微积分II课程习题五答案详解

1、5.1选择题1(1)答案 D，令 y=O,z=O 得 a=1,令 x=O,z=O 得 b=2,令 x=O,y=O 得 c=2答案C,由y=0,则点(4,0,3)在xOz平面上.(3) 答案B,关于原点对称则相应的坐标值变为相反数，所以点(-3,2,1)关于原点的对称点是(3,一2,一1).(4) 答案 C,把 x=0,y= e带入函数中，得f (0,e) = ln(0 e) = 1.答案 D，只有当 lim f (x, y) = f(X, y)时 f (x, y)在点(x, y)处连续.jxy必2、xy答案A，求对函数求关于x偏导，fx(x, y) =1(y-1),所以-1+ffx(x,1)

2、=1.或者，求解f(x,1)=x，因而有fx(x,1)=1，类似的题型可以考虑这一方法，解题简便不少.z答案D，求偏导有 =(1 xy)exy.dx(8)2=(x y) -xy，令 xy = u， x y = v得(9)f ( x, y,x所以 fx(x, y) - -1，fy(x,y) =2y答案A，由链式求导法则 空=虫也+ dx du dx dv dxdz dv-lnvsinx ecosx-xsinxv1x(10)答案 D，有微分公式直接求得有dz=dx- dy，则在点(1,1)处,x + y y + xy1 dz= (dx - dy).(11)答案 C,分别令 fx(x, y)与 fy

3、(x,y)为零，有 fx(x, y) =4x-2y-2 = 0,fy(x, y) - -2x 2y =0解得 X =1,y =1，有唯一驻点(12) 答案 C，令 fx(x, y) = y -三=0， fy(x, y) = x -与=0 ,将 x =5,y = 2 代入xy得 a =20,b =50.f(0 十 Ax,0)=呗0当 X2 y2 = 0 时，有 fx(x, y)2xy3(x y )2xy3所以 fx(x,y)=(x2 +y2)x2y2 = 0,同理可求得fy(x, y)2 . 2x (x2 2 2，(x2y2)20,-y2)0,x2y2x2x2y2 = 0=0,5.4(1)1tz

4、2 , _2y-15.5;z:xy-2y(x y2)2.2，x亠y-2z-2 y2 2 2.x2 (x y2)2_2(xy2)(x y2)2:z yx.x：2 zz =xy(1 yln x), x：yg2 zxrnx,厂 y(y1)xy， .y:x-2:zy22 =x (lnx)CYyln2 2证明由于尹铲乞 1 M2 y2 0,( x,y) (0,0)4所以,0)f(x,y)Tm,0)厂52 2X y2 3/2 = 0 二 f (0,0)即 f(x, y)在点(0,0)处5.2填空题(1)充分；必要(2)必要;充分(3)充分；(4)充分5.3 解 当 x2+y2=0 时，x = 0, y=

5、0 按定义 汙(,0) ex=0连续.2(0：x) 0J(0 十 Ax)2 +00fx(0,0) =iim2 0 (0：y)_0j0 + (0”y)2 7(0,0)期所以函数f (x,y)在点(0,0)处可偏导.f(0：x,0 .y) -f(0,0) -fx(O,O).：x fy(0,0) ：y二f*y)=丄乩(Ax2 +Ay2)2iim ( x)2( y)20=lim( 22? 0 C x)2( y)2x Y)2极限不存在，函数在点(0,0)处不可微.5.6解L、.-z : Z : u : Z : v : u : v v u :x .:u :x :v :x :x :x令 F(x,u)二 x-

6、eucosv，由隐函数求导法则.:u Fx-：xFucosvFv1_uesi n v所以二=(vdxcosv sin vu )e同理求解三=(旦丄)e.y cosv sin v5.7解(1) dz-Mdx dy 玫dyx2y(2)dz 二 ycos(xy)dx xcos(xy)dyx 11x令 u =ln( 一广 ln ,则 f (x, y,z)yxy皿)x y1-=(-2l nx 2)百埜一(知y x y cy y.x x代入数据得df(1,1) =dx-dy由f(x, y)d(1xy),宁(1 xy)诚 xy)弋f 2x4X2(1 xy)x4y皿= 2ln2 1,迪)=1 x:ydz|(1

7、,1) = (2ln 2+1)dx+dy5.8解对角线Lx2y2令x0 = 6m, y0 = 8m, ：x = 0.05m, ：y 二-0.1mL 叱 Lx (6,8)也X+Ly (6,8)3680.05(-0.1)1010=-0.05m5.9解(1)两边同时对 x 求导 ezZ = yz xyZ，得-Z = z _rvt.t-.厶一 x: x :x e - xy同理得兰cy ez _xy令 F(x, y,z) =x 2y z - 2、xyz5.10 解Ftyz F-2 xz f- yxJ xyz7 xyzJ xyz:zFxyz- xyz :z xz-2, xyzr ；xFzxzxyz _ x

8、y，：yxyz _xyZxZx = 4 - 2x, Zy = -4 -2y,令zy01 x = 2解得0 y = _2丄丄丄1=0bba2很显然z有极大值，代入得极大值Z | ab2a2ba2bzx _ _2, zyy - _2, zy - 0由多元函数极值的充分条件AC - B 2 2 /曰. 2a2b2ab2得 _ _ 22 , x _ 2 ,ab ab 0, A ： 0 ,函数有极大值代入为8.5.11解 此题为条件极值可以化为无条件极值来求，或者利用拉格朗日函数求L = x2y2/( - -1)令a b；:L;:L2x 0,2 y 0,.xa:yb5.12解此题可以采用构造拉格朗日函数

9、求解，这里采用直接代入法求解 设采购甲原材料xkg，乙原材料ykg.依题意可得223x 0.5y=0.9，代入产量函数中得 Q =0.01(0.9-0.5y)y =0.9y -0.005y对x求导，令=1.8y -0.015y2 =0解得 x=30kg,y=120kg而实际问题必有最大值，所以最大值Q=4320 kg .5.13证明因为二 e_x=e所以2；z2xy:x1 . -z 4):Zxe.:y5.14证明A F(u)丫 %x ：:y:z；zx y xy xF(u) -yFu xy yFu .x：y二 xy xF (u) xy二 z xy5.15(1)对等式x2 y2 -z -(x y

10、z)两端求微分得2xdx 2ydy -dz 二(dx dy dz)2x_ 2y_dz=Ldx Ldy(2)由于-Z:x2xV :，:z 2y2沪严代入得u(x，y).:u所以x(V)一2_(1 冃二 2(2x 1)：2 x(1 ：)35.16设(1999 数三，20 分)设 F (x1, x2, J = p1X| p2x2 W(12-2x1X2)令主x1P2 - 2 : x/ xz 二 0 .x2F =12-2x：X20PlJX2xi将Xi带入中得x2 = 6(P2H）：从而Xi =6（空厂PiP2=i因驻点唯一，且实际问题有最小值，故论=：6（空）：，x2 =6（日一）时，投入总费用最小.P2：PiP5.17解原式=l