高中数学必修四知识点汇总

1、1.第一章 三角函数正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角的分类负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。第一象限角|k36090+k360,kz象限角 第二象限角|90+k360180+k360,kz 第三象限角|180+k360270+k360,kz按终边的位置分 第四象限角|270+k360360+k360,kz或|-90+k360k360,kz轴上角(象间角):当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限2. 终边相同角的表示：所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 s=|=+ k 360

2、,kz即 任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整个周角的和。3. 几种特殊位置的角：1 终边在 x 轴上的非负半轴上的角：= k360,kz2 终边在 x 轴上的非正半轴上的角：=180+ k360,kz3 终边在 x 轴上的角：= k180,kz4 终边在 y 轴上的角：=90+ k180,kz5 终边在坐标轴上的角：= k90,kz6 终边在 y=x 上的角：=45+ k180,kz7 终边在 y=-x 上的角：= -45+ k180,kz 或=135+ k180,kz8 终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：= k45,kz4. 弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧

3、度的角，用符号 rad 表示。5. 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.6.如果半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，那么，角的弧度数的绝对值是|=lr相关公式：l =nr1801 nr 2 1=|a | r s = l r = = |2 360 2a | r27.角度制与弧度制的换算：1o =180rad1801rad =（）o8. 单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点 o 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。9. 利用单位圆定义任意角的三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p（x，y）那么： y 叫做的正弦，记作 sin即 sin=

4、yx 叫做的余弦，记作 cos，即 cos=xy y叫做的正切，记作 tan，即 tan= （x0） x x10.平方关系：sin2a+cos 2a =1 sina= 1 -cos2a ； cosa= 1 -sin2a同角三角函数的基本关系 sin a商的关系【当k+ （kz）】：2 cos a=tana11.三角函数的诱导公式：1 / 6公 a a公 a a 公 sin (a+k2p)=sina 式 cos (a+k2p)=cosa 一 tan (a+k2p)=tana 【注】其中k z公 sin (p+a)=-sina 式 cos (p+a)=-cosa 二 tan (p+a)=tana公

5、 sin (-a)=-sina 式 cos (-a)=cosa 三 tan (-a)=-tana公 sin(p-a)=sina公式一四可以概括如下：a+k 2p(kz)，-a，pa的三式 cos (p-a)=-cosa 四 tan (p-a)=-tana角函数值，等于 函数值的符号。a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原p p sin - =cos sin + =cos 2 2 公式五和公式六可以概括如下：p2a的正弦（余弦）p p 式 cos -a =sin a 式 cos +a =-sin2 2 p p 五 tan -a =cot a 六 tan +a =-cot2 2 12.三角函

6、数的图像与性质：aa函数值，分别等于 a余弦（正弦）函数值，前面加上一 个把 a看成锐角时原函数值的符号。【奇变偶不变，符号看象限】正弦函数 y=sinx余弦函数 y=cosx正切函数 y=tanx定义域值域r-1,1（有界性）r-1,1（有界性）x|x p2+kp，k z r零点x|x =kp，k zx|x =p2+kp，k zx|x =kp，k z周期性奇偶性t=2奇函数t=2偶函数t=奇函数单调增区间p p - +2kp, +2kp(k z) 2 2 -p+2kp,2kp(k z)( -p2+kp,p2+kp)(k z)性减区间p2+2k p,3p2+2kp(k z)2kp,p+2kp(

7、k z)对称对称轴x =p2+kp (k z)x =kp(k z)性对称中心(kp,0)(k z)(p2+kp,0)(k z)kp( ,0)(k z)25图3324322111-4 -202 4 6-4-2 2 4-6 -4 -2 2 4 6-1-1-1-2-2像-2-3-3-4-3-5注意：y =sin x周期为 2；y =|sin x |周期为；y =|sin x +k |周期为 2；y =sin | x |不是周期函数。2 / 6变变变y=sinx 周 y =sin向左或向右平移 | |个单位变变1 2 2 3n 113.得到函数y =a sin (wx +j)图像的方法:y=sinx

8、平移换y=sin(x+j) 周期换y=sin(wx+j)振幅换y=a sin (wx +j)j期换 wx wy=sin (wx +j)振幅换y=asin(wx +j)14.简谐运动解析式：y =a sin (wx +j),x 0,+)若函数的最大值为a，最小值为 b，2 振幅：a 就是这个简谐运动的振幅。 23 周期： t =w1 wf =频率：t 2则有a =a - b a+b， k =2 2相位和初相：wx +j称为相位，x=0 时的相位j称为初相。第二章 平面向量1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段

9、叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。uuur uuur uuur3.向量的长度（模）：向量 ab 的大小，也就是向量 ab 的长度（或称模），记作 | ab | 。r4.零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 ，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量ra、rb是两个平行向量，那么通常记作rarb。r平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a，都有r0ra。r r r r6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a 、 b 是两个相等向量

10、，那么通常记作 a = b 。7.如图，已知非零向量r ra 、b，在平面内任取一点 a，作uuur r uuur r ab = a ，bc = b，则向量uuurac叫做ra与rb的和，记作r ra +b，即r r uuur uuur uuur a +b =ab +bc =ac。向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。r r r r r r8.对于零向量与任一向量 a ，我们规定： a + 0 = 0 + a = a9.公式及运算定律：uuuuuur uuuuuur uuuuur r a a + a a +.+ a a = 0r r| a+b

