机械振动_第三章(课件)

1、图33弟二章二自由度系统3.1引言壬勺三度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才能 扌田述其运动的振动系统。几种常见的二自由度系统模型于图30（C）W) 3.2运动微分方程例3.1图32（。）是一个典型的二自由度弹簧、阻尼器质量系统，我们用牛顿第二定律建立它的运动微分方程。分别在儿川2建立坐标系o氐 6疋以描述mi，m2的振动。坐标原点 6分别取叫叫的静平衡位置。向右 为坐标正向。/ X / ZG4Q（ZiJT2）根据牛顿第二定律:川1片=耳（0 -斤小St -斤2（N 勺）曲一屯）”八2 =眄（t）不2 （卞2 1）（S（卞2 ）叽 5*2将内力项移到方程左端，并按微分阶次由高到低，变量序

2、号由小到大排列(3-1)川亍1 +(C +。2)壬1 -C2i2 +(k + k2)A1 一疋2兀2 = Fx (t)川2、2 ( 21 +G +勺)為*2*1十(斤2十屁、2 =码()用向量和矩阵表示：位移向量y = xx2T ?速度向量 =,加速度向量二佔用，缴励向量側）=7 矽）凭并设仔0心_七2总十焉分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。它们都是二阶方阵，方阵的盼数 :巨自由度个数相等。方程G）可以写成(3-2)M国+ Ci + Kx = %)矩阵均是n阶矩阵，向量均为川阶向量。Fi (/F&)习惯上，称这种在各个离散质量上建立的坐标系为捲述系统的物理坐标系， 在此坐标系下的系统的

3、质量矩阵.阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的物理参数.质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵完全决定了系统的性质。从上面的例子可以 看出，这三个矩阵均是对称矩阵，即有Cf=C, Kf=K（上标V表示矩阵的转置）多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵.FjG)klXl爲(4 一工2&2(口 _Z)zHzz.G4F2(z)ri i bf图32mz“（工】一工2 Cz （丄2 G系统的动能为，CzXzI麗卜0哑E=討材+孰迟=系统的势能：U =+ 焉（兀2 _ Xl）2 + 庚;2 2 百十為 _為 一 銘+Jx2rxTKx=xpr27系统的能量耗散函数D =晋+片(也一父J? +_ 12 JJL

4、t2C2 +C3=xrCx利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素(33)d2E7, d2Ud2D朋=5 吗=r =氓迅甌矗j氓瓦根据式(3.3),可以得到驱统的运动微分方程的一种比较简单的方法先求 出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用式(3.3)求出系统的质量矩阵、阻 尼矩阵和刚度矩阵。最终求出系统的运动微分方程。好处：由于系统的动能、势 能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向根据惯性元件、弹性元件和阻尼元件的性质：动能、势能和能量耗散函数均是非负的。也就是说，对任意的位移=(),任意的速度仗工()，必然有4Er = xrMx02U= xtKx0D=xfCx0由此可知，质量矩阵

5、、阻屉矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来, 工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚 度矩阵也是正定矩阵。上面关于质量矩牟 阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二首由度系统和自由度系统.例3.1甲，将川2联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件陀使得系统的两个质量的振动相互影响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵.一般来说， 多自由度系统的运动微分方程甲的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对 角矩阵，这样微分方程存在耦合4如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性 耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对 角矩阵，称

6、方程存在弹性耦合。很显然，建规3.1中，如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵, 则系统的运动微分方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单独求解。如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的 关键。解耦使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵。方程是否存在耦合和存在什么种类的耦合依赖于所选取的捲述系统的广义坐标，并不是系统本身的性质。3.3不同坐标系下的运动微分方程以汽车的二自由度振动模型为例，选取不同的广义坐标建立运动微分方程,观察方程耦合的情况。同时找出不同广义坐标下运动微分方程之间的关系。例3.2汽车的二自由度振动模型如图3

