与轴对称相关地线段之和最短问题

1、与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰QQ 1519819521.问题的引入:在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42,有这样一个问题如圈人管遭上倍见一金果站*分期商A* B 两蜒供購站的什么处方.你可减在f上找几*点试一试総更现If么规律？(3)B II-X S在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直 线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对 这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌

2、握了下面列举的 题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。.数学模型:1.如图，直线I和I的异侧两点 A B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。2.如图，直线I和I的同侧两点 A B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。3.如图，点P是/ MON内的一点，分别在 OM ON上作点A,为方便归类，将以上三种情况统称为两边之和大于第三边型”Bo4.如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在OM ON上作点A,B。使四边形PAQB勺周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是/ MON7卜的一

3、点，在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最 小6.如图，点A是/ MON内的一点，在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和 最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三. 两边之和大于第三边型(一) 直线类1如图，A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为 AC= 10千米，BD= 30千米,且CD= 30千米，现在要在河边建一自来水厂， 向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3万，请你在河流CD上选择水厂的位置 M使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?作点B关于直线 CD的对称点 B，连接AB，交CD 于点M则AM+BM = AM+

4、BM = AB，水厂建在 M点时，费用 最小如右图，在直角厶 ABE中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB = 30所以：AB = 50总费用为：50X 3 = 150万*EB2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B、D作AB丄BD ECLBD,连接AC EG 已知 AB=5 DE=1 BD=8 设 CD=x.(1) 用含x的代数式表示AC+ CE的长；(2) 请问点C满足什么条件时，AC+ CE的值最小？(3) 根据 中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +.(12-xf2+9的最小值(1)AC = (8-x) 2 + 25 ,CE二x2 + 1则 AC+CE = (

5、8-x) 2 + 25 +x2 + 1A、C、E三点共线时AC+C撮小连接AE,交BD于点C,则AE就是AC+CE勺最小值 最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 AEF 中,AF = 5 EF = 12根据勾股定理AE = 13A3.求代数式.X + 1 +(4-x)+ 4(0 x 4)的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值 在直角 AEF中AF = 3 EF = 4贝U AE = 5所以，这个代数式的最小值是5（二）角类4.两条公路OA 0B相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可

6、使运油车从油库出发，经 过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短分析 这是一个实际问题， 我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，0A与0B相交，点P在/ AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线0A和 0B的对称点 Pi、P2 ,连结P1P2分别交OA 0B于C、D, C D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的 三边关系进行说明解：分别做点P关于直线0A和0B的对称点P1、比，连结P1P2分别交0A 0B于C、D,则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三

7、边关系， 可知在C D两点建加油 站运油车所走的路程最短点评：在这里没有详细说明为什么在 C、D两点建 加油站运油车所走的路程最短， 请同学们思考弄明白。5.如图/ A0B = 45 , P 是/ A0B内一点，P0 = 10 ,P分别是OA 0B上的动点，求 PQF周长的最小值. 分别作点P关于OA 0B的对称点Pi、P2,连接P1P2,交 OA 0B于点 Q, R 连接 OP，0P,贝U OP = OPi = OP 2 = 10且/ PiOR = 90 由勾股定理得P1P2 = 102（三）三角形类6.如图，等腰Rt ABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点,的最小值为即在AC上作一点

8、P,使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B，连接BE,交AC于点 P,贝U BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值在直角 BEF 中，EF = 1 , BF = 3根据勾股定理，BE =10P是AC边上的一动点，贝U PB+PE7.如图，在 ABC中，AC= BC= 2,Z ACB= 90 , D是BC边的中点，E是AB边上一动点,则EC+ ED的最小值为。即是在直线AB上作一点E,使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C，连接DC交AB于点E,则 线段DC的长就是EC+ED勺最小值。在直角 DBC中DB=1, BC=2根据勾股定理可得，DC=5 & 等腰 A

