一阶系统的微分方程资料

1、2-12试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。水力系统；电系统；机械系统；传热系统；气动阻容组件；溶液制备系统。解 图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A，输出阀的线性阻力系数为R，则根据物料平衡有：dV式中V表示水槽内水的蓄存量，.。另外，经过线性化后1与h成线性关系,即h应，将v与Qg代入原始方程并整理后有：RA也吊二Rgdt1T+h令T=RA,K=R，则有：其相应的传递函数为:G(s) = H(s) K75 + 1图2-9水槽图2-10是一5图2-10 RC电路 图2-11弹簧阻尼器系统 电路，根据基本电路定律有：Rl+&Q-dt两式联立，可得:令T=RC，则

2、上式可写为:G(s)二 -二其相应的传递函数为： ，其下端就会有一位移。图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。在弹簧的上端有一位多 由于弹簧所受的力与变形成正比，故有： F=k(x-y) 式中F为力， 为弹簧的刚度。对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有:式中 为阻尼器的粘性摩擦系数。由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有:其相应的传递函数为T =如果令 ：，则:7f + 1图2-12所示为一水银温度计。为了建立 温度计的测量值：与被测温度之间的数学模 型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。水银具有的热量Q为:Q=McT式中M水银的重量；c水

3、银的比热容。单位时间由周围环境(温度为)传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率， 因此可写成下列式子：dtdi式中a水银温度计的等效导热系数;F 水银温度计的外表面积。上述方程式可改写为：如令，则有:其相应有传递函数 G(s)为:图2-12水银温度计图2-13所示为一气动阻容组件，由一个气阻R与一个气容C组成。当输入压力二 增加时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内的压力也逐渐增加，直至一八 为止。当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻的气流量将与气阻两端的压差成正比,即：式中R气阻值；图2-13气动阻容组件G通过气阻的气体质量流由于气体进入气室， 将使气室中的气体密度增加, 体

4、量应该等于气室中气体蓄存量的变化率，即：根据物料平衡，单位时间进入气容的气dt(2-2)式中V 气室体积；P气室内气体密度。因为气体压力不高，气室中的气体可近似看做理想气体，故符合理想气体状态方程，即:(2-3)式中n气室中气体分子的摩尔数;通过气体常数;气室中气体的绝对温度; 气室中气体的绝对压力。气室中气体密度等于单位体积中的气体质量，即:式中M 气室中气体的平均分子量。 将式（2-3）代入上式并求导得：dp _ M dp0 dt RT dt(2-4)将式（2-4）和式（2-1）同时代入式（2-2），可得:VMR dpadt+P =PiVMRw，则有:(2-5)式中T 时间常数。图2-14

5、所示为一溶液制备槽。x为单位时间加入的溶质量，q为单位时间加入的溶剂量。槽中溶液由溢流管引出，因此槽中的溶液体积为一常数-。考虑到加入的溶擀很少，故流出量等于溶剂的加入量由于搅拌均匀，故流出液的浓度等于槽中溶液浓度c，而流入液的浓度假设为 0。根据物料平衡，单位时间进入槽中的溶质量减去单位时间流出槽的溶 质量应该等于槽中溶质蓄存量的变化率，因此有：V de1一C - Zq 皿q（ 2-6）如果流入流出量 q为一常数，且令:*7qT+e = Kx则有：式中T 时间常数；K 放大系数。图2-14溶液制备槽以上通过机理推导的方法分别建立了六个系统（或对象）的数学模型。尽管这些系统的物理过程很不相同，

6、但导得 的数学模型却是惊人的相似。如果以 x表示输入的变化量，y表 示输出的变化量，则描述 x,y之间的关系的都是一阶微分方程式，即：其传递函数亦具有相同的形式，即:这是一个典型的一阶惯性环节。由于各种物理过程的相似性，所以给系统的模拟与仿真提供了方便与可能。同时，通过建立数学模型，也有得于进行系统的研究和分析。2-13图2-16是一个有源四端网络，试建立网络的下列形式的数学模型。微分方程式；传递函数；图2-16有源四端网络解：要建立该网络的微分方程数学模型，一般应按下列步骤进行。 根据题意，确定模型输入、输出变量。本例可选、为输入变量，电阻R上的压降-作为输出变量，目的是要建立起能够描述变化

7、时，是如何变化的数学模型。 根据基本的物理、化学规律列写原始方程式。本列中可根据电路基本规律列写下列方程:(2-12)爲亍+隔二眄虫（2-13）（2-14） 消去中间变量，使方程式中只含输入变量与输出变量。本例中就要设法消去中间变量，使方程式中只含 与，消中间变量的步骤可以这样进行， 先由式（2-12）、式（2-13）消去得:(2-16)由式（2-13）求导，可得:+虽dt乎dt将式（2-14）代入上式可得_1 = +AC3十求导可得- （2-17）将式（2-17）代入（2-16）,可得将式（2-15 ）代入上式并整理可得：ds占召也G牛斗厶眄等+（厶+G警+R”见（2-18）式（2-18 ）就是描述与关系的微分方程式。为了求得输入输出之间的传递函数，可以将式（2-18）在零初始条件下两取拉氏变换,可得：厶皿&+LC/E0（5） + （4+L沁何+隔=R%佃）式中 二分别为 严1的位氏变换。于是可得传递函数为:色二冬(2-19)Eg - 牡厲 +厶欣班：+（厶+厶）占+丘为了避免推导微分方程式中消去中间变量的繁琐过程，可以通过画方块图的方法直接求出输入输出之间的传递函数，为此，将四个原始方程式（2-12）、式（2-13 ）、式（2-14）、式（2-15）分别在零初始条件下取拉