7、3所示。在这个模型中汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量加和绕质心的转动惯量厶。质心位于C点.分别在丄点和*点与杆相联的弹性元件届、局为汽车的前，后板簧. 为了简单起见，模型中忽略了汽车减震器（相当于阻尼器）和苴他形式的阻尼，并 且不计汽车板簧以下部分的质量和刚度。我们只考虑杆的竖向运动和绕质心的转 动。系统的动能和势能为1 o 11阳1u=扣;+扛处弓仏如；:r 222|_0k2 ys 上式中用到了四个广义坐标.血，.畑.叱，乩 二自由度系统只需用两个广 义坐标描述，我们需要取定茸中两个，而将茸他两个消去下面我们看几种不同 取法时的运动微分方程。1.取广义坐标为*和Q io和 门可

8、用 片和6表示为儿=丿百+厶0 心=ya+ lb (L=九+s在心、。下系统的动能和势能为坊= |wf + 俨=:（九+厶歼+厶沪厶厶m 叫卩”mLY 阳E + I & Iu =亍加:+亍七沙；-亍妬处+爲(儿+丄疔jitfJH*=|(1 + %)乃 + 2 阳丄儿!& + 即?&2上+服 展LjT、qk2L爲 Ife /=小&因此在VA和&下的运动微分方程为= 0m mLx y这个方程存在弹性耦合和惯性耦合。2.取广义坐标为和0：采用矩阵法推导。yA,沧用和3表示:这里仪=为由和m.vA vb的变换矩阵。在必和歼系统的动能和势能为:咼二+诚+ +厶沪二+儿厲dAU= 2為必+ ；焉曲= 1

9、r= -UMr= |um0舟014国闰也儿丨011厶厶2-。疋2-险+焉十2厶划厶儿 片2厶险厶片 1町+忍昌0运动微分方程为川0护+吿+叽血厶-k占阳二0厶、0|_斤2為厶斤 1E +斤2 Z - I. & J当灯S-屮严0时方程将存在弹性耦合。女口果k並-灯1=0,则刚度矩阵为对角矩阵方程已经解耦。这时系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。3.取广义坐标为口和VBt ic和&可用丁直和tb表示为: 变换矩阵为在JR和丁B下的质量矩阵为0Z2仏厶一 4当mL-I 0时，方程存在惯性耦合。当m-I 0时，质量矩阵为对角矩阵，方程已经解耦。这时，/点和*点的振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬架

10、和后悬架的振动相互独立，如同两个相互独立，役有联系的单自由度系统。在汽车理论中，称Icp二川厶厶为悬挂质量分配系数。当上尸1时，汽车的前悬架和后悬架的振动相互独立，可 以分别讨论它们的振动。上述推导得出了不同广义坐标系下刚度矩阵之间的关系。即如果广义坐标 兀和y之间有变换关系在*，丁下的刚度矩阵分别为旳和K1,则由于系统势能大小与广义坐标 的选取无关，園而有心匕円幻何=+3仏F闪仪刃2 2从而得到 同样，系统动能和能量耗散函数的大小也与广义坐标的选取无关，因此，用与上 面相同的方法可以得到两个坐标系的质量矩阵M和阻尼矩阵O、0之 间的关系Mi = uyMuC1 = fCH网丛邂L3.2我们看到

11、，系统的质量矩阵和刚度矩阵（包括阻尼矩阵）的具体形式 与所选取的描述系统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦 合。由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，方程解耦的问题就归结 为寻找一个合适的线性变换矩阵诃，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚 度矩阵成为对角矩阵D3.4无阻尼自由振动解耦：寻找合适的摊述系统振动的广义坐标系，使得系统的质量矩阵，阳尼矩阵和刚度矩阵在这个广义坐标系下为对角矩阵。这等价于寻找一个变换矩阵吋，使得系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵按式(3.4)变为对角矩阵。现在的问题是，是否存在这样一个变换矩阵。首先来讨论无阻尼自由振动。 运动微分方程为：(35

