从探究失败中寻找收获

1、从探究失败中寻找收获【摘要】 探究是数学课上学生活动的主要内容，探 究不仅可以拓展学生的想象空间，提高学生学习数学的兴 趣，还可以活跃课堂气氛，加强师生互动。但由于学生的知 识水平有限，对一些问题的探究往往得不到期待的结果，或 者以失败而告终，久而久之，学生就会失去探究的兴趣，使 课堂重新回到教师的一言堂。为了避免这种情况的发生，我 们教师不仅要在学生探究成功时给予充分的肯定，还要在学 生探究失败时帮助他们寻找收获，提高学生探究的积极性。 本文就一则案例，让学生从探究失败中寻找收获。【关键词】 数学教学 探究 案例【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编 号】 1992-77

2、11( 2014)11-001-01解析几何中，由已知曲线方程和对称轴方程，求已知曲 线关于对称轴对称的曲线方程的问题，这种问题实际上就是 归结到求轴对称点的问题。即一个点的坐标 MO (xO.yO),对称轴为I，求MO (xO.yO)关于I的对称点M (x, y) 根据 两个点关于某条直线对称的定义，可以得到两个特征：一是 这两点所在的直线与对称轴垂直，二是这两点所连线段的中 点在对称轴上。当对称轴的斜率不存在时：如对称轴方程为I: x=a,我们就根据轴对称点的两个特征并结合坐标系，在已知点是M0 (xO.yO )的情况下，很容易得到轴对称点M (x, y)的坐标为 。当对称轴的斜率为 0

3、时，如对称轴的直线方程为 I： y=b， 同样在已知点为 MO (xO.yO )的情况下，可以得到对称点 M (x，y)的坐标为.同学们很快想到，在对称轴方程的斜率存在且不等于的 情况下，能否根据轴对称点的两个特征，并结合坐标系，由 已知点的坐标，对称轴方程，推导出求轴对称点坐标的一个 简单公式呢？笔者对学生的这种想法非常赞许，并随即鼓励 学生对这一问题进行探究。我们设已知点的坐标为 MO (xO.yO)，对称轴方程为I: y=kx+b (k工O), MO (xO.yO)关于I的对称点为轴对称点 M (x , y)，根据轴对称点的两个特征，直线MMO的斜率应该是对称轴方程的负倒数，即斜率等于-

4、，则线段 MMO 的中点(,)在对称轴方程I: y=kx+b (k工O) 上，根据这些，我们可得关于 x， y 的方程组解之得我们虽然根据已知点 MO (xO.yO)对称轴方程I: y=kx+b（k工0）得到了求对称点方程的坐标公式，但这个公式太繁了，在解决实际问题时，没有人愿意用这个公式进行求解。 同学们很沮丧，觉得是一次探究失败。在这种情况下，笔者 及时给同学进行总结。我们根据轴对称点的两个特征，推导 了求轴对称点的公式。但由于这个公式比较繁，不适合于解 题中的应用。但我们仔细观察公式的特点可以发现。当对称 轴的斜率 k=1 时，得到 ，当对称轴斜率 k=-1 时，也可以得 到。也就是说，

5、当对称轴方程的斜率是k= 1,我们只要将已知点的纵坐标y0替换对称轴方程中的 y，就能求出对称点 的横坐标x，将已知点的横坐标 x0替换对称轴方程中的 x， 就能求出对称点的纵坐标 y.例：已知点M0 （2，1），对称轴方程为I: x+y-5-O,求M0 关于直线 l 对称的点的坐标 M（x， y）解：由 x+y-5=0 ，得 x=4 由 2+y-5=0 ，得 y=3 故 M （ 4 ， 3 ） 这个结论还可以推广到求轴对称曲线方程的问题，如果 曲线 C 的方程为 f（ x， y） =0，对称轴 I 的方程为 y=x+b ， 则 C 关于 I 对称的曲线方程就为 f（ y-b， x+b） =0，同理， 若对称轴方程为 y=-x+b ，则 C 关于 I 对称的曲线方程为 f（ -y+b ， -x+b） =0.在这节课的探究中，我们虽然没有得到关于求对称点的 简单的公式，但我们通过观察，得到了一些特殊问题的简单 的解决方法，探究虽然失败了，但是我们从失败中仍然得到 了一些收获。 今后我们凡是遇到对称轴方程的斜率为 1 时， 我们就有了快捷的方法。当然，当对称轴方程不为 1 且不 为 0 时，我们只能用轴对称点的两个特征，列方程组求对称 点的问题了。俗话说，失败是成功之母，失败不仅是成功的基础，