9、BC中，/ A = 20 , AB = AC = 20 , M N分别 是AB AC上的点，求BN+MN+M的最小值分别作点C、B关于AB AC的对称点C B,连接C B交 AB AC于点 M N,贝U BN+MN+MCB N+MN+MC = B C,BN+MN+M的最小值就是 B C的值/ BAC = / BAC / CAB = / CAB/ B AC = 60 / AC = AC , AB = AB , AC = AB AC = AB AB C是等边三角形 B C = 20 9.如图，在等边厶 ABC中，AB = 6, AD丄BC E是AC上的一点， M是AD上的一点，且 AE =2,求E

10、M+EC的最小值因为点C关于直线AD的对称点是点B,所以连接BE,交AD于点M贝卩ME+M最小, 过点B作BHL AC于点H,则 EH = AH - AE = 3- 2 = 1, BH = BC - CH 2 =62 - 3 2 = 33在直角 BHE中, BE = BH + HE2 =(33)2 + 1 2 = 27（四）正方形类10.如图，正方形 ABCD勺边长为8, M在DC上，且DM= 2, N是AC上的一动点，DW MN的最小值为。即在直线AC上求一点N,使DN+Mf最小 故作点D关于AC的对称点B,连接BM 交 AC于点 N。贝U DNMN= BN+MN=BM 线段EM的长就是 D

11、NM N的最小值 在直角 ABCM 中，CM=6,BC=8, 则BM=10故DN+MN的最小值是1011.如图所示，正方形 ABCD勺面积为12, ABE是等边三角形，点对角线AC上有一点P,使PD PE的和最小，则这个最小值为（A. 2 3B. 2 6C. 3D. 6即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点 B,连接BE交AC于点P,则BE = PB+PE = PD+PE, BE的长就是 PD+PE勺最小值BE = AB = 23)12.在边长为2 cm的正方形 ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线 AC上一动点，连接 PB PQ则厶PBQ周长的最小值为c

12、m （结果不取近似值）即在AC上求一点P,使PB+PQ勺值最小E在正方形ABCD内，在BQC因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接 DQ与AC的交点P就 是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角 CDC中，CQ = 1 , CD = 2根据勾股定理，得，DQ =513.如图，四边形 ABCD是正方形，AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值；连接AE,交BD于点P,贝U AE就是PE+PC的最小值 在直角 ABE中，求得 AE的长为5 5（五）矩形类14.如图，若四边形 ABCD是矩形，AB = 10cm

13、 , BC = 20cm , E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求 PC+PD勺最小值；作点C关于BD的对称点 C，过点C，作CB丄BC,交BD 于点P,贝U CE就是PE+PC的最小值直角 BCD中, CH =205错误！未找到引用源。直角 BCH 中，BH = 85 BCC的面积为：BHX CH = 160所以 CE X BC = 2 X 160 则 CE = 16（六）菱形类15.如图，若四边形 ABCD是菱形，AB=10cm,Z ABC=45 , E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点 A,过点A作AE丄BC,交BD于

14、点P,则AE就是PE+PC的最小值在等腰 EAB中,求得AE的长为5 2（七）直角梯形类16.已知直角梯形 ABCDK AD/ BC, AB丄BC AD=2, BODO5, 点P在BC上移动，则当 PA+PD取最小值时， APD中边AP上 的高为（）A 217 B 417C 817 D 317 、1717文案大全A作点A关于BC的对称点 A，连接AD，交BC于点P 贝U AD = PA+PD = PA+PDAD的长就是 PA+PD的最小值S APD= 4在直角 ABP中，AB = 4，BP = 1根据勾股定理，得AP = 17所以AP上的高为：48 172X= 11717（八）圆类17.已知O

15、 O的直径CD为4,/ AOD的度数为60,点B是AD的中点，在直径 CD上找一点CDP,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值. 即是在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小 作点A关于CD的对称点 A，连接AB，交CD于点P, 则AB的长就是PA+PB的最小值连接 OA, OB 则/ AOB=90,OA = OB = 4根据勾股定理，AB = 4218.如图，MN是半径为1的OO的直径，点A在O O上,/ AMN= 30, B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA+ PB的最小值为（A 22 B 2C 1 D 2即在 MN上求一点 P,使PA+PB的值最小作点A关于MN