12、)11 l；+ E 0 11 & 1/2如果存在变换矩阵川使方程解耦。即当町=刃时,在0下的运动微 分方程为(3.6)= 0码 00 %上式相当于如下两个彼此独立的单自由度方程“刃 + g = 0 吧吕+斤2二0如果初始条件为“(0)=4则方程(3.6)的解为J1 (0) = 09 y2 (0) = 05 v2 (0) = 0加=Acosat,倒=2 = 由此可以得到方程(35)的解1*() = & UC)=A cos 卯也就是说，初始条件为工(0) = x(0) = 0系统的自由振动是简谐振动，即x1(f) = n4C0Sdltx2(f) = zi21Xcosqf显然，两个坐标“CL xi(

13、f)的比值i(0 _ n:C?!是与时间无关的常数。这说明，如果方程(3.5)能够解耦，则在特殊的初始条件下,系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零或恥特殊的初始条件举例。例3.3如图34()所示系统。图34设nii这是个对称系统，对称点为k的中点。我们讨论几种特殊的初始条件下的振动。r把加“加2向右膠动相同的距离兀。然后同时无初速度地放开，这时初 始条件为工(0) = .y2 (0) = .x0 ij (0) = .y2(0) = 0这是一个对称的初始条件。在整个振动过程中，弹簧為不变形，加1和加2 受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因

14、此它们的速度和位移也相同。 这样加1和加2之间的距离始终保持不变，二者就如同一个刚体，在这种情况下 的等效系统如图3少)所示。这是一个单自由度系统,有频率为响应为并有Xx(t) = x2(f) =X (t)即此时系统两个自由度以”为频率做简谐振动.同时达到极值，同时为零。它 们之间的相位为零。尸八声/丿丿/丿丿/2丿丿丿丿丿乡丿丿/7丿丿/丿(b)图342加i向左 辺向右均移动心 然后同时无初速度地放开这时初始条 件为*1 (0)=兀0 兀2=兀0丘1=丘2 (0 ) = 0这是一个反对称的初始条件由于系统的对称性，在振动过程中，系统的中点即局的中点没有运动，就象一个固定点。局被分成相等的两半

15、,每一半的弹簧的刚度为2kz在这种情况下的等效系统如图34(c)所示。这是两个彼此独 立，并且完全一样的单自由度系统，固有频率为k+ 2k响应为.Y1(/) = -.Y0 COS 钮,.Y2(/) = -r1(/) = .Y0 COSGt并有常7即此时系统两个自由度以2为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零它 们之间的相位差为仏3如果初始条件为“ (0)=花() = 0，爼()=屯()=毛即川1和川2的初始位移为零，而初始遠度不为零，均为况。这也是一个对称的 初始条件按与1 相同的分析可以得到兀(“ =x2(t) = (x0 Sjsin(Oyt而且也=1W)此时与1一样，系统两个自由度以厲为

16、频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零。4.如果初始条件为再(0)=花() = ，九()= 一和 (0)=昭即川1和川2的初始位移为零，而初始速度不为零，大小相等，均为為，方向相 反这又是一个反对称的初始条件。按与2.相同的分析可以得到.工(/)二 _(片 / )siii ay x2 (/) = (iD /) sill co7t而且.也=_1此时与2样，系统两个自由度以忿为频率做简谐振动同时达到极值，同时 为零。它们之间的相位差为恥我们讨论的这四种情况得到两个固有频率，两个坐标比值。 对于任意的初始条件y(0) = %E(0)oi(0) = o 応(0)=屯0 可以分解为

17、如下的四种初始条件之和兀1仆丿)=2 (0 )=(.可 0 + 兀20)Ax(0) = x2 (0) = 0一兀1 W)=兀2(.)=(-：10 一 兀20)* 丄=$() = x9(0) = 0龙 1(0)= x2(0 = 0() = x2(0) = (x10 + x20)/2 = C闷 QJ) = x2 (0)=()-A (0) = x2(0) = (x20 -x10) / 2 = D 迢这四种初始条件与上面讨论的四种情况一一对应,因而解也相似:)羽(t)=曰 ex 珂t. x2(t) = -4 cos 呵txl(t) = -Scos2i. x2(t)= Boos兀i（） = Cain 徒