11、|r r | a |+| b |r r r r a+b =b +ar r r r r r （a+b ）+ c =a +（b+c）r r r r r10.相反向量：我们规定，与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作- a 。 a 和- a 互为相反向 量。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。3 / 6、l1 1 2 21 21 12 21 2 1 21 2 1 21 11 11 2 2 1任一向量与其相反向量的和是零向量，即r r r r r a+（- a）=（- a）+a = 0。如果ra、rb是互为相反的向量，那么ra= -rb，rb= -ra，r r r a +b =

12、 0。我们定义r r r ra - b = a+（- b），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。r11.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量ar的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作la，它的长度与方向规定如下：|r r la |=|l| a |r r r当0 时，la 的方向与 a 的方向相同；当0 时，的方向与 a 的r r方向相反；=0 时， la = 012. 运 算 定 律 ： r r l（ma）=（lm）ar r r （ l+m）a=la+mar r r r l（a+b）=la+lbr r r（-l）a=-（la）=l（-a）r r r r l（a-b）=la-lbr

13、 r r r r r r r r r13.定理：对于向量 a （ a 0 ）、 b ，如果有一个实数，使 b = la ，那么 a 与 b 共线。相反，已知向量 a 与 b共线，rar0，且向量rb的长度是向量ra的长度的倍，即|rb|=|ra|，那么当ra与rb同方向时，有rb=rma；当rar r r r r r r与 b 反方向时，有 b = -ma 。则得如下定理：向量向量 a （ a 0 ）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使r r b = la 。ur ur r14.平面向量基本定理：如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只

14、有一对实数l1 2，使r ur ur a =le +le。我们把不共线的向量ur ure 、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。r r r r uuur r uuur r15.向量 a 与 b 的夹角：已知两个非零向量a 和 b 。作 oa =a ， o b =b，则aob =q（0180）叫r r r r r r r r做向量 a 与 b 的夹角。当=0时， a 与 b 同向；当=180时， a 与 b 反向。如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说ra与rb垂直，记作r ra b。16.补充结论：已知向量ra、rb是两个不共线的两个向量，且 m、nr，若r r r ma +nb =0，

15、则 m=n=0。17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18. 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 。即若ra =( x , y )，rb =( x , y )，则r r r ra +b =( x +x , y +y ) ， a -b =( x -x , y -y )19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若ra =( x , y )，则rla =(lx , ly )r r r r20.当且仅当 x y -x y =0 时，向量 a 、 b （ b 0 ）共线_y_pp_2_l4 / 6p_1_x121 2 1 2

16、1 21 21 21 21 21 2222 2）a21.定比分点坐标公式：当uuuur uuuur p p =lpp时，p 点坐标为x +lx y +ly ( , )1 +l 1 +lc当点 p 在线段 p p 上时，点 p 叫线段 p p 的内分点，0ob当点 p 在线段 p p 的延长线上时，p 叫线段 p p 的外分点，-1； 当点 p 在线段 p p 的反向延长线上时，p 叫线段 p p 的外分点，-10. 22. 从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则uuur uuur uuur oc =loa +mob，其中+=1r r23.数量积（内积）：已知两个非零向量 a 与 b ，我

17、们把数量r r| a | b | cosr r q叫做 a 与 b的数量积（或内积），记作rarb即rarb=r r| a | b | cosq。其中是ra与rb的夹角，r| a | cos q（r| b | cos q）叫做向量r ra 在 b方向上（r rb 在 a方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量积为 0。r r r r r r r r r24. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cosq的乘积。r r r r r r r r r r r r r r r r r25.数量积的运算定律： a b =

18、b a （ a ）b =（ a b ）= a （b ） （ a + b ）c = a c + b cr r ( a +b )2r r r r =a +2 a b+b2r r ( a -b)2r r r r =a -2 a b+b2r r r r r r ( a +b ) (a -b ) =a -b26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即r ra b=x x +y y1212。则：若r r a =( x , y ) ，则 | a |2=x2+y2，或r| a |=x2+y2r。如果表示向量 a 的有向线段的起点和中点的坐标分别为（x ，y ）、（x ，y ），那么 1 1 2 2ra

19、 =（x -x ，y -y ）， 2 1 2 1r| a |=（x -x 22 1+（y -y ）2 2 1r r r r r r设 a =（x， y ）， b =（x，y ），则 a b x x +y y =0 a b=011221212r r r r r r27.设 a 、 b 都是非零向量， a =（x，y ）， b =（x， y ），是 a 与 b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosqr ra b= r r | a | b |=x21 1x x +y y1 2 1 2+y 2 x 2 +y2221122第三章 三角恒等变换1.两角和的余弦公式【简记 c】：(+)cos(

20、a+b)=cosacosb-sinasinb2.两角差的余弦公式【简记 c】：(-)cos(a-b)=cosacosb+sinasinb3.两角和（差）余弦公式的公式特征：左加号，右减号。同名函数之积的和与差。、叫单角， 叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值。“正用”、“逆用”、“变用”4.两角和的正弦公式【简记 s(+)】：sin (a+b)=sinacosb+cosasinb5.两角差的正弦公式【简记 s(-)】：sin(a-b)=sinacosb-cosasinb6.两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：左右运算符号相同。右方是异名函数之积的和与差，且正弦值5 / 6222a a

21、在前，余弦值在后。用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值。7.两角和的正切公式【简记 t】：(+)tan(a+b)=tan a+tan b 1 -tan atan b8.两角差的正切公式【简记 t(-)】：tan(a-b)=tan a-tan b 1 +tan atan b9.两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反。a kp+p2,bkp+p2,a+bkp+p2( k z )公式变形：tana-tanb=tan(a-b)(1+tanatanb) tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)10.辅助角公式：a cos x +b s