近世代数第四章整环里的因式分解.

1、第四章整环里的因式分解 1.素元、唯一分解本讲中，总假定为整环,为口的商域.1. 整除定义1设D为整环，a,bD,如果存在c D,使得则称整除.,记作：；并称是的一个因子，是的倍 元.整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广，因此有许 多与整数的整除相类似的性质.整除有下列常用的性质：(1) 如果“ b, alC,贝 U十 G；(2) 如果 q|H,则 c.2. 相伴定义2整环D的一个元F叫做D的一个单位，假如c是一个有逆 元的元。元；叫做元的相伴元，假如-:是和一个单位F的乘积:1) = 82定理1两个单位的乘积也是一个单位.单位P的逆元也是个单位.例1因为整数环：的单位仅有1与-1,故任一

2、非零元有2个相 伴元：与- a .例2-有四个单位，1, - 1, i,-i,所以任一非零元二,- - 有四个相伴元： a+bi-ct-bk-bai.b-ai 定义3单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因 子，则称为的真因子素兀定义4设D为整环，p D，且丁既非零也非单位，如果丁只有 平凡因子，则称匸为一个素元.定理2 单位；与素元厂的乘积乩也是一个素元.定理3 整环中一个非零元二有真因子的充分且必要条件是:-：:，这里丨，丨都不是单位推论 设一|，并且.有真因子：J 址.贝匸也是.的真因子.定义5我们称一个整环D的元.在D中有唯一分解，如果以下条件被满足：(i) !为D的素元)(ii

3、) 若同时有厂；打%(：；为/的素元)则有，-，并且可以调换-的次序，使得一 I(为f的单位)整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的 对象只能是非零也非单位的元.例3 给整环“- -.那么有：(1) 亠的单位只有11 .(2) 适合条件丨的元二一定是素元.首先J又由(1),二也不是单位.设为二的因子:卩二a+队口左二/By那么-TU但不管是何整数， 10卜1 或4 若I0f = l,则0是单位.若1刖=4,则|汁二1而刃为单位.因而0 =厂b:是二的相伴元.从而二只有平凡因子，故二是素元.(3) 没有唯一分解：我们有(A)丄二一二，匸；二：-：| ,|2卜41+戸卜4口卜4,

4、故由(2),2,丨:都是(的素元.由，1，都不是2的相伴元，因而-小给出了 4的两种不同分解从而4没有唯一分解这说明并不是任意整环中的非零和非单位的元都有唯一分解$2.唯一分解环定理1 一个唯一分解环有以下性质: 若一个素元厂能够整除门，则有T整除丿或：.定理2 做定整环亠有如下性质：(i) 的每一个非零非单位的元丿都有一个分解(:为的素元)(ii) 亠的一个素元匸若能够整除Q ,则有匸整除“或：，贝L 一定 是一个唯一分解环.定义6元C叫做知则广也的公因子，如果血丿=必丿.定理3个唯一分解环亠的两个元暑和：在亠里一定有最大公因子“和一：的两个最大公因子和1只能差一个单位因子：.； 訂(P是单

5、位).推论 一个唯一分解环.的1个元，“ ：在里一定有最大 公因子八二*竝的两个最大公因子只能差一个单位因子.定义一个唯一分解环的元比以心摂称为互素的，如果它们的 最大公因子是单位$3.主理想环引理1 设.是一个主理想环.若在序列山：匚匸里的每一 个元是前一个元的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.引理2 设.是一个主理想环，那么的任一素元！生成一个最大 理想.定理一个主理想环亠是一个唯一分解环.证：我们证明是一个唯一分解环 设匸一亠且不是零也不是单位.若“不能写成有限个元的乘积，则不是一个素元，所以由$4 . 1的推论，都是的真因子.-：的这两个真因子中至少有一个不能写成素元的乘积， 否

6、则丿就是 素元的乘积而与假设矛盾.于是有这样的结论；若没有分解，贝L有一个真因子也没有分解这样，在没有分解的假设之下, 就得到一个无穷序列 ab= 0(p)这就是说在剩余类环里所代表的类与0所代表的类相同：ab=M=Mh由引理2,厂是最大理想，因而由$3 . 9的定理，丁是一个域.因为域没有零因子，所有由上面等式有二一或一丨一即有- ；： 或- I亦即二-I工或工从而门或；1-，故也满足$4 . 2定理2的条件(iii). 因而是个唯一分解环$4.欧氏环定义一个整环叫做一个欧氏环，如果 (i)有一个从亠的非零元所作成的集合J 0至U全体非负整数 作成的集合的映射存在； (ii)任意给定的一个非

7、零元，:的任何元；都可以写成 b = qa+r(qirel)的形式，这里有I或厂 T1-1例 整数环是一个欧氏环因为：-4|a|=砲)定理1是一个适合条件(i)的映射并且任意给定整数-I，则任何整数都可写成这里，I 或 i 二 m：上面定义中的映射称为欧氏映射.定理1每一个欧几里德环都是主理想整环，因而也是唯一分解证明 设一为欧几里德环的任一理想，爪为欧氏映射.(1) 如果,贝-三宀.(2) 如果-叽，令则丄非空,且二厂L I .设二一,使得丿为 中 的最小数，下证 亠.任给_ ,因为上,所以存在二,使得a = dq + r.于是，r = a-dqeu.如果*，贝U / - ;|,与，的选取矛

8、盾.所以, = ”，贝二，于是 川.由二的任意性可知-.又-；-，所以二-,从而这就证明了，-的任一理想都是主理想，故-为主理想 整环.定理2整数环是主理想，因而是唯一分解环定理3 个域1上的一元多项式/创是一个欧氏环.因而是一个 唯一分解环$5 .多项式环的因子分解本章讨论唯一分解环一上的一元多项式环-1.我们称丄-1的素 元即素多项式为不可约多项式，日有真因子的多项式叫做可约多 项式.定义2 -的一个元叫做一个本原多项式，如果的系数的最大公因子是单位.我们有如下结论：(A) 的单位是的仅有的单位.(B) 个本原多项式不会等于零.(C) 若本原多项式、可约，那么；匸2打黑=且有(-八表示的次

9、数) 引理i设匚二.，那么是本原多项式的充分且 必要条件是和：八都是本原多项式.设匸是的商域，那么多项式环二丄是唯一分解环.引理2 :一 ：的每一个非零多项式、都可以写成a的形式，这里：二.二是；的本原多项式.如果C：.!； 也有的性质，那么:1 - - -，（壬为的单位）引理3 心） 的一个本原多项式 一在 里可约的充分必要 条件是在-里可约.引理4 ；|的次数大于零的本原多项式在；里有唯一分解.有了以上的结论，我们就有定理 如果亠是唯一分解环，则-也是唯一分解环.$6 .因子分解与多项式的根定义整环亠的元叫做的多项式的一个根，如果有几）=0定理1.是的一个根的充分且必要条件.-.是整除定理2的个不同的元八二:“几都是；-的根的充分且必要条件是一;整除；推论 若的次数为1，则在/中至多有 个根.定义 .的元叫做的一个重根，如果能被二 二整除，这里是大于1的整数定义由多项式唯一决定的多