点集拓扑学练习题及答案

1、Xbb,c,d答案：点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、 已知X a,b,c,d,e,下列集族中，( )是X上的拓扑 T X, ,a, a,b, a,c,e T X, , a,b, c, a,b,d, a,b, c,e T X, ,a,a,b T X, ,a, b, c, d, e答案：2、设X a,b,c，下列集族中,( )是X上的拓扑TX,a, a,b, cTX,a, a,b, a,cTX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：3、已知Xa,b,c,d,下列集族中，(）是X上的拓扑TX,a, a, b, a,c,dTX, ,a,b,c, a,b, dTX,a, b, a,c

2、,dTX, ,a,b答案：4、设X a, b, c，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.TX,b, c, a,bTX,a, b, a,b, a,cTX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：5、已知汨Xa,b,c,d,下列集:族中，（(）是X上的拓扑TX,a,b, a,c,dTX, ,a,b, a,c, dTX,a, b, a,c,dTX, ,a, c, a,c答案：6、设Xa, b, c，下列集族中,(）是X上的拓扑TX, ,a, b, b,cTX, ,a,b, b, cTX, ,a,a,cTX, ,a,b,c答案：7、已知 X a,b,c,d，拓扑 T X, ,a,贝Ub=()Xbb,

3、c, d答案： 8、已知 X a,b,c,d，拓扑 T X, ,a,则b,c,d=()9、已知X a,b，拓扑TXa10、 已知X a,b，拓扑TXa11、已知 X a,b,c,d，拓扑 TXa,b12、已知 X a,b,c,d，拓扑 TXa,cX, ,a,则a=()bX, ,a,则b=()bX, ,a,则面=()b, c,d答案：X, ,a,则 =()b,c, d答案：答案：答案：13、设X a,b,c,d，拓扑T X, ,a, b,c,d,则X的既开又闭的非空真子集个数1 23-14、设 Xa,b,c，拓扑TX,1 23-15、设 Xa,b,c，拓扑TX,0 12316、设 Xa,b，拓扑

4、TX,0 12317、设 Xa,b，拓扑TX,1 23418、设 X a,b,c，拓扑 T44答案：,a, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为答案：,b, b,c,则X的既开又闭的非空真子集的个数为答案：,b,则X的既开又闭的子集的个数为（答案：, a, b,则X的既开又闭的子集的个数为（答案：X, ,a, b, a,b, b,c , X的既开又闭的非空真子集个数4 答案：19、在实数空间中,有理数集Q的内部Q是（QR -QR答案：20、在实数空间中，有理数集Q的边界（Q）是（ ）QR -QR答案：321、在实数空间中，整数集Z的内部Z 0是（)5ZR-ZR答案：22、在实数空间中，整

5、数集Z的边界（Z）是（ ）ZR-ZR答案：23、在实数空间中，区间 0,124、在实数空间中，区间2,325、在实数空间中，区间0,10,1）的边界是（ ）0,1 （0,1）2,3）的边界是（ ）2,3（2,3）0,1）的内部是（ ）0,1 （0,1）答案：答案：答案：26、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集，则下列关系中错误的是（ d(A B) d(A) d(B) d(A B) d(A) d(B)答案：27、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集，则下列关系中正确的是（d(A B) d(A) d(B)d(A B) d(A) d(B)答案：A, B是X的子集，则下列关系中正确的是（d(AB

6、)A Bd(AB)d(A) d(B)29、已知X是-一个离散拓扑空间,d(A) d(A)d(A)A d(A)30、已知X是-一个平庸拓扑空间,若A,则ld(A)设X是一个拓扑空间,28、 A B A BX若 A=x1,x2,则 d(A) XX A d(d(A) A d(A)答案：A是X的子集，则下列结论中正确的是答案：A是X的子集，则下列结论中不正确的是（若 A X。,则 d(A) X A若A X ,则d（A） X答案：31、 已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（）若A ,则d（A）若A X。,则d（A） X若人=为也,则d（A） X A 若A xX2,则d（A） A