18、 x2 （t） - C shiest王（t） = -7? siii 2匚 x2（t） = Dsiii根据叠加原理，图3-40)所示系统在任意初始条件下的自由振动响应为如亿）=Acos&t 一 Fcos + C sill 一 Dsiii 確 龙2（f） = Acoscft + Bcostz + Csiii rqf + Dsiii 增或者写成瑜）=4 COEf _ 诃）一堆 COE（X血） x2（t）=占 cos（qf _ 列）+ 堆 cos（v -迟） 由上例可以看到，二自由度无阻尼系统在某些特定的初始 条件下的自由振动是简谐振动。此时振动的特点是，系统 的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极

19、值，同时为 零，它们之间的相位差为零或叭 它们的坐标之比是与系 统的物理参数有关而与时间无关的常数。我们称这种振动 为系统的固有振动。固有振动时的频率称为系统的固有频 率，坐标之比称为固有振型，简称振型，振型与固有频率 是一一对应的。二自占度系统存在两种频率的固有振动， 因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性 组合。许多时候可以用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的 相互位置关系，称为振型图上例振型图如图35所示:图351振型图的物理意义：横坐标表示系统各点的静 平衡位置，纵坐标表示各点的振幅比；2第二振 型在弹簧R上有一个始终保持

20、不动的点，称为节 点）不用对称条件而直接从系统的微分方程出发求出系统的固有 频率和振型：图 34Q)图34()所示系统自由振动的运动微分方程为+o区i 2 I因为系统的固有振动是简谐振动，固有振动时两个自由度的坐标之比为与时间无关的常数，囲此可设系统的固有振动时的解为冷(/) = cos cd. x2 “)=貝2 cos ojt这里貝门冷是与时间f无关的常数，并且不可能都是零，它们的大小待求。将上式代人方程式（3乃）可以得到(3.7b)这是一个以上内，比为未知量的线性齐次代数方程组。要想得到且，心不全为零的解，方程系数矩阵行列式的值只能为零。否则，棍据线性代数中的克莱姆法则，貝1,心都只能是零

21、。于是必然有閱+妬-為 7=0-k 七 + k com将这个二阶行列式展开得到一个以/为未知量的二次代数方程A（t）=（七 + 応cm）2 -好= 优+冏一后m -梯）（七+俎一etfm +肴） =（七一+ 2七一 &m） = 0解之得到/的两个根 mm取i2.CO22的正平方根即得到系统的两个固有频率土 + 2爲m这与我们前面利用系统对称性分析得到的系统的两个有频率一致。将仪乃代入方程式(3.7&),得到”1就是与对应的第一阶振型，1的分量之间満足如下方程=0冏均1 +知切 =0这两个方程只有一个是独立的，因此我们只能得到mm 的比值(的意义已丿-对应的系统的固有频率序列，两自由度，j=12

22、;沪系统的坐标序列，两自由度 匸厶2)这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果也是一致的。再将代入方 程(3.70),得到0可以得到与忿对应的第二阶振型他的分量2,U22的比值U12这与我们前面利用系统对称性分析得到的结果同样也是一致的。注意，例3.3得到的振型比值恰好是1和-1,这只是特殊情况，一般情况下,振型比值与系统的物理参数有关。任意的二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法遂统的运动微分方程为M 对十K X； = 0(3.8)为推导方便，设质量矩阵和刚度矩阵都是正定矩阵4園此对任意的非零向量, 均有UyMuQ, 沙闪“0系统的响应应有如下形式4工=g(r),心=姑这

23、里“I,他与时间无关,而且不全为零。这样设的蟹病眾有振动的条件。为方便起见，设色工,则山仏与时间无关。鯉以写成向量形式,对=”g(f)这里 = 1仿卩正是我们要求的振型。代入方程(3.8)有+ K gO)二 0(3.9)两边左乘振型的转置ST,并设urMi,i = % tiYKu = k、叫倉(f) + g(f) = O由于/W丿闪均正定，所以小 爲均大于零。囲而上式是一个单自由度系统无 阻尼自由振动方程，它的解为g =A cosQf (p)这里 J妬/加也就是说，固有振动一定是简谐振动，代入方程(3.9),得(K-M)u = 0(3.10)在线性代数史蘇或(3.10)为广义特征值问题，它是关

