电子科技大学大学物理杨宏春第4章机械振动

1、力学振动力学授课教师杨宏春力学的内容结构体系力学（宏观物体）力学，內宕结构研究对象.分类宏观低速件顿力学） I 宏观高速（相对论）质点力学刚体力学机械振动1运动学机竽波卜究舟秦，分类新观念建立运动学模型引入运动学参量建立运动学规律瞬时效应动力学时间积累空间积累 i 探寻运动对称性改变和保持物体运动状态的原因动力学规律及其应用 * * 2一 r r-1血勿刀孚丿効刀字万起4.1简谐振动的动力学方程与运动学方程4.1.1典型简谐振动的动力学方程/VWWW ,X(1)弹簧谐振子谐振子模型牛顿第二定律F(t) = -kx(t)d2x(t)d2xdt2=CDX(2)单摆回复力方程F =-mgO(t)牛顿

2、第二定律F(t) = m I 一 * 2一 r r- I血勿刀孚丿勿刀字万崔(3)复摆复力矩方程M = mgh 0刚体转动定律dr2 mghG)；LC振荡电路线圈电动势d2i 朋 盯一小电容电压(7= fid/=LC讨论各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程EI动力学方程中，以包含了各典型振动的具体特征例4丄1比重计圆筒半径为心液体密度为0不计液体粘滞阻力证明：用力下压处于平衡的比重计，放手后比重计将作简谐振动证明：以比重计平衡位置为原点建立示坐标系平衡时mg pgVM= 偏离平衡位置位移为x时F =-lV + n()2xpg + mgF =_兀(少嗨由牛顿第二定律可得比重计运动的

3、动力学方程为dh_ 迓器d/2 _ 4m定义边得 守=-必 4m曲4.1.2简谐振动的运动学方程(1)运动学方程简谐振动动力学方程的一般形式动力学方程的解运动学方程兀=Acos( + 0)简谐振动的速度、加速度= -ru4sin(d/ + 0)简谐振动总能量 -* / ； _ r r- | 谚勿刀孚丿芝字万趕WVWWV仁a =第=-a)2Acos(a)t + 0)21-2-21-2+2r加1-2= * * / ； 一 F r- |谚勿刀孚丿芝字万悝初相位(0)振子的初始振动状态 相位(血+0)振子t时刻的振动状态 课堂讨论：相位参量的双值问题及求解h=运动学方程x = Acos(m + 0)(

4、ot + = arctan 一速度方程e =守=-6a4sin(m + 0)e(f)(ax(t)结论：时刻匚相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定 例412 已知 A=0.12 m, T=2 so 当1=0 时，兀o=O.O6 m9 且 q0 求：(1)谐振动方程(2) 当/=2s时，质点的位置 速度、加速度(3) 由初始时刻到x=-0.06 m处所需的最短时间解：（1）因 r = 2s 二d =爷=兀x = Acos(a/ + 0)兀妇 3A=012 m, T=2 s, x0=006 mq = -Ad)sin0 0运动学方程兀=0.12cos（ttZ -申）当/=0.5 s时，质

5、点的位置、速度、加速度兀=0.104 m, v- -0.189 m/s, a=-1.03 m/s2当x= -0.06 m时，由运动学方程- 0.06 = 0.12cos（ttZ -申）=皿-申=警吿由题意，质点沿X负方向运动到X= -0.06 m所需时间最短v -0.12 7isin（皿一申）0=（ = 1ea例4丄3证明匀速圆周运动在工轴上的分量是一简谐振动r-lll证明：物体角速度初始位置与兀轴夹角为必时刻r在兀轴上的位移兀=AcOS（m + 0）满足简谐振动运动学方程，匀速圆周运动在兀轴上的分量是简谐振动E3讨论：e代表物体运动的角速度，又称简谐振动的角速度或角频率匀速圆周运动在兀轴上的

6、分量是简谐振动的物理图像E3高中简谐振动的物理实验(3) 简谐振动的几何描述旋转矢量法A物理模型B旋转矢量方法：用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动例4.1.4如,A=20 cm, m=10 g,T=4 s； (=0时$ x0=-10 cm,此时，q0求：心Is时的位移(2) 何时物体第一次到达兀=10 cm(3) 经多少时间第二次到达工=10 cm,此时的速度、加速度解：由题给条件和旋转矢量方法，初始时刻振幅矢量位置2兀 na)=二T 2c= x = 20cos(/ + )兀 2兀(1) r=ls 时x(l) = 20cos(- + ) = -17.32 (cm)23(2)第一次到达x=