16、的对称点A，连接AB，交MN于点P, 则点P就是所要作的点AB的长就是 PA+PB的最小值连接OA、OB则厶OAB是等腰直角三角形所以AB =2A 点C (1, n),说明点C在直线x=1上，所以作点 A关于直线x=1的对称点A，连接AB, 交直线x=1于点C,则AC+BC勺值最小 设直线AB的解析式为y=kx+b，贝U-2=-k+b2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当 x = 1 时，y = -(2/5)故当n = -(2/5) 时，AC+BC的值最小20. 次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点 A ( 2, 0), B

17、 (0, 4).(1) 求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设OA AB的中点分别为 C D, P为OB上一动点，求PO PD的最小值,并求取得最小值时 P点坐标.*y(1)由题意得:0 = 2x+b 4 = b解得 k = -2, b= 4，所以 y = -2x+4作点C关于y轴的对称点C，连接CD,交y轴于点P则 CD = CP+PD = PC+PDCD就是PC+PD勺最小值连接 CD,贝U CD = 2 , CC = 2在直角 CCD中，根据勾股定理CD = 22求直线CD的解析式，由 C(-1 , 0) , D(1 , 2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1,

18、b = 1，所以 y = x+1当 x = 0 时，y =1，贝U P(0 , 1)1 k21.如图，一次函数 y = tx与反比例函数y = -交于点A, AML x轴于点M, Soam= 12 x(1) 求k的值，k点B为双曲线y =-上不与A重合的一点，且 B(1 , n)，在x轴上求一点P,使PA+PB X最小(1)由 Sa oam= 1 知，k = 2V |作点A关于x轴的对称点A，连接A B,交x轴于点P,连接PA贝U PA+PB最小。b迟用待定系数法求直线 A B的解析式为y = - 3x + 5,V .因为点P在x轴上，所以设y = 0 ，即0 = - 3x + 5,5解得x

19、= 335所以P( 3，0)22.如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线.(1)由图观察易知 A( 0，2)关于直线I的对称点A的坐标为(2, 0),请在图中分别标 明B ( 5, 3)、C (-2, 5)关于直线I的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C，;(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a, b)关于第一、三象限的角平分线I的对称点P的坐标为 (不必证明)；运用与拓广：(3) 已知两点 D( 1,- 3)、E (- 1,- 4),试在直线I上确定一点 Q使点Q到D E两点 的距离之和最小，并求出Q点坐标.点 B(5, 3)、C

20、(-2 , 5)关于直线 I 的对称点 B(3 , 5)、C(5 , -2)(2)坐标平面内任一点P(a , b)关于直线I的对称点P的坐标为(b , a)(3)作点E关于直线1的对称点E，连接DE，交直线I于点Q则QE+Q啲值最小设直线DE的解析式为:y = kx+b，因为 D(1 , -3)、E(-4,-1)，则-3 = k+b-1 = -4k+b”口213解得：k = - , b =-55-一213所以y = -x-5513当x = y 时，有 x = y =-7t1313则Q点的坐标为(-7,-7 )(十)二次函数类23.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为(-2 , 0),连结0A,

21、将线段0A绕原点0顺时针 旋转120。,得到线段 0B.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A O B三点的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点。，使厶BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由(注意：本题中的结果均保留根号)(1)B(1 ,y =33x2 + 233x33(3)因为点0关于对称轴的对称点是点 A,则连接AB, 交对称轴于点。，则厶BOC的周长最小，当 x=-1 时，y =2 +所以 c(-i，33 )24.如图，抛物线y=ax+bx+c的顶点P的坐标为(1 , 629.如图，在矩形 OAB(中，已知A、C两点的坐标分别为 A(4 ,

22、 0)、C(0, 2) , D为OA的中 点.设点P是/ AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1 )试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；(2) 当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过(3) 设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点 出此时点P的坐标和厶PDE的周长；(4) 设点N是矩形OABC勺对称中心，是否存在点 出点P的坐标.(1) OCPA ODPO P、D三点的抛物线的解析式；P运动到何处时， PDE的周长最小？求P,使/ CPN = 90 ?若存在，请直接写过点B作/ AOC勺平分线的垂线于点 P,点P即为所求过点 P作PML BC于点M,则PM =1BF =