7、答案：32、设 Xa,b,c,d，令 Ba,b,c, c, d,则由 B 产生的 X 上的拓扑是（） X, c, d, c, d,a,b, c X,c, d, c, d X, c, a, b,c X, , d, b, c, b, d, b, c, d 答案：33、 设X是至少含有两个元素的集合，p X , T G X |p G 是X的拓扑，则（） 是T的基. B p,x| x X p B x| x X34、设Xa,b,c,则下列X的拓扑中（)以S X, ,a为子基X, a, a,c X, aX, a, b, a, b X,答案：35、离散空间的任一子集为（）开集闭集即开又闭非开非闭答案： B

8、p,x| x X B x| x X p答案：36、平庸空间的任一非空真子集为（）开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：37、实数空间R中的任一单点集是（）开集 闭集 既开又闭 非开非闭答案：3&1实数空间R的子集A =1,1 1JJ,则 A -()234RAU 0A答案：39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（)整数集 a,b 有理数集无理数集答案：40、 在实数空间R中，下列集合是开集的是（）整数集Z有理数集无理数集整数集Z的补集Z答案：41、 已知X 1,2,3上的拓扑T X, ,1,则点1的邻域个数是（）1234答案：742、已知X a,b,则X上的所有可能的拓扑有() 143、 3个

9、2 个 3 个 4 个 已知X =a, b, c,则X上的含有4个元素的拓扑有 5 7 9 3个答案：)个答案：44、设(X,T )为拓扑空间，则下列叙述正确的为 X T , T当T T时，U UUT X T ,T 当T TT时,IUT答案：45、在实数下限拓扑空间R中，区间a, b)是( 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：946、设X是一个拓扑空间，代B X ,且满足d(A) B A,则B是() 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：47、设 X1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,2,则X的子空间A的拓扑为( ) ,2, 1,2 T ,X,1,2

10、, 1,2 T ,A,1,2 T ,X,1,2答案：48、设 X 1,2,3 , T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A 1,3,则X的子空间A的拓扑为() T ,1,3, 1,3 T ,A,1 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：49、设 X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 2,3,则 X 的子空间 A 的拓扑为() T ,3,2,3 T ,A,2,3 T ,X,2,3,2,3 T ,X,3答案：50、设X 1,2,3, T=,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 1,则X 的子空间 A 的拓扑为() T ,1 T ,A,1,2

11、T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：51、设 X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 2,则 X 的子空间 A 的拓扑为() T ,2, 1,2 T ,A T ,X,2 T ,X,1,2答案：1152、设 X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓扑，A 3,则 X 的子空间 A 的拓扑 T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（） T ,Z T P(Z)T Z 答案：54、设 XX2X6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间 R是X到X1的投射，

12、则P1是（）单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：55、设 X Xi X2X6是拓扑空间Xi,X2, L ,X6的积空间 P2是X到X2的投射，则P2是（） 单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：56、设 X Xi X2X6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 P3是X到X3的投射，则P3是（）单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：57、设 X Xi X2X6是拓扑空间Xi,X2, L ,X6的积空间 P4是X到X4的投射，则（）单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：58、设 X Xi X2X6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 F5是X到X5

13、的投射，则Ps是（ ）单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：59、设 X Xi X2X6是拓扑空间Xi,X2,L ,X6的积空间 Ps是X到X6的投射，则F6是（）单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：60、设Xi和X2是两个拓扑空间，Xi X2是它们的积空间Xi，B X2，则有（ A B A B A B A B (A B) A B(A B) (A)(B)答案：6i、有理数集Q是实数空间R的一个（）不连通子集开集连通子集以上都不对答案：62、整数集Z是实数空间R的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不对答案：63、无理数集是实数空间R的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不

14、对答案：64、设丫为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y Z Y,不连通子集连通子集 闭集 开集答案：65、 设Xi,X2是平庸空间，则积空间Xi X2是（）离散空间不一定是平庸空间平庸空间不连通空间答案：66、 设Xi,X2是离散空间，则积空间Xi X2是（）离散空间不一定是离散空间平庸空间连通空间答案：67、 设Xi,X2是连通空间，则积空间Xi X2是（）离散空间不一定是连通空间平庸空间连通空间答案：68、实数空间R中的连通子集E为（）开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案：69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为（区间)以上都不对 答案：开区间闭区间70、实数空间R中的连通子集