7、10 cm时，加刚运动了半个周期严卜2G) 物体需再旋转2k/3再次到达x=10 cm,从=0算起，T+ 773=10/3 需经时间间隔I L III F*/Ij辰纫刀:孚T辰削旳謔IHI r _ I*I r /逅効刃孚，振効的謔将r=io/3 s代入速度、加速度计算公式v = -aA sin(d/ + 0) = -27.21 (cm/s)a = -of A cos(M + 0) = -24.67 (cm/s2)4.2简谐振动的能量(1) 简谐振动的瞬时机械能谐振子势能 Ep =kx2 = | ZrA2 cos2 +22E=谐振子动能 Ek =mv2 = ma)2A2 sin2(fiX +(2

8、) 简谐振动的能量平均值弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能Ep =相）左炉i/rA2cos2（6ar+ ）d/ = iA2d/ET ) fL-IT21-2=瓦+=结论C3谐振子的瞬时能量守恒、且等于一个周期的平均总能量平均动能、平均势能等于总平均能量的一半I 一 I 、 I r /j辰切刀孚彼効旳証二(3) 简谐振动的能量与动力学方程简谐振动的能量简谐振动能量守恒E = Ep+Ek=m()2 + kx2dE =0dZd2xdt2= -a)2x例421定滑轮的半径转动惯量人弹簧劲度系数匕 物体质量加 证明:将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动(不计体系的摩擦) 、/ r- T I 一

9、症三刀刀字J也尼饭勿4.3阻尼振动受迫振动共振4.3.1阻尼振动(1) 阻尼振动的相关概念阻尼振动：物体在阻尼情形下的振动摩擦阻尼：物体在摩擦阻尼情形下的振动辐射阻尼：物体在有能量向外辐射下的振动阻尼振动周期：阻尼振动完成一次完全振动所需的时间E3说明：阻尼振动的周期只是一种准周期阻尼振动的周期比相应简谐振动的周期长(2)案例分析设阻尼振动的阻力为讨论质点的振动情况A动力学方程2F =-kx-* F d2x nF = ma = m 一-at2 Jdt2卩=任阻尼因素或衰减常数振子固有频率B微分方程的解x = 4启COS（fi/ + 0）0 =同_0，I小阻尼情形曲胡“1.0对数衰减品质因素A

10、一 A(t)Aoe “A = lnA(FT7j = InA7 = Q = 2nE(t + T)-E(T)0.5-n 0.00.5-1Ooo -02-0：4II1-21-2+2（斧）2= 孰加&2宀对小阻尼情形e=27rI-lII临界阻尼情形202=0x = e(C+C2t) ooIII过阻尼情形 加_2 vQ = 1.12 m/s4.3.2受迫振动受迫振动的相关概念E3受迫振动：系统在持续周期外力(简谐力)作用下发生的振动受迫力：振动系统所受的周期性外力E3(2)案例分析设所受周期性外力为F=F.cospt ,阻尼振动的阻力为/=-* I I ”- 二 o 一 症勿刀字J穴坦

11、他勿A动力学方程-滋-7黑+ F()cos0 = /n%fk R r m 卩卞U第+ 2哗+(U()2X = f() cos ptB动力学方程的解x = Aep cos(0： - 02 + 0() + Acos(pZ + )A = 、K% 一 PV +40审(01 = arctan一2-?一 P讨论：受迫振动特征I受迫振动=减幅振动+稳定振动稳定态运动参量r X- Acos(0 + 01)10-1A -111111.1.1.x=Aoe cosC*)6-4-X1 M / y V 1U Vx=Acos(pt+)wwwwwww:I ax=A ecos(”+0 )+Acos(pt“)pVVWwwvw

12、1 1 1 1 1 1 51015202530tC = qcos(0 + 01+?)W +(mp-kl診卩斧* (卫2 一 0：)2II强迫力频率对稳定振动振幅的影响V()2 P2f +40”当 p-8当PTO当 P =-2贰/o r * I L1症三刀刀字J穴坦饭勿III位移共振_ /（）J（fiV_p2）2+402p2虬。dp发生位移共振时，强迫力频率始终小于系统固有振动频率弱阻尼情况下，受迫力频率近似等于系统固有频率无阻尼位移共振时， AT8IV速度共振dpO = qCOS（0 + 0+）A20发生速度共振条件：强迫力频率等于系统固有振动频率弱阻尼情形，位移共振频率近似等于速度共振频率或