23、12所以点P的纵坐标为3,又因为点P在/ AOC的平分线上, 则 P(3, 3)因为抛物线过原点，故设 又抛物线经过点 P(3, 3),4a+2b=3 解得 a = 14a+2b=02y = ax + bxD(2, 0),b = -22=x - 2x 点D关于/ AOG的平分线的对称点是点C, 连接CE交OF于点卩，则厶PDE的周长最小E(1 ,则抛物线的解析式为y抛物线的解析式为y = x 2 - 2x-1) , C(0, 2)设直线CE的解析式为y = kx+b ,；1二k+b 解得 k = -3, b = 22=b直线CE的解析式为y = -3x+2p=-3x+2 解得 x =x=y点P

24、的坐标满足的顶点12，y=1 1所以PQ , 2 ) PDE的周长即是 CE + DE =10 +存在这样的点P,使/ CPN = 90,1 1(2 , 2 )或(2 , 2)坐标是(1)由题意得b=12a9a-3b+c = 0c = -2解得 a =2 , b = I , c = - 233抛物线的解析式为y =；x2 + ；x - 2(2)点B关于对称轴的对称点是点 巳则厶PBC的周长最小A,连接AC交对称轴于点设直线AC的解析式为y = kx +b，因为 A(-3 , 0) , C(0,-2），则0 = -3k + b -2 = b解得 k = -2，b = -2所以直线AC的解析式为把

25、 x = -1代入得y =-443，所以 P(-1 , - 3)(3)S存在最大值OE OD DE/ pC a oaOE 2-m即矿TOE = 3 -3m , AE = OA - OE = 3m2 2S = S四边形PDOE S ”OED =S pOE+ S POD 1341=2x (3 -2m)x+3x2(2 - m) x 13 2332 3,m +4?m =-4(m-1)+4所以，当m=1时,S最大=34方法二S = S OAC -S AEP-S OEDS PCD方法一，连接0PS OED(3 -；m)x (2 - m)3 23_m + _m =-4 23(m-1) 2 +（十一）建桥选址

26、类a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸31.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸垂直的桥CD问桥址应如何选择，才能使 A村到B村的路程最近?作法：设a、b的距离为r。 把点B竖直向上平移r个单位得到点B; 连接AB，交a于C;过C作CDb于D;连接AC BD证明： BB / CD且 BB = CD四边形BBCD是平行四边形，a CB = BD AC+ CD+ DB= AC+ CB + BB = AB + BB在a上任取一点 C，作CD，连接AC、DB, CB 同理可得 AC + CD + DB= AC + CB + BB 而 AC + CBA B - AC+ CD DB最短。本题是研究A

27、C+ CD DB最短时的C、D的取法，而CD是定值，所以冋题集中在研究AC+DB最小上。但 AC DB不能衔接，可将 BD平移BQ处，贝U AC+ DB可转化为AC+ CB，要使 AC+ CB最短，显然，A、C、B三点要在同一条直线上。32. 如图，A B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问 PQ移动到什么位置时，AP+PQ+Q的长最短？BtAaPQ作法：（假设PQ就是在直线L上移动的定长线段）1）过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB,使它等于定长PQ;2）作出点A关于直线L的对称点A，连接AB，交直线L于P;3）在直线L上截取线段PQ=PQ.则此时AP+PQ+

28、B最小.略证：由作法可知 PQ=PQ=BB，四边形PQBB与PQBB均为平行四边形.下面只要说明AP+BQAP+BQ即可.点A与A关于直线 L对称，则 AP=AP,AP=AP.故:AP+BQ=AP+BP=AB：AP+BQ=AP+BP.显然,ABAP+BP;（三角形三边关系）即 AP+BQ AD, B C BC,所以A D +B C AD + BC，则在不存在一个向右的位置，使四边形A BCD的周长最短当抛物线向左移动时，设A (-4-a ,8) , B (2-a , 2)，因为CD=2,则将点B向左平移2个单位得到点B (-a , 2).点A关于x轴的对称点是 A (-4-a , -8),55

