最短路径问题与平面直角坐标系

1、最短路径问题与平面直角坐标系教学目标：（ 一） 知识与技能1、能利用轴对称变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边” ）的问题。2、能在平面直角坐标系中作出图形，并通过逻辑推理证明所求平面直角坐标系中点的 坐标。（ 二） 过程与方法 通过平面直角坐标系与最短路径问题结合，培养归纳能力、表达能力、逻辑推理能力， 并通过对知识、方法的总结，培养反思习惯。（ 三 ） 情感与态度 通过交流与探究，解决问题，获得成功的体验，培养协作精神，进一步激发探究的积 极性和学习数学的兴趣及应用数学解决实际问题的能力。教学重点 ： 最短路径问题与平面直角坐标系综合教学难点 ：

2、正确作出图形，并会根据图形特点求出点的坐标教学方法 ： 以最短路径和平面直角坐标系为基础，引导学生合作、交流、自主探究。 教学准备 ： 几何画板教 学 过 程：一、 复习1、点 A（m,n） 关于 x 轴对称点 B为（ ， ），点 A关于 y 轴对称点 C为（ ， ） 2、点 A（ 2，5）与 B点关于直线 x =3 成轴对称，则点 B的坐标为（ ， ）3、已知 : 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧， 在直线 l 上求一点 C，使 CA+CB的和最小。BA二、 习题讲练例 1：已知，在平面直角坐标系中，点A（1， 3），点 B（5，1），在 x 轴上找一点C , 使 AC + BC 最小，

3、求 C 点的坐标。分析：此题先要求学生在平面直角坐标系中作出两点A，B，然后作出 A 点关于 x轴对称点 D，连接 DB与 x 轴交点即为所求点 C 。接下来思考怎么求点 C 的坐标，用面 积法去求。教师示范过程。变式训练一： 若改为在 y 轴上求点 C，使 AC + BC 最小，求 C 点的坐标。 说明：这样可以巩固刚才所讲的知识，一是考察学生对最短路径，二是考察学生运算能 力。变式训练二：若改为在直线 y = - 2 上求一点 C ，使 AC + BC 最小，求 C 点的坐标。例 2：如图，在平面直角坐标系中， AOB= 300 ,P（5，0）， 在 OB找一点 M，在 OA上找一点 N，

4、使 PMN周长最小，并 求出 PMN周长的值。分析：分别作出 P 点关于 OB与 OA的对称点，连接对称点 相交 OB与 OA分别于 M、N，再想办法证明周长等于 OP的长。例 3： 在平面直角坐标系中，点 A （2 ，3） ，点 B（4，6），在 x轴上找一点 P，使| AP BP|最大并求出 P 点拓展： 1、若 x 轴改为 y 轴呢 2、在平面直角坐标系中，点 A （4 ，2），点 B（10，4），在 x轴上找一点 P，使| AP BP| 最小并求出 P点例 4：在平面直角坐标系，点 A （1 ，5） ，点 B（6，-1 ），点 M（a， 3） ，点 N（a，1）当 a 为多少时， AM + MN +NB 最小分析：此题是课本中在河上修桥的问题经过和平面直角坐标系综合题，其中点M和N实际上相当于河流上的桥，此题的难度较高，可以让学生先作图，再求a 的值小结： 注意最短路径问题与平面直角坐标系结合，先要作出正确的图形，然后运用面积 或者全等的方法求出点的坐标，作业1、已知，在平面直角坐标系中， A（-4，3）、B（3,1）, 在直线 y = 4 上找一点 P，使 AP + BP最小，求出此时 P 点的坐标。2、在平面直