15、E为（)开区间闭区间区间区间或一点答案：71、下列叙述中正确的个数为（)（I）单位圆周S1是连通的；()R 0是连通的(E) R2 (0,0)是连通的(W) R2和R同胚1234答案： 二、填空题(每题1分)1、 设X a,b,则X的平庸拓扑为 ； 答案：T X, 2、 设X a,b,则X的离散拓扑为； 答案：T X, ,a, b3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、 在实数空间R中，有理数集Q的导集是.答案：R5、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案：U (A x)6设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)=; 答案：X7、设A是有限补空间X中的一个无限

16、子集，贝U A=; 答案：X8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)=; 答案：X9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则 A=; 答案：X10、为设X1,2,31,X的拓扑T答案：X,2,2,2,3,则X的子集A 1,2的内部11、设X1,2,3,X的拓扑TX,1,2,3,则X的子集A 1,3的内部为J答案：112、设X1,2,3,X的拓扑TX,1,2,3,，则X的子集A 1,2的内部为答案:113、设X1,2,3,X的拓扑TX,2,2,3,则X的子集A 1,3的内部为;答案：14、设X a,b,c,则X的平庸拓扑为 ; 答案：T X, 15、设X a,b,c,则X的离散拓扑

17、为答案：TX, ,a,b, c, a, b, a,c, b,c15,则X的子集A 1,3的内部16、设 X 1,2,3 , X 的拓扑 T X, ,2 ,3 ,2,3为;答案：317、设 X 1,2,3 , X 的拓扑 T X, ,1, 3, 1,3,则 X 的子集 A 1,2 的内部为;答案：118、f :X Y是拓扑空间X到丫的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个. 答案：嵌入19、f ：X Y是拓扑空间X到丫的一个映射，如果它是一个满射，并且丫的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个；答案：商映射 20、设X,Y是两个拓扑空间，f : X

18、 Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f (U)是丫中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射 21、设X,Y是两个拓扑空间，f : X Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是丫中的一个闭集，贝U称映射f是一个 答案：闭映射 22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B,使得A B个 ;答案：不连通空间 23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集代B,使得A B个 ;答案：不连通空间24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则 X是一个答案：不连通空间 25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集，Z X满足丫 Z 丫，则Z也是X的个；答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为

19、一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ;答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ;答案：可商性质28、 若任意n 1个拓扑空间Xi,X2,L ,Xn,都具有性质P,则积空间Xi X? L Xn也具有性质P，则性质P称为； 答案：有限可积性质29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集 A,B,使得A B X ,则称X是一个 ;答案：不连通空间三判断(每题4分，判断1分，理由3分)1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 ()答案:V理由：设X

20、是离散空间，丫是拓扑空间，f : X Y是连续映射，因为对任意 A 丫，都有f A) X ,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f 1(A)是 中的开集，所以f : X Y 是连续的Al B，并且这时有：2、 设Ti,T2是集合X的两个拓扑，贝U Ti T2不一定是集合X的拓扑()答案：X理由：因为(1) Ti,T2是X的拓扑，故X, Ti, X, T2,从而X , Ti T2 ；(2) 对任意的 A,B Ti T 2 ,则有A,B Ti且A,B T 2 ,由于 Ti, T2是X的拓扑，故A B Ti 且 A B T2，从而 A B Ti T 2 ；(3) 对任意的TTiT2，则TTi,TT2

21、，由于Ti,T2是X的拓扑，从而 utUTi,u TU T2,故 u tU Ti T 2 ;综上有Ti T2也是X的拓扑.3、从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射()答案：V理由：设f :X Y是任一满足条件的映射，由于丫是平庸空间，它中的开集只有Y,易知它 们在 f 下的原象分别是 X, , 均为 X 中的开集，从而 f ： X 丫连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A ()答案：V理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以 p是X的开子集，且有 p I A p ，即p d A ,从而d(A).5、 设A为平庸空间X ( X多于一点)的一个单点集，