29、直线A B的解析式为：y = x +2 m + 2要使A D + B D最短，点D应在直线A B上将点D(-4 , 0)的坐标代入到直线 A B的解析式，得 m =普故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形A B CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为161J)A提示: 方法一，A关于x轴对称点A,要使 A C+CB最短，点C应在直线A B上；方法二，由(1 )知，此时事实上，点 Q移到点C位置，求CQ=1# 5,即抛物线左移14 / 5单位；设抛物线左移 b个单位，则 A (-4-b , 8)、B，(2-b , 2)。/ CD=2二B，左移2个单位 得到B(-b , 2)位置，要使

30、A D+C B/最短，只要 A D+DB最短。则只有点 D在直线 A B上。(十二)立体图形35.桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯 口 3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁， 当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 析：展开图如图所示，作 A点关于杯口的对称点 A则BA =9 + 12 2 =15厘米AA36. 只蚂蚁欲从圆柱形桶外的AC为12cm，点B到桶口的距离少？A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离BD为8cm, CD的长为15cm,那么蚂蚁爬行的

31、最短路程是多BId-6E展开图如右图所示，作点 B关于CD的对称点B连接AB,交CD于点P,则蚂蚁爬行路线A Pt B 为最短，且 AP+PB = AB+PB ,在直角 AEB 中，AE = CD = 12 , EB = ED + DB = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB = 25 所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm四. 两点之间线段最短型37.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山 （B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB=50km , A、 B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝

32、高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案， 图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直， 垂足为P ）, P到A、B的距离之和S PA PB，图（2）是方案二的示意图（点 A关 于直线X的对称点是A ,连接BA交直线X于点P ） , P到A、 B的距离之和 PA PB.（1 ）求S、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S PA PB的值为最小；（3 ）拟建的恩施到张家界高速公路 Y与沪渝高速公路垂直， 建立如图（3）所示的直角坐标 系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q，使P、A、 B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值.提示

33、：涉及勾股定理、点对称、设计方案。第（3）问是“三折线”转“直”问题。再思考 设计路线要根据需要设计，是 P处分别往A B两处送呢，还是可以先 送到A接着送到B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需 考虑一个方案路线， P At Bo(1)在图中过点 A 作 Ad BQ于点 C,贝y BC = BQ-CQ = 40-10= 30 , AB= 40 ,在Rt ABC中，根据勾股定理，得AC = 40 ,所以PQ = 40在Rt BPQ中，根据勾股定理，得PB = 40 2所以 S= PA+PB = 10+402在图中S = AB = PA+PB = AC2 + BC2

34、=502 + 40 2 = 1041如图(2)在厶 EAB 中，有 EB+EAAB因为 S= EB+EA, S= AB所以S S2B如图（3）分别作点A B关于x轴、y轴的对称点A , B，连接AB，交x轴、y轴_于点P、Q则四边形PABQ的周长最小构造如图在 Rt ABC 中，BC = 30+30+40 = 100,AC = 10 +40 =50所以 AB =1002 + 50 2 =50 538.如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将 BM绕点B逆时针旋转60得到BN连接EN AM CM求证： AMBA ENB 当M点在何处时，AM

35、+ CM的值最小；当M点在何处时，AM+ BW CM的值最小，并说明理由； 当AM+ BW CM的最小值为3 + 1 时，求正方形的边长.N 连接AC交BD于点M则AM+CM勺值最小 连接CE交BD于点M贝U AM+BM+CM值最小/ AM=EN BM=NM AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC短过点E作CB的延长线的垂线，垂足为 F设正方形ABCD勺边长为2xBF= 3x则在直角厶BEF中，/ EBF=30，所以，EF=x,根据勾股定理: 在直角 CEF中，根据勾股定理：CE2 = EF 2 + FC 23x +2x) 2得方程：（3