24、于振型依/的线业笏瑟低.舫程组。振型仇;有韭获的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零，即有A) = |K-M| = |褊品吗=0(3.11)式(3.11)称为式(3.8)和式(3.10)的特征方程或频率方程。将它展开可得到一个 关于的二次代数方程。由此可解出的两个根0”、昭由于鋼和网均是正定矩阵，因而6 /均是正的。取正平方根他、并取/冬他，依次代入广义特征值问屢(340),可以求出它们各自对应的振型仙 = 小 呦八2 = 12 抚 22)T。(闪-研跑)他 = 0(3.12)由式(3.12)可以看出解、他乘上任.二t韭養敗常数仍然满足式(3.12)。所以如果我们把响应玄看为向量空间中随时间变化

25、的向量，则振型只给出了空间中的不随时间改变的一个方向，振型的大小需要人为给定。由式(311)和(3.12)可以看出,固有频率和它所对应的振型完全由质量矩阵和 刚度矩阵决定，与外部蹶励无关，是系统固有的性质。我们取均为振型矩阵“的第一列，他为第二列，即凹二盹佃=叫 也(3.13)“21 如得到了M、仙/和忿、仏后,可以得到方程(3.8)的解比)= 1)4 COS(卯-诃)+他必2艸他f-伦)二町I 国y- )|如果初始条件为a*(0) = xq 9x( 0) = xQ&0) = / = “： W I则有(3.15)14 皿 % I 加0)2吓S1/4廻 C0$ 申2B-124 cos(3.16)

26、v0 = .r0),.Y0即，斯以切和验为它的第一列向量和第二列向量。利用E和物, 式(3.15)可以合起来写成矩阵形式因此月=%(3.17)求得鬲后由下式计算各个自由度的振幅貝1,局和初始相位处(3.1S)将4、山2、g 他代入式(3.14),即可得到任意二自由度系统无阻尼自由振动的 解。例34耦合摆两个完全一样的单摆以弹簧是相联。单摆长厶 质量为川，如图3-6所示。m 匕 m图36取单摆与垂线的夹角3为描述系统运动的广义坐标。系统的动能和势能 分别为E厂詁現年+硯)U = - L&2)2 + mgU( + )2 2系统的质量矩阵和刚度矩阵为叶ml?0+ mgL-kf-kl kF 十 mgL

27、_此例可以利用系统的对称性求出系统的固有频率和振型。现在用线性代数的方法求解特征方程为113 + mgL 7/Z?-ZfZ2-H2 klf + mgL -展开得到(kl + mgL - cml - kl32 = 0解得将er代人广义特得.klf + mgL-kf-防严】竝2 + mgL-幻=0Un=U2i = l同样，将2代人广义特征值回題(312)得kl? + mgL-fcl?-H2kl? + mgL-这样,2/12=-b振型矩阵和它的逆矩阵为1 -11 l-，叮=-1 12-1 12/22=1心0mm0并有-/=0kl? + mgL _ hi? -kf kJ + mgL 1上式表明了振型的

28、一个重要性质，这个性质称为不同固有频率对应的振型以质量 矩阵和刚度矩阵为权正交。考虑如下的初始条件Oq（o）=务 &2（o）= o，q（o）= o,A0即初始时只有一个杆有初始位移，此时*0由式（317）可得到21-11 &01 0由式（3.18）得4=0訂2何=0 且2二0/2他二不由式(3.14)得解为体(扌)=()Q(COSCrt 十 COS马th ECO 二 妬(COSqf _ COSft)这时系统的动能和势能为ET ml（皆 + 毎）2=丄ml 丄盅（一 sin 卯- sin f尸 + （-逊 sin cqf + sin 矽j?24=-ml） 丄用（2卧 sii?卯 + 2肚 sin2 呼）24=i 帘 sinJ a# + i ml 弼年 sin2 锣川旦(&十毎)= kEg cos2 r + i nigL