22、贝U d A ()答案：X理由：设A y,则对于任意x X,x y,x有唯一的一个邻域 X，且有y X (A x),从而X (A x)，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X (A y)，所 以有 d A X A .6设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，贝U d A X ()答案：V理由：对于任意x X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X (A x)，因此x是A的一个凝聚点，即x d(A)，所以有d A X .7、设X是一个不连通空间，则 X中存在两个非空的闭子集 A,B,使得A B ,A B X()答案：V理由： 设 X 是一个不连通空间，设 A,B 是

23、 X 的两个非空的隔离子集使得 A B X , 显然B B X (B A) (B B) B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了代B满足A B , A B X .8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则 X是一个不连通空间() V 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令 B A，则A,B都是X中的 非空闭子集，它们满足A B X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 五简答题(每题4分)1、设X是一个拓扑空间，代B是X的子集，且A B.试说明d(A) d(B).答案：对于任意x d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U (A

24、x),由于A B，从而U (B x) U (A x) ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B).2、 设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X Y, g:YZ都是连续映射，试说明gof :X Z也是连 续映射答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y Z是一个连续映射，从而g 1(W)是丫的一个开集，由f : X Y是连续映射，故fIW)是X的一开集，因此(gof) 1(W) f 1(g 1(W)是X的开集，所以g o f: Xz是连续映射.3、 设X是一个拓扑空间，A X .试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集. 答案：对于x A ,则x A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U

25、(A x), 因此U A ，即U A,所以对任何x A, A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、 设X是一个拓扑空间，A X .试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设x A,则x A,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足A A ,因此x A,从而A A,即有A A，这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：xy x, y (,1)或者 x,y 1,2)或者 x, y 2,)设在这个等价关系下得到的商集 丫 0,1,2,试写出丫的商拓扑T.17答案：T ，丫,0,0,16、在实数空间 R 中给定如下等价关系 :x y x, y (,1或者 x, y

26、(1,2或者 x, y (2,)设在这个等价关系下得到的商集丫 1, 2, 3,试写出丫的商拓扑T .答案： T ,丫,3,2,37、在实数空间 R 中给定如下等价关系：x y x,y ( ,1) 或者 x,y 1,2) 或者 x,y 2, ) 设在这个等价关系下得到的商集 丫 1,1,2 ,试写出 丫的商拓扑 T.答案： T ,丫, 1, 1,18、在实数空间 R 中给定如下等价关系：x y x,y ( ,1) 或者 x,y 1,2) 或者 x,y 2, )设在这个等价关系下得到的商集 丫 2,1,2 ,试写出 丫 的商拓扑 T.答案： T ,丫, 2, 2,19、在实数空间 R 中给定如下

27、等价关系 :x y x,y (,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2,)设在这个等价关系下得到的商集 丫 0,2,3 ,试写出 丫的商拓扑 T .答案： T ,丫,3,2,310、在实数空间 R 中给定如下等价关系 :x y x,y (,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2,)设在这个等价关系下得到的商集 丫 0,2,4,试写出 丫的商拓扑 T .答案： T ,丫,4,2,411、在实数空间 R 中给定如下等价关系 :x y x,y (,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y (2,)设在这个等价关系下得到的商集丫 1,2,4，试写出丫的商拓扑T .答案：T

28、,丫,4,2,4六、证明题(每题8分)1、设f ：X Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是丫的一个不连通子集，则存在丫的非空隔离子集A,B使得f(X) A B 3 分于是f 1(A), f 1(B)是X的非空子集，并且：1 1 11(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)f 1(A B) (A B)所以f 1(A),f1(B)是 X 的非空隔离子集 此外，f 1(A)f 1(B)f1(AB) f 1(f(X)X，这说明X不连通，矛盾.从而f (X)是丫的一个连通子集 8分2、设丫是拓扑