调和点列(一)解析

1、调和点列(一)一、线段调和分割的基本概念如果线段AB被两点C,D内分与外分成同一比例，则称线段 AB被点C和D 调和分割亦称点列A,B;C,D为调和点列.显然，当C,D调和分割AB时，也可称A、B两点调和分割CD有时也称点C 和D是线段AB的调和共轭点.若从共点直线外任一点P作射线PA,PC,PB,PD则可称射线束为 调和线束， 且PA与PB共轭，PC与 PD共轭.二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.性质1设A,C,B,D是共线四点，点M为AB中点，则C,D调和分割线段AB的充 要条件是满足下述六个条件之一 (1) 点AB调和分割CD.+AC ADAB -AB

2、 *CD 二:2AD * BC 二2AC DB .CA*CB =CM CD .DA * DB =DM DC.MA2 二 MB2 = MC MDAMCBD性质2设A,C,B,D是共线四点，过共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述两个条件之一.(1)线束PA,PC,PB,PD其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等的两线段 另一直线I分别交射线 PA,PC,PB,PD于点A ,C ,B ,D 时，点 C ,D 调和分割线段A B.P性质3对线段AB的内分点C和外分点D,以及直线AB外一点P,给出如下四 个论断：PC是/APB的平分线.PD是Z

3、APB的外角平分线.C,D调和分割线段AB. PCL PD.以上四个论断中，任选两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命 题.性质4三角形的一边被其边上的内（旁）切圆的切点和另一点调和分割的充要 条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线 性质5从圆0外一点A引圆的割线交圆0于C,D,若割线ACD与点A的切点弦 交于点B,则弦CD被 A,B调和分割.三、几个推论1、性质2的推论：推论1梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线.N推论2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割推论3过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线， 所作直 线与平行的对角线

4、的同一端点所在的边或其延长线相交，所得线段被此对角线所 在直线上的交点平分CNE2、性质3的推论:推论4三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.推论5两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割推论6若C,D两点调和分割圆的直径 AB则圆周上任一点到C,D两点的距离之 比是不等于1的常数反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数，则该动点的轨迹是一个圆.(Apollonius 圆) 推论7从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这 条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割 PN推论8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充

5、要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交（即交点处切线相互垂直）.D推论9 设点C是厶AEF的内心，角平分线 AC交边EF于点B,射线AB交厶AEF的外接圆圆Q于点0,则射线AB上的点。为厶AEF的旁心的充要条件是ACDOCB OB推论10设厶AEF的角平分线AB交EF于点B,交 AEF的外接圆于点0,则2 20E =0F = 0A *0B .3、性质4的推论: 推论11若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边 延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边 4、性质5的推论：推论12从圆0外一点A引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边 形的对角线相交于点B

6、,设直线AB交圆0于C,D,则A,B调和分割CD弦.AD四、调和点列的性质应用例1如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA,PB, A,B为切点，再过点P作圆 的一条割线分别交圆于 C,D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC,AD于E,F，求证：BE= BF.（2005年第5届中国西部数学奥林匹克题）例2 如图，在 ABC中, AD丄BC H为AD上任意一点，CH,BH分别与AB,AC交于点 E,F，求证：/ EDA =Z FDA.(第18届普特南B.1）（1987年友谊杯国际竞赛）（第14届爱尔兰奥林匹克）(第26届加拿大奥林匹克）A例3 如图，在 PBC中，/ PBC =60，过点P作厶

7、PBC勺外接圆圆 0的切线， 与CB的延长线交于点A.点D,E分别在线段PA和圆0上,使得/ DBE=90,PD=PE 连接BE与PC相交于点F.已知AF,BP,CD三线共点. 求证：BF是/ PBC的平分线.年西部数学奥林匹克题)pEDFOAB(2)求 tan / PCB的值.(2006例4如图，已知A为圆O外一点，过A引圆O的割线交圆O于点B,C，且点B 在线段AC内部.过点A引圆O的两条切线，切点分别为S,T.设AC与 ST交于点P,证明： 竺=2.(第21届北欧数学竞赛题)PC BCC例5如图，已知 ABC的外心为O, P为0A延长线上一点，直线I与PB关于 BA对称，直线h与PC关于

8、AC对称，I与h交于点Q.若P在0A的延长线上运动， 求Q的轨迹（第38届奥地利奥林匹克题）例6如图，过锐角厶ABC的顶点A,B,C的三条高分别交对边于点 D,E,F，过点D平行于EF的直线分别交AC,AB于点Q,R, EF交BC于点P.证明： PQR勺外接 圆过BC的中点.（第38届IM0预选题）例7 如图，设0和I分别为 ABC的外心和内心， ABC的内切圆与边BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F，直线FD与CA相交于点P,直线DE与AB相交于点Q,点M,N分别为线段PE,QF的中点，求证：01丄MN.（2007 年CM强题）QMBDOC例8如图，已知AB是圆0的弦，M是AB的中点，C是圆0外任一点，过点C 作