp： izj=k2q -=C sup & |( fij)|卩严,Tbi(g),g|g|K -：,pP| . i. Z j 土 2 q1 乞C|(二 fij)|)1/i旦j七j閱 |M“b(g)|K|b(x-)b(y|)fy)|dyj 土 42-cTbo(r fij i)x).j 土 2设Tbi(g)(x)+ Q(x-y)|b( x-b( y|g(y)dy| x I lyK22|x|则引理2.3，引理2.5和引理2.6得D3 心 一 2k：p| kCTTb( fij)| J” 朮理)k =izj i 2O

24、QEc|C |Tb0(fij)Q|=qi zj=k 2EC|( |fi)咯p sup |g|j归q 恂町屮勺q乂|(、|fi| 产咯。i 二z综上所述，引理2.2得到证明.2.3定理的证明定理2.1的证明：由引理2.2得|叩 |十=|( 2j %f)2|心=|%(2汕j 竹门|心q P j虽qj呂q|C 2jj f|J1/J|Kp=C|f|KqpFS.定理2.2的证明：由引理2.1得|Tbf |k：，pbC 2“|j Tbf 心)1/|Tb(2叽门|和)：jj空 C( 2 j| j f Il)=c|f |心计参考文献1 Ricci F, Stein E M.Harmo nic an alysi

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