三角函数、解三角形中的实际应用问题专题

1、三角函数、解三角形中的实际应用问题【例 】 (2013江苏卷 )如图，游客从某旅游景区的景点 a 处下山至 c 处有两种路径 .一种是从 a 沿直线步行到 c，另一种是先从 a 沿索道乘缆车到 b，然后从 b 沿直线步行到 c.现有甲、乙两位游客从 a 处下山，甲沿 ac 匀速步行，速度为 50 m/min. 在甲出发 2 min 后， 乙从 a 乘缆车到 b，在 b 处停留 1 min 后，再从 b 匀速步行到 c.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min ，山路 ac 长为 1 260 m，经测量， cos a1213，cos3c .5(1) 求索道 ab 的长；(2) 问：乙出发

2、多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在 什么范围内？12 3解 (1)在abc 中，因为 cos a ，cos c ，13 55 4所以 sin a ，sin c .13 5从而 sin bsin (ac)sin(ac)sin acos ccos asin c5 3 12 4 63 .13 5 13 5 65由正弦定理ab ac ，得sin c sin bac 1 260 4ab sin c 1 040(m).sin b 63 565所以索道 ab 的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t min 后，甲、乙两

3、游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m， ，43 14乙距离 a 处 130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130 t(10050t)1213200(37 t270t50)，因 0t1 040130，即 0t8，35故当 t (min)时，甲、乙两游客距离最短 . 37(3)由正弦定理bc acsin a sin bac 1 260 5得 bc sin a 500(m).sin b 63 1365乙从 b 出发时，甲已走了 50(2 81)550(m)，还需走 710 m 才能到达 c. 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v710 1 2

4、50 625 3，解得 v ，50 43 14所以为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制 1 250 625在 ， (单位：m/min) 范围内. 探究提高与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求 解；二是实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角 形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知 量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.【训练 1】 如图，现有一个以 aob 为圆心角、湖岸 oa 与 ob 为半径的扇形湖

5、面 aob.现欲在ab上取不同于 a，b 的点 c，用渔网沿着ac(ac在扇形 aob 的ab上)、半径 oc 和线段 cd(其中 cdoa)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养333333366 3殖区域和养殖区域 .若 oa1 km，aob3， aoc.(1)用 表示 cd 的长度；(2)求所需渔网长度 (即图中ac、半径 oc 和线段 cd 长度之和)的取值范围.解 (1)由 cdoa，aob3，aoc，得ocd，odc2 ，cod . 3 3在ocd 中，由正弦定理，得 cd2 3 sin ，0， .3 (2)设渔网的长度为 f ().由(1)可知，f ()12 3 sin ，3 所以 f

6、 ()12 3 cos ，3 因为 0， ，所以 0， . 3 3令 f ()0，得 cos ， 2 所以 ，即 .3 6 6列表如下： 0， 6 ， f ()f () 0极大值 62 3 且 f (0)2，f ，f 1， 6 6 3 3 62 3所以 f ()2， . 6 62 3故所需渔网长度的取值范围是2， (单位：km). 6 【训练 2】 (2017徐、宿、连、淮摸底 )某城市有一直角梯形绿地 abcd，其中 abcbad90，addc2 km，bc1 km. 现过边界 cd 上的点 e 处铺设 一条直的灌溉水管 ef，将绿地分成面积相等的两部分 .(1)如图 1，若 e 为 cd

7、的中点， f 在边界 ab 上，求灌溉水管 ef 的长度； (2)如图 2，若 f 在边界 ad 上，求灌溉水管 ef 的最短长度 .解 (1)因为 addc2，bc1，abcbad90，所以 ab 3.3如图 1，取 ab 的中点 g，连接 eg，则 eg ，2则四边形 bcef 的面积为12s s ， 梯形 abcd 梯形 bceg efg22 221 1 1 3 3 1 3 3 即 3(1 2) 1 gf ，解得 gf ，2 2 2 2 2 2 6所以 ef eg2gf23 3 6 213(km).答：灌溉水管 ef 的长度为213km.(2)如图 2，连接 ac，设 dea，dfb，图 2在abc 中，ca 12（ 3）22，所以在adc 中，addcca2， 所以adc60， 所以def 的面积为def1 3 absin 60 ab， 2 4又 s所以1 3 3 3(1 2) ，梯形 abcd 2 21 3 3 3 s ，即 a