36、 + 1） 2 = x 2 + （ 解得：x =乎所以：2x =2分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合的思想，综合考查学生几何、代数知识 的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知一一论证一一应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间的相等 关系，这里隐藏着由旋转角 60得出的等边三角形， 从而得出BM=MN第二小问设计的是一 个探究过程，让学生综合学习过的基本数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力， 建模能力等；第三小问的设计主要是将所探究的结论进行 运用，拓展，体现了数形结合的思想理念

37、。整个过程体现了特殊问题中的一般规律，是数学 知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。五. 垂线段最短型39.如图，在锐角厶 ABC中，AB = 4 ,2，/ BAC= 45,/ BAC的平分线交 BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值是作点B关于AD的对称点B,过点B作BE丄AB于点E,交AD 于点F,则线段BE的长就是B腑MN的最小值在等腰Rt AEB中，根据勾股定理得到，BE = 440.如图， ABC中，AB=2,Z BAC=30，若在 AC AB上各BB取一点M N,使BM+M的值最小，则这个最小值 作AB关于AC的对称线段 AB

38、,过点B作BN丄AB,垂足为N,交AC于点M,则BN = MB+MN =MB+MNBN的长就是MB+M的最小值则/ BAN = 2 / BAC= 60, AB = AB = 2，/ ANB= 90。，/ B = 30 。所以 AN = 1在直角 ABN中，根据勾股定理BN =341 .某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为 30的两条公路的 AB段和CD段 （村子和公路的宽均不计）， 点M表示这所中学。点 B在点M的北偏西30。的3km处，点A在点M

39、的正西方向，点 D在 点M的南偏西60 的2 3 km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到 A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村 （线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？M方案三图点M到甲村的最小距离是 MB MB=3点M到乙村的最小距离是 MD MD

40、=23 , 所以，最小值是3+2 3作点M关于0E的对称点 M，连接 AM,交CD于点P,贝U PA+PM = PA+PM = AM,AM的长就是点P到A点和M点的距离之和的最小值.在Rt AMM中，用勾股定理求得 AM = 43作点M关于OF的对称点 M，过点M作MH丄0E于点H,交OF于点P、交AM于点G/ GM = 3 , HE = 3 ,T DE = 3 , a H与 D重合在 Rt HMM中，MH = 2DH = 43242.已知抛物线 y = ax + bx + c 经过 A (- 4 , 3)、B (2, 0)两点，当 x = 3 和 x = - 3 时，这条抛物线上对应点的纵坐

41、标相等，经过点C (0, -2 )的直线I与X轴平行，O为坐标原点。(1) 求直线AB和这条抛物线的解析式：(2) 以A为圆心、AO为半径的圆记为圆 A,判断直线l与圆A的位置关系，并说明理由(3) 设直线AB上的点D的横坐标为-1 , P (m n)是抛物线y = ax 1 2(1) AB : y = -+ 1 ，抛物线：y = 4X - 1AO= 5，点A到直线I的距离这3+2 = 5，所以，直线I与圆A相切 D(-1, I ),过点P作PHLI，垂足为H,延长HP交x轴于点G设P(m, n),则 = 4m - 1 2 222 22 2 1 2OP2 = OG + GP = m + ( 4

42、m - 1)=( 4m + 1), OP = 4m + 1 + bx +c 上的动点， 当厶PDO的周长最小时，求四边形 CODP勺面积。PH = y p - yH = -vm - 1- (-2) =-vm + 14 4OP = PH要使 PDO勺周长最小，因为 OD是定值，所以只要 OP+PD最小，/ OP = PH,.只要 PH+PD最小D P、H三点共根据“直线外一点到这条直线上训点的连线中，垂线段最短”，可知，当点 线时，PH+PD最小因此，当点 D P、H三点共线时， PDO的周长最小43.如图：在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在X轴上，D在Y轴上，AB/ CD AB=5, CD=3 AD=BC=J17，抛物线 y = - x 2 + bx + c 过 A B两点。(1) 直接写出点 A B C D的坐标及抛物线的解析式。(2) 设M是第一象限内抛物线上的一个动点，它到x轴与y轴的距离之和为d ,求d 的 最大值。(3) 当(2)中的M点运动