13、系统固有频率无阻尼速度共振时， 7?0-00V稳定受迫振动情形的能量特征稳定受迫情形下，时刻f系统机械能E =+ kx1 = mA2 sin2 (pt _ ) +cos2 (pt _ )稳定受迫情形下，系统一个周期的平均机械能T1E =訂(:E(t)dt = i/nA2(p2 + 602) = const不同时刻匚系统机械能不守恒71系统平均机械能守恒，表明系统能量阻尼损耗与受迫力输入能量相等VI受迫力输入能量与系统阻尼损耗能量的相位关系稳定受迫振动情形下，一个周期内受迫力输入能量IkMfWf = Fq cos ptdx = -J, F cos pt sin（ pt 一 g ）d/ = -tt

14、AF0 sin稳定受迫振动情形下，一个周期内阻尼损耗能量W戸=J； （-了务）血=-J/ ）P2A2t sin2 （pt - 01 ）dZ = -Inm/JpA1稳定受迫振动情形下，一个周期内系统平均能量守恒 于是sinQ垄甞主0Jo在稳定受迫振动下，受迫力输入能量相位超前于阻尼损耗能量相位逅动力学海动的台矽与知眸4.4振动的合成与分解4.4.1振动的分解（1）周期性振动分解E3例4.4.1设几）是以2为周期的非简谐振动，其波形函数为T；1-ir00tl4/(FI7T) 0n = 2k + ln = 2k用傅里叶级数方法，将该非简谐振动分解为若干简谐振动的叠加解：依傅里叶级数定理，几）是奇函数

15、，故有知=0（心0丄2），可得02bn - - Jsin/zMd/ + f sinnTtZd/ =(1- cosn) = nnf(t)的傅里叶级数为4(1f(t) = sinnt + -7T1 sin3M + -sin57r + + sinw + 357VWWWWWWA 心=5ife=7A=5d苗kRfr振动的爰Ml任何周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加周期性振动依傅里叶级数定理分解周期性非简谐振动频谱为分离频谱b各衣谄娠功 厂严f I:丿Vvzvuvrvrxj urcru扼动力学淀动的台成与知諒2Nnt 5FS)=去 J二/(x)严 dx（2）非周期性振动分解例442计算由2N（N

16、为整数）个正弦波组成的有限正弦波列的傅里叶积分解：有限正弦波列函数可表示为A sin a)t/(g0依傅里叶积分公式可得F（効在列处有一个极大值，列称为中心频率任何非周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加非周期性非简谐振动频谱为连续频谱周期性振动依傅里叶积分定理分解4.4.2振动的合成(1)同偏振方向、同频率的简谐振动合成X = x+ x2 = Acos(at + 0)X2 =4 COS伽+ 02)10 = arctanA sin/ +A2 singAj cos +A2 cos 02合振动仍为简谐振动；合振幅与分振动振幅及其初相有关当 A0 = 02-01 =2氐兀时，Anm =Ax+A

17、2当 A0 = -01 =(2 + 1)兀时，4血=|人 一4例4.4.3 /I个同偏振、同振幅、同频率，相位依次相差5的简谐振动求它们的合振动解/个简谐振动的振动方程可写为Xj =acos（otx2 =acos（at + 3） xn = a cosE + (n- l)d0 = 2（兀一5） 2（兀一力）=5U = 2RSin2吨sin(n J 2)x =asin(5 2)+ 2几何法表示sin(5 2)x =asin(J 2)=0cos +毁型d 0，心gii呼第箸2k fn,. sin(Z/7r)nk,k = 0，l，2仏=1鹽血(心如I当各分振动构成一个封闭的多边形时，合振幅为零提示：经光栅衍射后电磁波方程En = E cosat + (n-1)5课后思考题：定量计算光栅干涉效应在屏幕上明、暗条纹的光强分布(2)同偏振方向、不同频率的简谐振动合成x = x1+x2=A1 cos(/ + ) + A2 cos(2 +)Xj = Aj cos(/ + )兀 2 = A2 cos(2+ 2)A = UA： + A22 + 2ArA2 cosKd - + (02 - 0J.M+Aj20 = COS r2AA1J 0(/) = (/+ 0J + 0讨论A振幅、相